偶函数

偶函数（even function^[1]）是指对于函数f(x)的定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x)，称f(x)为偶函数。^[1]

1727年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在提交给圣彼得堡科学院的旨在解决“反弹道问题”的一篇论文（原文为拉丁文）中，首次提出了奇、偶函数的概念，并列举了三类偶函数和三类奇函数，讨论了相关性质。1748年，欧拉在他的数学书籍《无穷分析引论》讨论了更多类型的奇、偶函数。^[2]1786年，法国人裴奇（F.Pezzi）将欧拉的《无穷分析引论》第1卷译成法文，将“奇函数”和“偶函数”分别译为“fonction impaire”和“fonction paire”，这是两个数学名词在法文中的首次出现。^[2]1792年，法国数学家勒让德（A.Legendre）向科学院提交论文《关于椭圆超越性》，将只含x的偶次幂的多项式称为x的偶函数，将只含sinφ的偶次幂的函数称为sinφ的偶函数。1809年，苏格兰数学家华里司（W.Wallace）将勒让德（A.Lengendre）的论文译成英文，偶函数被译为evenfunction。20世纪初，奇函数和偶函数两个概念传入中国。^[2]

偶函数有很多性质，例如偶函数与偶函数相加为偶函数；偶函数与偶函数相乘为偶函数等。^[7]偶函数可应用在化学^[3]、物理学^[4]、工程学^[5]等领域，例如在化学中，干涉图是傅里叶变换光谱仪测试的原始信号，理论上它是偶函数，通过傅里叶变换可得到光谱。^[3]

函数是变量之间确定的依存关系。若是一个实数集的集合（即），是某个确定的法则，每个按照对应唯一的（为实数），则称为上的函数，变量与分别称为函数的自变量和因变量，通过法则对应的值记为，也称为函数值，于是可写，实数的集合和分别称为函数的定义域和值域。这样定义的函数称为一元函数。类似地，可以定义多元函数的概念。^[1]

定义在对称区间或（或数轴上关于原点对称的点集）上的（一元）实值函数，对任意，若，即对称点的函数值相等，则称为偶函数。^[1]

1727年，瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）在提交给圣彼得堡科学院的旨在解决“反弹道问题”的一篇论文中，首次提出了奇、偶函数的概念，其中偶函数的拉丁文为“functiones pares”。欧拉指出，若用-x代替x，函数保持不变，则称这样的函数为偶函数，并列举了三类偶函数和三类奇函数，讨论了相关性质。欧拉提出的“奇函数”、“偶函数”之名显然源于幂函数的指数或指数分子的奇偶性：幂函数中，指数为偶数的为偶函数，指数为奇数的为奇函数。1748年，欧拉出版他的数学书籍《无穷分析引论》，将函数确立为分析学的最基本的研究对象，并讨论了更多类型的奇、偶函数。^[2]

1786年，法国人裴奇（F.Pezzi）将《无穷分析引论》第1卷译成了法文，“奇函数”和“偶函数”分别被译为“fonction impaire”和“fonction paire”，这是两个数学名词在法文中的首次出现。1792年，法国数学家勒让德（A.Legendre）向科学院提交论文《关于椭圆超越性》，将只含的偶次幂的多项式称为的偶函数，将只含的偶次幂的函数称为的偶函数。^[2]

1809年，苏格兰数学家华里司（W.Wallace）将勒让德（A.Lengendre）的论文译成英文，发表在《数学文库》（Mathematics Repository）上，华里司将“function paire”译为“even function”，这是“even function”在英语世界中的首次出现。20世纪初，奇函数和偶函数两个概念传入中国。1938年出版的《算学名词汇编》和1945年出版的《数学名词》中都收录了这两个名词。^[2]

定义在对称区间或（或数轴上关于原点对称的点集）上的（一元）实值函数，对任意，若，即对称点的函数值正负相反，则称为奇函数。^[1]

非奇非偶函数：若既不满足，也不满足，称为非奇非偶函数。^[8][9]

既奇又偶函数：同时为奇函数和偶函数的函数，即。^[9]

1.在平面直角坐标系中，偶函数的图像关于轴对称。^[1]

2.偶函数与偶函数相加为偶函数。^[7]

3.偶函数的线性组合仍为偶函数。^[6]

4.偶函数与偶函数的积（商）为偶函数。^[6]

5.奇函数与偶函数的积（商）为奇函数。^[6]

6.两个偶函数的复合是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的复合是偶函数。^[10]

7.偶函数在其对称区间的两边单调性相反，凹凸性相同，拐点关于轴对称。^[10]

8.若，的定义域关于原点对称，则可唯一地分解为一个奇函数与偶函数的和，其中奇函数为，偶函数为。^[6]

常见的偶函数类型有（1）;（2）;（3）(常数);（4）偶函数作中间变量的函数;（5）;（6）;（7）;（8）;（9）偶偶；（10）偶偶，偶偶；（11）偶奇，偶奇；（12）关于轴对称的函数的反函数。^[11]

定理1 若在上可导，且为偶函数，则为奇函数。^[12]

证明：

即，故为奇函数。^[12]

定理2 偶函数在上的定积分等于该函数在上的定积分的两倍。^[13]

证明：设是偶函数，则

定理3 设是偶函数，则的傅里叶级数仅含余弦项（偶函数项），即，其中^[13]

1.判定函数定义域是否关于原点对称；

2.用定义式判定与的关系；

3.作出正确结论。^[14]

为计算方便，对函数定义式可作如下变形处理：

偶函数^[14]

另外，还可直接由函数图像的对称性做出判定。^[14]

例1 判定函数的奇偶性。

解：已知函数的定义域是，

故，所以函数是偶函数。^[15]

偶函数的性质可应用于化学领域。近年来，傅里叶变换光谱仪在分析领域得到了越来越多的应用，干涉图是傅里叶变换光谱仪测试的原始信号，理论上它是光程差的函数，且是偶函数。干涉图通过傅里叶变换可得到光谱。如果对干涉图进行降噪处理，并对相位误差进行校正，可以进一步获得高质量的光谱，为后续光谱分析奠定良好基础。^[3]

偶函数的性质可用于光通信和微波光子系统中的核心器件窄带光滤波器、电光调制器、集成电吸收调制激光器的频响特性表征技术。某算法利用响应函数实部与虚部之间的Kramers—Kronig关系，并结合Kramers—Kronig关系中的最小相移条件和Wiener—Lee变换中幅频响应为偶函数的条件，通过构造过渡响应函数实现本征相频响应的恢复。该算法可有效提升微波器件的测量效率并降低测量成本。^[4]

在光刻系统中，越来越短的特征尺寸要求使用更高精度的光刻物镜。在这之前需要更高精度的检测技术来满足加工及系统集成的需要。高精度移相干涉仪的测量结果包含了待测面和参考面的误差，移相干涉测量法的测量精度受限于参考面的精度。基于奇偶函数的绝对测量方法通过移除参考面的误差，可以达到提高测量精度的目的。^[5]