指数函数

指数函数（英文名：exponential function)是指底数一定，指数为自变量的函数，形如y=ax(a>0，a1，xR)的函数，定义域是 R。^[4][5][6]当a为不等于1的正数时，称ax是以a为底的x的指数函数，其中独立变量x是正数a的指数，变化范围是整个实数轴，最重要的指数函数是y=ex，其中e是自然对数的底，指数函数的反函数是对数函数。^[7][8]

细胞分裂是一个有趣的现象，新细胞的生成速度极为迅速。以某细胞为例，它从1个分裂成2个，再从2个分裂成4个，以此类推。在第x次分裂后，得到的新细胞数量y与分裂次数x之间的关系可以用幂函数来表示： 。^[9]

这个幂函数的自变量是幂指数。通常，形如 (a为常数且以，)的函数被称为指数函数，其定义域为全体实数R。对于所有的指数函数，其值域都是。^[3]

指数函数中的系数必须为1。例如，都是指数函数。而不是指数函数。^[10]

指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数。

指数函数的性质随着底数 a 的取值不同而变化。当 a 大于 1 时，函数对负数 x 值变化平缓，对正数 x 值增长迅速，且在 x=0 处函数值为1；当 0 小于 a 小于 1 时，函数对负数 x 值增长迅速，对正数 x 值变化平缓，同样在 x=0 处函数值为1。其切线斜率可由在该点函数值乘以 ln(a) 计算得出。即由导数知识得：

的图像总是位于 x 轴之上，且从左向右看向上递增。尽管函数值可以无限地接近 x 轴，图像永远不会触及 x 轴，因此 x 轴成为该图像的水平渐近线。作为指数函数的反函数，自然对数 ln(x) 在所有正数 x 上都有定义。

在科学中，术语指数函数有时更一般地用于形如的函数，其中 a 是不等于 1 的任何正实数。最初关注的是底数为欧拉数 e 的指数函数。需要注意的是，指数函数的定义可以扩展到更一般的情况，其中底数可以是任何正实数，而不仅限于 e。

由指数函数与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。由指数函数与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。与 的图像关于y轴对称。^[13]

指数函数比较大小常用的方法有做差法、函数单调性法、中间值法等。

如果底数相同，指数不同，则可以利用指数函数的单调性来判断大小。如果底数不同，指数相同，则可以利用指数函数图像的变化规律进行比较，判断其大小关系。如果底数与指数都不相同，则可以利用中间值法进行比较。

在比较三个及以上的数的大小时，可以先将其按照值的大小进行分组，再比较各组数之间的大小关系。此外在比较幂的大小时，也可以充分利用“1”来进行比较，即当底数与指数与“1”的大小关系相同时大于1，不同时小于1。^[14]