拐点

拐点，数学术语，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点）。^[1]即一般的，设在区间I上连续，是I内的点，如果在经过点时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点为这曲线的拐点。^[2]

设函数在点的某邻域内连续，若（，）是曲线凹与凸的分界点，则称（，）为曲线的拐点。^[2]

注：拐点（，）是曲线上的一点，它有横坐标和纵坐标，不要只把横坐标当成拐点。

设函数f（x）在点的某邻域内具有二阶连续导数，若（，）是曲线的拐点，则,但反之不成立。

直接根据拐点的定义，可以得到曲线存在拐点的第一充分条件。

设函数f（x）在点的某邻域内具有二阶连续导数，若的两侧异号，则（，）是曲线的一个拐点；若的两侧同号，则（，）不是曲线的拐点。

设函数在点处，但，那么存在的一个领域，在该领域内或，根据函数单调性判定定理，则在该邻域内单调递增或单调递减，而，故存在点的一个邻域，在点的两侧异号，从而判定为曲线的拐点的横坐标。根据以上分析，可以得到曲线存在拐点的第二充分条件。

若，且,则（，）是曲线的拐点。

除上述情况外，f（x）的二阶导数不存在的点也有可能是的符号发生变化的分界点。

可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线的拐点：

⑴求；

⑵令，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内不存在的点；

⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点，检查在左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点(,)是拐点，当两侧的符号相同时，点(,)不是拐点。