柯西

奥古斯丁·路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789年8月21日-1857年5月23日），出生于法国巴黎，是法国数学家、物理学家及天文学家。^[1][6]

柯西出生于法国大革命时期^[注1]的一个上层家庭之中，早年因其父亲卷入政治斗争，而举家前往阿尔居埃避难，并由其父亲亲自启蒙。^[1][7]随后，柯西先后进入先贤祠中心学校、巴黎综合工科学校就读。毕业后，柯西前往瑟堡担任工程师助理一职，后因工作劳累，柯西多次患病。不久后，柯西在数学家拉格朗日的建议下开始研究多面体，1811年至1812年期间，柯西向法兰西递交了他的两篇关于多面体的论文引起轰动。^[1][2][7]1812年底，柯西因健康问题返回巴黎休养，并开始专攻学术。不久后，柯西开始担任巴黎综合工科学校的辅导教师的职务。上任后不久，柯西因解决了费尔马关于多角数的问题轰动数学界。^[2][4]1814年，柯西开始大量撰写论文，其中就发表了《关于定积分理论的报告》一文。^[1][2][4]

1815年，波旁王朝复辟，支持波旁王朝的柯西也升任为巴黎综合工科学校的副教授，并于年底他以无限深流体表面波浪传播的论文获得科学院大奖^[注2]，并担任讲师，负责教授数学分析。^[1][2][4]之后，柯西连续担任力学部院士、正式教授等职，并出版了《微积分概要》等论著。^[1][2][4]1830年，“七月革命”爆发，波旁王朝再次被推翻，柯西出走法国前往瑞士，并受邀前往都灵担任物理学教授。1833年7月，柯西接受征召前往布拉格担任皇长孙博尔多的宫廷教师。^[1][2][3]1838年10月，柯西对皇长孙的教育结束，柯西被受封为男爵，随后返回巴黎于法国天文事务所任职，随后的几年间柯西多参与职位竞选活动，但多次落选，柯西大受打击，开始逐渐远离人群，独自进行研究工作。1857年5月23日，柯西因病于法国逝世，享年68岁，在死前，柯西留下遗言：“人总是要死的，但他们的业绩永存。”^[1][2][3]

柯西一生著作颇丰，仅发表的就有800多篇，而且还有七部著作，如《无穷小分析教程概要》《微分学教程》等。^[1][2]在数学方面，柯西确定了微积分的构成、提出了著名的柯西不等式，并为复变函数论的发展作了奠基性工作。除此之外，柯西还凭借无限深流体表面波浪传播的论文获得科学院大奖。^[8][9]在物理方面，柯西奠定了弹性力学的理论基础。^[10][11]而柯西提出了柯西系数，至今都对天文学研究有一定影响。^[4][12]德国数学家菲利克斯·克莱因曾评价：“柯西是一位令人钦佩的教授和一位最伟大的数学家。”^[2]

1789年8月21日，柯西出生于法国巴黎的一个上层家庭之中，其父亲路易·法朗科·柯西为法国议会的律师也是古典语言学家和神学家，其母亲玛丽亚·马黛丽·迪珊丝为一名天主教教徒。柯西出生之时正值法国大革命时期^[注3]，1794年法国大革命结束，波旁王朝开始土崩瓦解，而其父亲因曾支持波旁王朝，为避免被清算而居家迁往阿尔居埃避难。期间，虽生活困苦，缺少食物。但其父仍然会亲自为柯西进行启蒙教育，教会他语法、诗歌、历史、拉丁文等，并因柯西父亲与数学家拉普拉斯与拉格朗日交好，柯西得以与各数学家相识，并且数学家们对柯西的才能十分赏识，拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家，但建议他的父亲在他学好文科前不要学数学。^[1][7]

1802年秋，柯西在家中完成初等教育之后，进入先贤祠中心学校接受教育，进入学校的第一年，柯西便取得希腊语、拉丁文作文和拉丁诗三项一等奖，1804年毕业之时，柯西又获得了奖学金及古典文学特别奖。次年秋，柯西以第二名的成绩考入巴黎综合工科学校。1807年10月，柯西再以第一名的成绩考入道路桥梁工程学校，并在两年后的会考中获得道路和木桥大奖。而柯西优异的成绩得到拿破仑的赏识，开始负责工程作业。^[1][2][7]

1810年初，柯西带上了拉普拉斯的《天体力学》及拉格朗日的《解析函数论》前往了瑟堡担任工程师助理。期间繁重的工作使得柯西经常发烧、咳嗽。到了年底，柯西的工作受到了上级的嘉奖，并且被授予二级道桥工程师职务。随后，柯西在拉格朗日的建议下开始研究多面体。1811年2月和1812年1月，柯西向法兰西递交了他的两篇论文。在论文中，柯西证明了包括非凸情形在内，只存在9种正多面体，并解决了拉格朗日提出的“凸多面体的面角是否由他的面所决定”问题，并推广了欧拉定理，而这两篇论文使得柯西名声渐起。^[1][2][7]

1812年底，柯西由于健康原因返回巴黎进行修养，期间，以拉格朗日为首多数数学家来建议柯西放弃工程师的工作，而转投身于科学事业。柯西听从了他们的建议开始进行科学研究之中。不久后他又提交了一篇关于对称函数的论文，并担任巴黎综合工科学校的辅导教师的职务。同年，柯西因解决了费尔马关于多角数的问题轰动数学界。^[2][4]1813年3月，柯西被任命为乌尔克运河工程师，负责建造工作，但因为拿破仑的多次惨败，运河工程也随之中止，柯西开始专注于学术研究之上。^[1][2][4]

1814年，柯西向法兰西研究院提交大量论文，而提交的论文中一篇《关于定积分理论的报告》奠定了复变函数理论的基础。次年，波旁王朝复辟，柯西得以升任为巴黎综合工科学校的副教授，并于年底他以无限深流体表面波浪传播的论文获得科学院大奖^[注2]，同时，柯西还在一篇关于置换群理论的论文中推广了鲁菲尼定理。12月初，数学教授普索安因卷入政治纷争而被停课，而柯西则以替补教授接任普索安进行讲授数学分析。^[1][2][4]

1816年3月，法国王室对法兰西研究院和巴黎科学院进行了一次清洗，而柯西被国王任命为力学部院士。9月，柯西再次被任命为正式教授，负责为一年级新生讲授数学分析。而柯西的授课多受欢迎，多有学者从柏林、马德里等地来聆听柯西的授课。而除了授课外，柯西几乎每个星期都会提交两部内容丰富的论文及一篇审查报告，而且还有涉及多个领域的篇幅较短的论文。^[1][4]

1818年，柯西与古老世家出身的爱萝丝·德·巴蕾完婚。三年后，柯西将曾授课使用的讲义取名为《皇家综合工科学校分析教程》整理出版。1823年，柯西开始担任巴黎理学院的副教授，并开始讲授力学，同年，柯西的《无穷小计算概要》和《微分学讲义》也先后问世。次年，柯西再次担任法兰西学院代理教授，并开始讲授数学物理，而这些工作一直持续到1830年，期间，柯西不仅写出了《微积分概要》《微积分在几何学中的应用教程》和《微分学教程》等论著，为微积分奠定了基础，同时，柯西还会积极的参与科学活动，经常会出席科学院每周一召开的公开会议，而且到了1826年，柯西还编辑出版定期刊物《数学演习》用来专门发表自己的论著。^[1][2][4]

1830年7月，七月革命爆发，复辟的波旁王朝再次被推翻，新国王菲利普即位，身为“保王党”的柯西见证综合工科内的学生参与起义率领民众战斗及内阁人员要求保王党派进行宣誓效忠，这些事件使得柯西愤慨，于是决定离开法国，前往瑞士的弗里堡，并试图筹建瑞士科学院，但未成功。次年，柯西迁居瑞士都灵居住。10月，柯西在拉格朗日组建的都灵科学院露面，之后柯西受撒丁王国的国王查理邀请前往都灵担任物理学教授，主要从事教学工作。不久后，因柯西长期劳累工作，从而引起一场大病，为缓解疾病，柯西前往意大利调养，待病愈后，再次返回都灵。^[1][2][4][3]

1833年7月，柯西接受征召前往布拉格，担任查理十世之孙博尔多的宫廷教师，负责每天对皇长孙讲授数学、物理和化学等内容。并为其编写了算数与几何的教本，但皇长孙不喜数学，所以与柯西关系也不算融洽，同时，柯西还需要时刻注意皇长孙的身体情况，而这段时期柯西的创作也开始变的陆陆续续。但即使如此，在此期间柯西还是完成了关于色散理论和微分方程的论文，在科学界引起一定轰动。^[1][2][3]

1836年，《巴黎科学院通报》创办成功，该通报可以使得院士们迅速发表成果，而柯西利用《通报》几乎每周都会发表一篇论文。在不到20年的时间内，柯西总共在《通报》上发表了589篇文章。^[1]

1838年10月，皇长孙18岁，柯西对其的教育结束。同时其在家人及朋友的劝说下返回巴黎，而在临行前，柯西被查理十世授予男爵封号。次年7月，法国天文事务所有职位空缺，而柯西于11月当选，但因为其之前的拒绝宣誓行为，一直未获得任命书。同时，柯西回到巴黎后开始热衷于宣传天主教，并参与创建天主教学院，从而导致其与同事的关系一度尴尬。^[1][2][3]

1840年，法国天文学家勒威耶写了一篇关于小行星智神星的论文，而该论文篇幅极长且有大量计算，让天文事务所内的审稿人无从下手，但是柯西自己承担了这份工作，并且通过找到寻找证明捷径的方式证明了勒威耶的结论，并且还将方法推广了出去。^[1][2][3]

1843年5月，法兰西学院数学教席空缺，柯西开始竞选，但得票极少，未能选中。同年年底，柯西再次竞选天文事务所几何学部委员，但仍然失败，而两次的失败对柯西打击巨大，同时，因宣誓问题，柯西被命令解除职务，从而柯西开始离群独自居住。^[1][2][3]

1848年2月，法国爆发革命，菲利普政府倒台，新临时政府成立，并规定废除效忠宣誓。而于次年3月，柯西被委任为巴黎理学院数学天文学教授。1850年6月，法兰西学院再次出现空缺教席，柯西再次竞选，但仍然失败。^[1][2][3]

1851年12月，拿破仑三世发动政变，新政权再次要求公职人员发誓效忠，柯西再次拒绝对新国王的效忠，从而导致柯西于理学院的工作被停职。1853年，拿破仑三世政府秘密传话柯西，并提出柯西可以不进行宣誓，也可以继续任职，柯西同意了该要求。同年，柯西停止了《演习》的出版，但是会继续审读论文，并从事宗教活动。^[1][2][3]

1857年5月12日，柯西患上重感冒，21日，柯西病情突然恶化。至23日，柯西高烧不退，最终病逝，享年68岁。在死前，柯西留下遗言：“人总是要死的，但他们的业绩永存。”^[1][2][3]

柯西在数学、物理学和天文学三个领域中都有着一定贡献，尤其是在对数学领域，有着开创性和奠基性的研究成果，而研究力学和天文学也推动弹性力学与现代天文学研究的发展。^{[8][9][10][11]}

在柯西手中，微积分构成了由定义、定理及其证明和有关的各种应用组成的逻辑上紧密相连的体系。他的分析教程成为严格分析诞生的起点。虽然柯西在分析的严格化方面做出了贡献，但是尚未完成分析的算术化。他提出的柯西不等式，不仅能够应用到数据分析领域，而且在时间序列的分析上都有应用。^{[8][9][13][14]}

柯西定义了无穷小和微积分学中的基本概念，建立了级数收敛性的一般理论。^[15][16]还为微分学的应用奠定了理论基础。另外，柯西也是复变函数论的奠基人之一，为复变函数论的发展作了奠基性工作。^[8][9]但柯西对复变函数的研究也有不足，对于复变函数，他一直未能明确界定，而且也没有区分孤立奇点的不同类型，只注意到了极点，也没有区分极点和分支点，未能认识多值函数的本质。^[8][9]

柯西不等式的定义：如果为任意实数，则有，当且仅当（为常数）时等号成立。^[17][18]最早由柯西于1821年提出，后被俄国数学家布尼亚科夫斯基^[注4]和德国数学家赫尔曼·施瓦茨^[注5]分别在1859年和1884年独立地提出柯西-施瓦茨不等式的积分形式。^[6][19]同时，柯西不等式在数学领域有广泛的应用，可以利用它来证明恒等式、解方程、证明不等式、求极值等，概率论中可以推出相关系数的性质。柯西不等式也可以应用到数据分析领域，无论是在最佳样本量的估计或是在时间序列的分析上都有应用。^[13][14][20]

柯西规定：“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终与此固定值之差要多小就有多小时，该值就称为所有其他值的极限。”“当同一变量相继取的数值无限减小以至降到低于任何给定的数，这个变量就成为人们所称的无穷小或无穷小量，这类变量以零为其极限。”“当同一变量相继取的数值越来越增加以至升到高于每个给定的数，如果它是正变量，则称它以正无穷为其极限，记作；如果是负变量，则称它以负无穷为其极限，记作。^[15][16][21]

其次，他首次放弃了过去定义中常有的“一个变量决不会超过它的极限”这类不必要的提法，也不提过去定义中常涉及的一个变量是否“达到”它的极限，而把重点放在变量具有极限时的性态。最后，他以极限为基础定义无穷小和微积分学中的基本概念，建立了级数收敛性的一般理论。^[15][16][22]

柯西以接近于现代的方式定义单元函数：“当一些变量以这样的方式相联系，即当其中之一给定时，能推知所有其他变量的值，则通常就认为这些变量由前一变量表示，此变量取名为自变量，而其余由自变量表示的变量，就是通常所说的该自变量的一些函数。”柯西以类似方式定义多元函数，并区别了显函数和隐函数，用他建立的微分方程解的存在性定理在较强条件下证明了隐函数的局部存在性。^[21][23]

柯西还给出了连续的严格定义：“函数是处于两个指定界限之间的变量的连续函数，如果对这两个界限之间的每个值，差-的数值随着无限减小。换言之，变量的无穷小增量总导致函数本身的无穷小增量。”另外，他还给出了闭区间上连续函数介值性质的严格证明，其中用到了“区间套”思想。^[21][23]

柯西按照前人方式用差商的极限定义导数，但在定义中多了一句：“当这个极限存在时，用加撇符号或表示。”柯西将导数定义转述为不等式，由此证明各种定理，首次给出了式的证明，由此推出拉格朗日中值定理，还得到了“柯西中值定理”即^[24][25][26]

柯西对于微分的定义也不同，他称的微分是“当变量”无限趋于零和量保持不变时方程是收敛的极限。柯西以割线的极限位置定义切线，用中值定理证明极值点处切线的水平性。他证明了时用的符号判断极大、极小的命题，他由自己的中值定理推出洛必达法则。为微分学的应用奠定了理论基础。^[24][25][26]

柯西秉持无穷小量的无穷和的说法，并假定函数在区间上连续，用分点把该区间划分为个不必相同的部分作和并证明^[注6]“当各个部分长度变得非常小而数非常大时，分法对的值只产生微乎其微的影响”，因而当各个部分长度无限减小时具有极限，它“只依赖于的形式和变量的端值。而该极限也为定积分”如此，柯西既给出了连续函数定积分的定义，又证明了它的存在性，并且他还指出该定义对于不能把被积函数转化为原函数的一般情形也适用。另外，他给出了现在通用的广义积分的定义^[注7]。^[27][28]

柯西简洁的证明了微积分学基本定理即牛顿·莱布尼茨公式。他还利用定积分证明了带余数的泰勒公式，并利用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。而柯西的定义是从仅把积分看作微分逆运算走向现代积分理论的转折点，而他坚持证明存在性则是从依赖直觉到严格分析的转折点。^[27][28]

柯西是首位认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广而应当以极限为基础并建立起完整理论的数学家。他以部分和有极限定义级数收敛并以此极限定义收敛级数之和。在十八世纪，本已有部分数学家涉及到该定义，但是唯有柯西明确的陈述了该定义，并以此为基础较为严格地建立了完整的级数论。他给出了所谓的“柯西准则”，并证明了必要性，并断定了充分性。对于正项级数他严格证明了比率判别法和他创造的根式判别法。指出与同时收敛或发散，由此推出一些常用级数的敛散性；证明两个收敛级数的积级数收敛。而对于一般项级数，他引用了绝对收敛概念，指出绝对收敛级数必收敛；收敛级数之和收敛，但积不一定收敛，并举出反例.^[27][29]

对于幂级数，柯西得到了收敛半径公式，他以例子表明，一个函数可为它的泰勒级数代替只当后者收敛且其和等于所给函数。^[27]

在柯西曾出版的《分析教程》中，有大篇幅在讨论复数与复函数，足以说明柯西早已建立复变函数论作为分析的一项工程。他以形式方法引进复数（虚表示式），定义其基本运算，得到这些运算的性质，柯西比照实的情形定义复无穷小与复函数的连续性。柯西利用实级数定义复值级数的收敛性并证明了一些收敛判别法。对于复幂级数他指出存在收敛半径，使得所给级数“按虚表示式的模小于或大于而收敛或发散”。他把刻画为“当无限增加时的数值的次根所收敛的各种极限的最大值”，这就是他用幂级数定义复指数函数和三角函数，并讨论了对数函数和反三角函数的多值性。他利用函数方程求出了复二项级数之和。在随后的很长时间内，柯西都坚持对复数形式看法，1847年，柯西提出用同余等价观念看待复数，把复数的运算解释为模的运算，而把看作“一个实在但不定的量”到了晚年，柯西开始采纳复数的几何表示。^[30][31]

柯西在1814年所写的关于定积分的论文中创立了复变函数论的第一步，他在文中批评了欧拉、拉普拉斯等数学家使用“基于实过渡到虚的归纳法”而且提出该方法不仅在使用时需十分谨慎，多方限制，而且效果不佳。于是柯西提出“将用直接的严格的分析方法建立从实到虚的移植”，并给出了所谓的柯西-黎曼方程。随后还讨论了改变二重积分的次序问题，提出了被积函数有无穷型间断点时主值积分的观念并计算了许多广义积分。^[32][33]

1825年，柯西写出了关于积分限为虚数的定积分的论文，文中用和的极限定义积分，指出当积分沿曲线计算时等于，接着柯西断言：“假定函数当保持介于界限与之间，保持介于界限与之间时为有限且连续，另外我们能够容易地证明上述积分的值即虚表示式不依赖函数的性质。”这即是作为单复变函数论基础的“柯西积分定理”柯西利用变分方法证明了该定理，也证明了曲线连续变形的思想，而且在文中还讨论了被积函数出现一阶与阶极点时广义积分的计算。^[32][33]

柯西在1831年得到了关于圆的积分公式由此证明复函数可局部展开为幂级数，并在实际上指明了收敛半径是原点到所给函数最近极点之间的距离。不仅如此，柯西还通过所得幂级数通项和余项的估计式，后来发展为其独创的“强函数法”。^[32][33]

柯西在历史上首次研究了常微分方程解的局部性态，他首先证明了方程解的存在和唯一性。给定微分方程及初始条件，在连续可微的假定下，他用类似于欧拉折线的方法构造逼近解，利用微分中值定理估计逼近解之间差的上界，严格证明了在以。为中心的一个小区间上逼近解收敛，其极限函数即为所提问题的解。他指出这个方法也适用于常微分方程组，柯西还给出了具有非唯一解的初值问题的例子，也说明了柯西已了解到微分方程论的本质。^[34][35]

1819年，柯西与数学家普法夫同时发现了一阶偏微分方程组的特征线法，但对比与普法夫，柯西的方法更为便捷。微分方程组的特征线法，但他的方法更简便。对于方程组他设计了利用的另一解法，这里并用强级数证明收敛性。^[36][37]

柯西还会把傅里叶变幻应用于他在研究流体力学、弹性论和光学中遇到的常系数线性偏微分方程。同时还与1815年已正确写出了傅里叶变换的反演公式，还引进了枳分号下的收敛因子和奇异因子（相当于函数）。1821年后，柯西考虑了写成算子形式的线性偏微分方程其中是元多项式。他发现，对于满足的每组是所给方程的解。他把这类指数形式的解迭加，以便用傅里叶变换得到通解，对于波动方程，这就是平面谐波的迭加。当给定初始条件时，他得到了写为围道积分形式的解。^[36][21]

对于偏微分方程问题的讨论和解决，经常需要应用泛函分析、代数与拓扑学、微分几何学等其它数学分支的理论和方法。另一方面，由于电子计算机的迅速发展，使得各种方程均可数值求解，并且揭示了许多重要事实，因此，数值解法的研究，在已取得许多重要成果的基础上，将会有更快地发展。^[38]

18世纪，理性力学发展迅速，逐渐成为微积分学应用的一个特殊领域。到了19世纪初，数学家们开始研究弹性面的平衡和运动，但当时应力和应变概念尚未形成，其特性更未得到数量的刻画，由于未能把应力表示为变形的函数，连续介质力学的基本方程难于应用到弹性体上。但柯西在1822年至1830年期间发表的一系列论文中，使用了连续物质和应力-应变模型，成功地解决了这些问题。柯西确定了应力和应力分量、应变和应变分量概念，建立了弹性力学的几何方程、运动和平衡方程、各向同性及各向异性材料的广义胡克规律，从而奠定了弹性力学的理论基础。^[10][11]另外，柯西对应力、应变与几何方程的研究也加快了土力学的发展。^[39][40]

柯西把应力规定为由外力和物体变形等因素引起的物体内部单位面积截面上的内力。柯西提出，对物体内任一闭曲面，在研究的外部对内部的作用时，可以忽略物体各部分的相互体力，等价地用定义在上的应力场来代替。这可使计算大为简化，并为实验证实。但由于之前数学家欧拉也提出过类型想法，而原理也被称为“欧拉-柯西应力原理”。^[39][40]

柯西提出，对于物体中任一点，柯西通过点处三个分别平行于坐标面的截面上的应力来描述该点处任一截面上的应力。分别以表示点处平行于坐标面的截面上的应力的分量，柯西得到点处法向量方向余弦为的截面上应力的分量为而该公式现在也被称为“柯西斜面应力公式”。由于9个量中只有六个是独立的。这9个量构成了一个2阶对称张量——应力张量沿截面法向的分量为在点取所有可能的截面，沿法向取长度的向径，则其端点构成一个二次曲面，称为“柯西应力二次曲面”。在以此二次曲面三个互相垂直的轴为法向的截面上，应力垂直于截面。这就是柯西引入的主应力。以这3个轴作为坐标轴，应力矩阵成为对角矩阵。于是，求一点处的应力状态归结为求3个主应力。也柯西对应力的研究也加快了土力学的发展。^[39][40]

柯西把应变规定为在外力作用下物体局部的相对变形。对于微小变形，他用类似于研究应力的方法研究一点处的应变状态，指出它可用6个分量描绘，现称其为柯西应变张量或小应变张量。设分别为方向的位移分量，他用略去高阶无穷小的方法得到反映应变与位移之间关系的几何方程对于应变，同样可构造应变二次曲面，建立主应变概念。柯西应变张量在一些连续介质理论中，被用作应变的度量。^[41][42][43]

对于微小变形，柯西假定主应力分别沿主应变方向。最开始柯西考虑各向同性情形，此时3个主应力与主应变成等比例，由此得到用线性表示或用线性表示的公式，其中有两个常数。后来他进而研究各向异性情形，此时用线性表示的公式中有个分量即81个弹性常数。由对称性，柯西推出其中只有36个是独立的。因这些公式是胡克定律的推广，所以现在也将此公式称之为广义胡克定律，而广义胡克定律也为弹性力学的发展奠定了基础。^[41][44]

在1828 年关于弹性体与非弹性体内部运动和平衡的论文中，对各向同性物体内任何一点，柯西得到其中为膨胀系数，是由材料决定常数，是密度。除此之外，柯西还写出了非各向同性的弹性体的运动和平衡方程，而柯西所研究的弹性体运动和平衡方程也加快了弹性力学的发展。^[41][45]

在天文学上，柯西证明了天文学中出现的一些级数的收敛性并做了详细的计算，其中特别对开普勒方程的解和摄动函数的展开进行了细致的研究，而后柯西提出的柯西系数在现在的天文学教材仍有提及。除此之外，柯西曾于1840年对勒威耶需要大量计算智神星数据的论文中，用更加简单的方式进行了证明，另外，柯西使用的工具是偏近点角到平近点角的过渡公式以及所谓“柯西混合法”，即在计算摄动函数的负幂时把数值积分与有理积分结合起来，并按平近点角展开摄动函数，对某项后的各项进行渐近估计。^[4][12]

在研究光学上，柯西也取得了一定成果。首先，柯西否定了物理学家菲涅尔的“两条偏振光线的传播”，并从以太分子作用的更一般的理论出发，提出了“三条偏振光线的传播”。其次，柯西还指出菲涅尔认为关于光线中以太分子的振动垂直于偏振平面的看法不对，他认为偏振平面平行于光线和以太振动的方向。另外，柯西成功解释了双折射的原理，并试图在分子基础上解释光速对波长的依赖问题。^[12]

柯西一生写了大量数学论文，仅发表的就有800多篇，而且还有七部著作。另外，柯西没有发表的论文则有更多，从1811年发表第一篇论文至1857年逝世，柯西平均每个月发表两篇论文。^[2]

在人才培养方面，柯西在1816年担任正式教授之后便多开始讲课，而且柯西的课程极受欢迎，多有学者从柏林、马德里等地来聆听柯西的授课，如数学家庞斯列就曾去听过柯西的讲课。而且柯西还会将自己的讲义整理成册出版，如1821年，柯西将曾授课使用的讲义取名为《皇家综合工科学校分析教程》整理出版。^[1][2][7][5]

法国数学家、物理学家拉格朗日曾评价幼年的柯西：“我们这些可怜的几何学家都会被他取而代之。”^[1]

德国数学家菲利克斯·克莱因曾评价：“柯西是一位令人钦佩的教授和一位最伟大的数学家。”^[2]

荷兰数学家弗洛依登萨尔曾评价柯西：“柯西不能控制数学，是数学控制了他。”^[2]

法国数学家亨利·庞加莱在谈论复变函数论的四位奠基人^[注11]时曾评价：“柯西早于后两位^[注12]，并为他们指明了道路”^[9]

《奥古斯丁·路易斯·柯西：杰出的数学家——纪念柯西诞辰200周年》一文评价柯西：“他在科学上是一位开拓者，但在宗教信仰上异常偏执。正因为他在充满矛盾的时代表现出多方面的矛盾，所以他在数学史上得到的评价也褒贬不一，人们对他的研究至今^[注13]还很不深入。”^[2]

《世界著名数学家传记》记载，19世纪20年代的一篇文章曾评价柯西：“他的呆板苛刻以及对刚踏上科学道路的年轻人的冷漠，使他成为最不可爱的科学家之一。”^[5]

关于柯西对于1830年爆发的“七月革命”态度存在争议。当时的法国民众可以理解柯西的不宣誓行为，但对于其自行流亡的行为却表示无法理解，甚至一度认为柯西的行为是恶作剧。如荷兰数学家曾表示，当时法国民众对这场危机的和平解决感到满意的时候，这位孤独的骑士随皇帝出走的行为很像唐吉坷德^[注14]。但是《奥古斯丁·路易斯·柯西：杰出的数学家——纪念柯西诞辰200周年》作者桂质亮， 赵东方认为，柯西及其家庭都曾享受皇帝俸禄，所以忠于皇帝，同时柯西也是忠诚的天主教徒，也恪守教义，出于宗教信仰与家庭背景的原因，所以柯西反对革命，忠于皇帝，但只是采取了比较偏激执拗的方式。^[2]

柯西毕生忠于波旁王室，参加波旁王室组建的“圣会”。在“七月革命”期间就曾拒绝向新政权宣誓效忠，即使之后波旁王室流亡海外之后，柯西还是会前往其所在地担任宫廷教师一职。但是，又因为“法国大革命”推翻了波旁王朝，科学的进步才能得以继续发展，柯西从事的数学、物理研究虽推动了社会发展，但另一方面他的保皇行为也阻碍了当时法国社会革命的完成。^[49]

因柯西父母为天主教徒，而柯西也从小接受宗教教育，使得柯西也是一名天主教徒。在柯西幼年时期，便已熟读《圣经》，1816年后，柯西还会积极的参与圣会的慈善活动。在1824年，柯西开始参与筹建天主教协会，并为期间的五理事之一，还曾多次在科学院的会议上赞颂宗教。在1839年，柯西还参与了创建天主教学院的行动，成立后便在在其中担任秘书一职，进行教学。并且对其他反宗教之人进行声讨和攻击。^[5]

柯西虽待人有礼，但是因为其支持波旁皇室的原因，同事之间很少与其进行交流。同时，柯西经常在科学院的会议上宣扬宗教切为人孤僻，所以很不受同事待见，从而导致其曾多次竞选教授失败。^[2][1][5]

柯西被任命为巴黎科学院的正式教授之后便开始授课，其课程多受欢迎。同时还写下了分析教本，以便讲课。但是，因为柯西讲授内容过于抽象，也曾多次受到校方和学生的批判。同时，对新生也缺乏关注度，如数学家庞斯列就曾提出，在柯西那里学习没有任何收获，也不可能获得理解。^[2][7][5]

除此之外柯西还有两位女儿，但是具体名称未知。^[4]