反函数

反函数（英文名：Inverse Function），又称为逆函数^[1]，对一个定函数做逆运算的函数^[10]。

反函数的定义是：设函数的定义域是，值域是。如果对于值域任意的，通过关系式，都有唯一确定的数值与之对应，那么由此所确定的以为自变量，为因变量的新函数叫做函数的反函数，记为，它的定义域为，值域为^[11]。

反函数的概念最早可以追溯到17世纪的欧洲数学家阿德利昂·玛利·埃·勒让德（Adrien-Marie Legendre），他首先提出了函数的反函数的概念，并通过对称图形来描述反函数和原函数之间的关系^[2]。反函数存在性定理为与其相关的重要定理，它的内容是：对于任意一个函数来说，不一定有反函数。只有在函数的定义域与值域之间建立了一一映射关系的前提下，函数才存在反函数^[12]。反函数具有奇偶性、图像对称性、单调性等基本性质^[9]。

反函数的运算包括求一个函数的反函数^[13]、反函数求导数^[14]、反函数求积分^[15]以及反函数的泰勒展开公式运算等^[16]。反函数在数学、物理、经济等领域都有应用，如运用反函数可以计算出一些函数的导数和积分^[4][5][6]。

设是两个非空集合，如果存在一个法则使得对中每个元素，按法则，在中有唯一确定的元素与之对应，则称为从到的映射，记作。其中称为元素（在映射下）的像，并记作，即，而元素称为元素（在映射下）的原像；集合称为映射的定义域，记作，即中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域，记为或，即^[17][18]。

设和是两个变量，为一个给定的非空数集，如果按照某个法则，对每一个，变量总有唯一确定的数值与之对应，那么叫做的函数，记作，，其中变量叫做自变量，变量叫做函数或因变量，自变量的取值范围叫做函数的定义域，所有函数值组成的集合称为函数的值域。是函数符号，它表示与的对应规则，函数符号也可以用其他字母来表示^[19]。

设函数的定义域是，值域是。如果对于值域任意的，通过关系式，都有唯一确定的数值与之对应，那么由此所确定的以为自变量，为因变量的新函数叫做函数的反函数，其对应规律记作，的反函数记为，它的定义域为，值域为。原来的函数称为原函数或直接函数^[11][3]。函数中，字母表示自变量。若存在反函数，为求反函数，需求以为自变量表示：^[18]；习惯上，用字母表示自变量，用字母表示因变量，改写成，称之为的矫形反函数^[11]。函数的定义域是其反函数的值域，函数的值域是其反函数的定义域^[20]。

反函数的符号是一个整体，不是的次幂或^[21][22]。

“函数”这个词用作数学的术语，最早是德国的数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）提出的。17世纪末，在他的文章中，首先使用了“function”一词，翻译成汉语的意思就是“函数”。它指的是关于曲线上某点的一些线段的长，如“横坐标”“纵坐标”“弦”“切线”“法线”等概念。18世纪，法国数学家让·勒朗·达朗贝尔在进行研究中，给函数重新下了一个定义，认为所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式，即用解析式表达函数关系。1837年，德国数学家约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）进一步给出函数的定义为：对于在某区间上的每一个确定的值，都有一个或多个确定的值，那么叫做的函数^[23]。

反函数的概念最早可以追溯到17世纪的欧洲数学家阿德利昂·玛利·埃·勒让德，他首先提出了函数的反函数的概念，并通过对称图形来描述两个函数之间的关系^[2]。同一时期，英国物理学家、数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）和德国的数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨独立地发现了微积分学，并在此基础上做出了对反函数的重要贡献。艾萨克·牛顿将反函数的研究与微积分相结合，提出了一种求解反函数的方法，即牛顿法。戈特弗里德·威廉·莱布尼茨则通过引入导数和微分的概念，对反函数进行了更加系统和深入的研究^[24]。19世纪，高斯对反函数的研究进行了推进。他提出了一个重要的定理，即反函数存在的充分必要条件是原函数为单调函数，这个定理为反函数存在性定理，为后来对反函数的研究奠定了基础，也为函数论的发展做出了重要贡献^[25]。

反函数存在性定理：只有在函数的定义域与值域之间建立了一一映射关系的前提下，函数才存在反函数^[12]。如果对应的一一映射是，则它的相反的映射也为一一映射，成为一个函数（即得反函数）^[18]。

反函数的存在性表明：对于任意一个函数来说，不一定都有反函数^[12]。如果函数有反函数，那么原来函数也是其反函数的反函数，即它们互为反函数^[12]。函数存在反函数的充要条件是对不同的自变量值，其函数值均不同。因此，要判定一个函数存在反函数，需判定对定义域内任意的两个自变量值，是否总有它们的函数值也不同，只需找出两个不同的自变量值，它们的函数值却相同^[13]。

图像对称性

函数与它的反函数的图像关于直线对称。若点在图像上，则在图像上^[26][27]。

例：若点在函数的图像上，由在它的反函数的图像上，求的值^[27]。

解：由点在函数的图像上得，又在它的反函数图像上，则在函数的图像上，得，二式联立解得^[27]。

图像交点的性质

同一坐标系内，函数与它的反函数的图像的交点，或者在直线上，或者关于直线对称地成对出现^[27][28]。若函数是单调增函数，那么与它的反函数的图像的交点必定在直线上^[29]。

证明：若点是与的图像的交点，则点必定也是。所以及。

因为，不妨设，又因为是单调增函数，所以，因为，所以，这就与相矛盾了，因此只能，故交点必定在直线上^[29]。

例：解方程^[29]。

解：因为函数是定义在上的单调增函数，且它的反函数就是，所以原方程的求解问题可以转化为求函数与的交点问题。根据反函数图像交点的性质，可进一步转化为求函数与直线的交点问题，因此可知原方程等价于：，所以，所以，所以或（无解），所以，所以原方程仅一个实根：^[29]。

单调性

函数单调性的概念：设函数在区间内有定义，如果对于任意的，当时，有，则称函数在内单调增加；若，则称函数在内单调减少。单调增加和单调减少的函数，统称为单调函数，相应的区间称为函数的单调区间^[30]。

反函数的单调性^[9]：设函数是定义域上的单调增（减）函数，那么此函数存在着反函数，且反函数也是单调增（减）函数^[31]。即互为反函数的两个函数具有相同的单调性^[20]。

反函数单调性的证明：任取，且。按函数的的定义，对于，在内存在唯一的原像，使得，于是；同理，有，于是。如果，函数为单调递增函数，必有，则当时，，有^[9]。

奇偶性

函数奇偶性的概念：设函数的定义域关于原点对称，如果对任意的，有，则称为偶函数；若有，则称为奇函数^[32]。

反函数的奇偶性^[9]：若奇函数存在反函数，则其反函数也是奇函数；定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数，例如，函数，为常数，仅这样的偶函数存在反函数^[33]。

反函数的反函数

反函数的反函数：若函数存在反函数，则，，即反函数的反函数就是原函数^[34][33]。

例：已知，分别求出的值。

解：的定义域，的值域，即的定义域，由反函数的反函数性质，，知，而，知无意义，由，，可知，无意义^[34]。

分段函数的概念

若一元函数的定义域由若干段组成（每段可以几个区间的并或一个区间或一个点），在不同段上有相应的表达式，则称在这个定义域上定义了一个分段函数。这种函数的对应关系是分段表示的，称为分段定义的函数，简称分段函数^[35]。

定理

已知函数（其中）。若函数在上均存在反函数，且，那么分段函数存在反函数，且反函数为^[36]。

实例

判断函数是否存在反函数，若存在反函数，请求出其反函数^[36]。

解：当时，函数单调递增且相应的值域为，其反函数为：。当时，函数单调递增且相应的值域为，其反函数为：。又因为，所以原分段函数存在反函数，其反函数为：^[36]。

复合函数的概念

设，，则也是一个函数，它称为是由函数和复合而成的复合函数，其中称为中间变量^[37]。

定理

定理1：设函数，，若与都存在反函数，分别为与，那么复合函数存在反函数且反函数为^[38]。

定理2：设函数由n个函数复合而成。若这个函数均存在反函数，分别为，则复合函数存在反函数且反函数为^[38]。

实例

已知函数的反函数为，求函数的反函数^[38]。

解：因为的反函数为，的反函数为。于是由定理1知函数的反函数为^[38]。

方法

若已知函数存在反函数，求该函数的反函数，一般步骤为：第一，求函数的值域；第二，将看成的方程，由求出，得；第三，在中，将互换得到；第四，标出反函数的定义域，即第一步中求出的值域^[13][12]。

实例

求函数的反函数，并在同一坐标系中画出它们的图像^[39]。

解：函数的定义域为，值域为。由得，所以，函数的反函数为^[39]。

由反函数图像的对称性作出的图像，然后作出它关于直线的对称图形即为函数的图像^[39]。

函数极限概念

如果存在一个数，在函数里，无论预先给定任意小的正数，总存在一个正数，使得对于时的的一切值，有，那么，数叫做函数的极限。记作或（当时）。因为函数的自变量是取实数值，即是函数的定义域在区间内，所以当都取正值，就可记作；当都取负值，便记作^[40]。

导数概念

设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在处取得增量时，函数有相应的改变量。如果极限存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为函数在点处的导数，记作，即^[41]。

求导法则

若函数在点的某邻域内连续，严格单调，且，则它反函数在处可导，且^[42][14]。

证明：函数存在反函数。

设在点的自变量的改变量是，则，。

因函数在点的某邻域内是严格单调的连续函数，所以反函数在的某邻域内也是严格单调的连续函数，因此当时有；当时，有，于是，，由此可得，即反函数在处可导，且，即反函数的导数等于直接函数导数的倒数^[14]。

多元函数偏导数的概念

设，在个自变量中，固定个：，让变化，那么可视仅仅是的一元函数，对求导数，便是多元函数的偏导数^[43]。

多元函数的反函数求导定理

设可微函数存在两个可微的分别偏和偏的反函数和，且这两个函数在相应定义区域、内满足，则可微函数在相应定义区间内两个偏导数存在，且^[44]。

几何意义

已知函数在点处的导数，其几何意义是：曲线在点处的切线斜率，如下图所示，则，其中为切线的倾斜角^[45]。

同理函数的反函数在点处的导函数，其几何意义是曲线在点处的切线关于轴正方向的斜率，如下图所示，即。由下图显然，即，那么，即，也即反函数的导数等于直接函数导数的倒数^[45][46]。

实例

已知函数，求该函数的导数。

解：是的反函数，显然可导，且，所以，即^[47]。

积分概念

如果在给定的区间里，是函数的导数，或是的微分，即或。那么，在给定区间上，叫做函数的原函数，或的积分。求一个函数的原函数，称为求积分，用式子表示^[48]。

方法

设是单调连续函数，是其反函数，且，求^[49]。

解：因为是单调连续函数的反函数，所以。由分部积分法，并注意到的一个原函数为，可得^[49]。

实例

计算：

解：由于，取，即，则，，，，。所以^[50]。

泰勒定理

设是定义在区间内的函数，是正整数，在区间内存在，，则对于任意的，有的多项式展开式：，该式即泰勒展开式，式中，，其中为的介值：^[51]。

反函数的泰勒展开公式

设函数在区间上存在反函数，且及，于是在上可对其反函数进行阶泰勒展开：^[52][16]。其中，（原理：反函数的导数与原函数导数互为倒数），在区间内可用的阶以下的导数组合表示，即，则^[53]。

根据精确度要求，构建反函数解析式，如取时反函数的解析式^[53]：

当时，(这实质上就是牛顿法）^[53]。

当时，^[53]。

当时，^[53]。

实例

由原函数，在速度轴上以的步长递增，求加脉冲时间间隔^[53]。

解：，，，，，避开的点（这里是），以为起点，每次计算采用暖启动方法，即以上次计算出来的点作为起点。由反函数进行阶泰勒展开式：，得^[53]。

依据精度标准验证，用的等式近似计算反函数，取1000分点验证，误差基本约等于8.561181729228595e-004，时，误差稳定在5.519257088909546e-004，比时精确度提高，当时，误差基本稳定在4.197309787538073e-004，当时已达到0.003的精度要求，这个精度高，也稳定，如果要求达到0.0003的精确度要求，可增加阶数，精确度会越来越高，但程序也复杂，经实验观察，当时，得到的误差都是正的，基于稳定在5.519e-004，在实际应用时还是应用上次计算的结果作为下步计算的起点，但机器执行时长可通过误差纠正的方法提高精度。计算结果图形如图1至图3所示，因为是高精度要求，肉眼看不出差别^[53]。

定义域为的函数存在反函数，若对于任意，恒有，则称函数为自反函数^[54]，即自反函数是指函数的反函数等于它本身的函数^[55]，自反函数的定义域与值域相等^[54]。常见的自反函数有：、与等^[55]。

定理1

函数为自反函数的充要条件是：对于任意，恒成立^[56][54]。

证明：因函数与其反函数相同，即有。将代入，得。这表明条件是必要的^[56]。

反之，若成立，将代入，得。这表明反函数的表达式与相同，故条件是充分的^[56]。

定理2

函数为自反函数的充要条件是它自身的图像关于直线成轴对称^[56]。

证明：若与相同，即有，于是点和都满足，故曲线本身对称于。反之亦然^[56]。

定理3

函数为自反函数的充要条件是也为自反函数^[57]。

证明：将变为，若令，，则为。按条件函数与其反函数相同。实际上仅是将沿轴和轴同时平移了个单位。故曲线本身关于直线是对称的^[57]。

定理4

若自反函数是奇函数，则也是自反函数^[54]。

证明：因为，而，记，则。所以是自反函数^[54]。

反函数在数学、物理、经济等领域都有广泛的应用^[4][5][6]。

反函数是微积分有力的计算工具，运用反函数可以计算出一些函数的导数和积分。在一元函数微分学中，反函数求导法则用来求一些函数的导数。在不定积分的计算中，常用的方法有直接积分法、换元积分法和分部积分法；若利用反函数的积分来计算同样可以求出一些函数的不定积分^[4]。根据定积分的可积条件与分步积分法推出一种利用反函数求定积分的简便方法^[58]。例如，利用反函数计算，由于，取，即，，所以^[50]。

在物理学中，反函数被用于描述物理量之间的关系，速度、时间和距离，加速度和力等^[5][59][60]。例如物体运动的速度、时间和距离之间的函数关系为、、，若物体运动的距离为，速度和时间的函数关系为，那么它的反函数为，反映的是物体运动速度与时间之间的关系；若物体运动的速度不变，时间和距离之间的函数关系为，那么它的反函数为，反映的是物体运动距离与时间之间的关系^[5]。

牛顿第二定律指出：物体受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同，即，式中，为物体所受到的合外力，为物体的质量，为物体所获得的加速度。若物体的质量不变，所受到的合外力与所获得的加速度的函数关系为，那么它的反函数为，反映的是物体所获得的加速度与所受到的合外力之间的关系；若物体所受到的合外力为，质量与所获得的加速度的函数关系为，那么它的反函数为，反映的是物体所获得的加速度与质量之间的关系^[59][60]。

在经济学中，反函数被用于描述需求和供给之间的关系，以及价格和数量之间的关系。例如，商品的价格与它的市场需求量之间的函数关系为，那么它的反函数为，它反映的是产品的需求量与价格之间的关系^[6]。如下图，市场价格为时，消费者剩余为，需求量为;市场价格下降至，消费者剩余增加到，需求量增加到；市场价格上升到，消费者剩余减少到，需求量减少到。可见商品的市场价格变动引起商品本身需求量反方向变动，与消费者价格和需求量之间的变动趋势是一致的^[61]。