傅里叶变换

傅里叶变换（Fourier transform^[2]），简称傅氏变换^[4]，是将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合^[11]。傅里叶变换的定义分为狭义和广义两种，狭义的傅里叶变换满足狄利克雷条件^[注1][13]，具有一维、二维等多种形式^[14][15]。

1822年后，傅里叶（Jcan-Baptiste Fourier）将傅里叶级数从以为周期的周期函数推广到任意周期的周期函数，又从周期函数推广到非周期函数，并提出了傅里叶积分的概念。傅里叶级数与傅里叶积分的提出，奠定了傅里叶变换的基础^[6]。傅里叶变换具有线性性质、对称性、相似性、平移性、微分性、积分性、卷积定理、巴什瓦定理与帕塞瓦尔定理等基本性质^[10]。常见的傅里叶变换有矩形函数的傅里叶变换^[16]、负指数函数的傅里叶变换^[17]、高斯函数的傅里叶变换^[18]和单位脉冲函数的傅里叶变换^[19]。

傅里叶变换的运算有数值傅里叶变换^[20]、用定理生成变换^[21]、对分段函数应用微分定理等^[22]。傅里叶变换在数学领域、物理领域、计算机科学及工程技术等方面有着广泛的应用，各种信号和图像的处理都需要用到傅里叶变换。此外，在量子力学中，它还可以描述波函数和能量谱，它也是求解偏微分方程的一项重要数学工具^[7][8]。

在数学上，狭义傅里叶变换是指满足狄利克雷条件^[注1]的函数的傅里叶变换^[13]，这也是傅里叶变换存在的条件^[14]。

函数满足狄利克雷条件，即分段连续，在任意有限区间内只存在有限个极值点和有限个第一类间断点，并且在区间绝对可积，则和的积分变换成立。称为的傅里叶变换，则称为的傅里叶逆变换，它们常采用的运算符号表示为、^[2][23][14]。

直角坐标系中的二维傅里叶变换

设是定义在平面的空间函数，它的傅里叶变换存在，并用空间频率平面的二维函数表示，于是有。称为的空间频谱，通过对的二维傅里叶逆变换可恢复原函数，^[15]。

极坐标系中的二维傅里叶变换

利用直角坐标与极坐标的坐标变换公式，可直接从直角坐标系中的二维傅里叶变换导出极坐标系中二维傅里叶变换的公式。设平面的极坐标为，频率平面的极坐标为，坐标变换公式为，直角坐标系的变换公式中，令，，于是极标系中二维傅里叶变换和傅里叶逆变换可表示为，^[15]。

设是一个不存在狭义傅里叶变换的函数，而是一个存在狭义傅里叶变换的普通序列函数，即有（为整数）。如果可以表示为的极限，即，并且当时，的极限存在，于是可将的广义傅里叶变换定义为^[13]。

一个以为周期的函数，若在上满足狄利克雷条件，则在上可以展开成傅里叶级数为。其中，，，，^[12]。

设是定义在上的非周期函数，将看作是周期为的周期函数当时的极限形式，则由式和式有^[24]，又可变为，由积分的定义，有，式子右端的积分式称为的傅里叶积分^[24]。

17世纪和18世纪，在牛顿（Newton）和莱布尼茨（Laibniz）等科学家的推动下，数学获得了快速的发展。随着函数、极限、微积分和级数理论的创立，法国数学家傅里叶（Jcan-Baptiste Fourier）在1822年发表了题为《热的解析理论》的论文^[25]。在该论文中，傅里叶提出，以为周期的周期函数可展开成无限多个正弦函数和余弦函数的和，即，该式子就是傅里叶级数，式中，^[6]。

1822年后，傅里叶将傅里叶级数从以为周期的周期函数推广到任意周期的周期函数，又从周期函数推广到非周期函数，并提出了傅里叶积分。傅里叶级数与傅里叶积分的提出，奠定了傅里叶变换的基础。傅里叶级数就是连续傅里叶级数变换的逆变换，傅里叶积分则是连续傅里叶变换的逆变换。拉普拉斯变换也是一种傅里叶变换。早在1782年，拉普拉斯（Laplace）就提出了拉普拉斯变换^[6]。

傅里叶级数、傅里叶积分和拉普拉斯变换形成了早期傅里叶变换家族的三种变换。在19世纪的数学研究中产生了傅里叶变换，早期的傅里叶变换是数学分析的一个分支。傅里叶变换又是工程技术的理论基础，20世纪的信息科学以傅里叶变换为基石。随着电磁理论和技术的产生和发展，尤其是电子通信与电信号理论和技术的产生与发展，傅里叶级数、傅里叶变换和拉普拉斯变换在物理学等领域得到了广泛的应用^[6]。

在模拟信号传输和模拟信号处理的时代，傅里叶变换只是一种用于分析连续时间信号和系统的数学工具。为了实际地获得各种复杂信号中特定频率的分量，工程师们应用由电阻、电容、电感等模拟元器件为基础构成的模拟滤波器。通过不同频率的窄带滤波，得到由傅里叶变换所预计的信号中频率分量的幅度和相位^[6]。

这种用模拟滤波器给出傅里叶变换数值的方法不仅麻烦，而且由于窄频带信号是由多个频率分量组成的，因此所得到的数值很不准确。随着大规模集成电路和超大规模集成电路的发展以及计算机技术的进步，随着模拟信号变为数字信号，从20世纪60年代开始，由计算机和各种数字硬件处理信号的理论和方法逐渐产生。在它们产生和发展的过程中，傅里叶变换家族出现了新的成员。这些新的成员是离散周期信号的离散傅里叶级数变换、离散时间信号的序列傅里叶变换、离散时间信号的变换和典型有限序列的离散傅里叶变换^[6][26]。

设与为任意的两个函数，和为任意常数，则有^[27][28]，即函数线性组合的傅里叶变换等于各函数傅里叶变换的相应线性组合^[29]。同样地，傅里叶逆变换也是线性变换^[27]。

傅里叶变换并不改变函数的奇偶性，通常把这个性质称为傅里叶变换的对称性^[30]。若函数的像函数是，则作为的函数的像函数为，即^[27]。

以两次连续傅里叶变换为例，则有。这个性质表明，对函数连续作两次傅里叶变换，即得其“镜像”。两次以上的情形当可类推^[31]。

设，则^[32]。这一性质表明，如果函数的图像变窄，则其傅里叶变换的图像将变宽变矮；如果变宽，则将变窄变高^[33]。

若，为实常数，则。这个性质在无线电技术中也称为时移性，它表示时间函数沿时间轴向右平移（也称延时）后的傅里叶变换等于的傅里叶变换乘以因子。同理还可得^[34][32]。

像函数的平移性：设，为常数，则^[35]。

若，且，则。这个性质说明一个函数的导数的傅里叶变换等于这个函数的傅里叶变换乘以因子^[36]。

像函数的微分性：若，则。由这个性质可知，若已知的傅里叶变换，则的傅里叶变换也可求出^[36]。

若的函数满足傅里叶积分定理的条件，则^[37][38]。

设，则有，。和这两个积分分别表示曲线和曲线各自覆盖的面积^[39]。

卷积函数的概念

含参变量的积分是的函数，称作函数与的卷积函数，简称卷积，记作，即。^[40]。

卷积定理

两个函数卷积的像函数，等于两个函数各自的像函数的乘积，即^[41]。

频谱卷积定理

两个函数乘积的像函数，等于它们各自像函数（在实用上称为频谱函数）卷积的倍，即^[28][42][41]。

共轭复数的概念

当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数（当虚部不等于0时，也叫做互为共轭虚数）。复数的共钜复数可以用来表示，所以如果，那么，显然，而且复平面内表示两个互为共轭复数的点与关于实轴对称^[43]。

巴什瓦定理与帕塞瓦尔定理

若函数以及平方可积，设，，则（式中*表示共轭复数）^[42][44]，该式称为巴什瓦（Parseval）定理。特别地，对于平方可积函数，有，该式称为帕塞瓦尔（Plancherel）定理。这两个定理表明，傅里叶变换是平方可积空间上的一个运算符（若不考虑因子）^[42]。

互相关定理

设，，则有（式中*表示共轭复数）。习惯上，称乘积为函数与的互能量谱密度。因此，互相关定理表明，两个函数的互相关函数与它们的互能量谱密度构成傅里叶变换对^[45]。

自相关定理

设，则有（式中*表示共轭复数）。习惯上，称为函数的能量谱密度。因此，自相关定理表明，一个函数的自相关函数与能量谱密度构成傅里叶变换对^[46]。

设，求它的傅里叶变换。根据公式给出的矩形函数的定义，它的傅里叶变换为。在物理光学中，习惯将的主瓣宽度定义为矩形函数的频带宽度，由图可知，的频带宽度^[16]。

设，则。为复函数，它的振幅和相位分别为，^[17]。

高斯函数的定义

高斯函数的形式为，其中为实数常数，且^[47]。

高斯函数的傅里叶变换

设，则，式中最后一步应用了普哇松积分。这个例子表明，高斯函数具有自傅里叶变换的性质^[18]。

不确定性原理或称为—带宽积定理，是对傅里叶变换的一种基本描述。给出时域信号为，相应的频域信号为，它们是一对傅里叶变换对。不确定性原理的本质就是：较窄的时间波形产生较宽的频谱，而较宽的时间波形产生较窄的频谱，时间波形的宽度和频谱宽度不可能同时任意小^[48]。

傅里叶余弦变换

设为上的偶函数，它的傅里叶变换。积分称为定义在上的函数的傅里叶余弦变换。它的逆变换^[49][50]。

傅里叶正弦变换

设为上的奇函数，它的傅里叶变换。积分称为定义在上的函数的傅里叶正弦变换。它的逆变换为^[51][50]。

当研究的定解问题非轴对称时（），方程在单值且有限的定解条件下，所对应的本征值及本征函数为，即是球谐函数的表达式^[52]。

为了应用的方便，可将归一化常数得到归一化的球谐函数。利用缔合勒让德函数的表达式，可得到相应的归一化的球谐函数^[52]：

^[52]；

^[52]；

^[52]；

^[52]；

^[52]；

^[52]。

如果一个函数的值是由物理测量得到的，若需要求出它的傅里叶变换，就有几种可能性发生。首先，物理数据的某些限制会响到结果，所以要先从数值变换方面入手。该数据是在自变量的许多离散值上给出的。间隔可能如此之小，以致不必关心中间值的内插，但不论在何种情况下，总可以认为对于周期小于的傅里叶分量，其数据不可能含有它们的任何重要信息。因此，没有必要对高于的频率进行计算^[20]。

此外，观测数据是在的一个有限范围内给出的，如。按照同样的论证，傅里叶变换不需要列出间隔比更细密的数值表。如果在中有任何需要间隔比更精细的数值表才能刻画的重要细节，那么为了把它揭示出来，对于的测量就必须扩展到之外^[20]。

物理数据的另一个性质是含有误差。因此，傅里叶变换计算的值所能保证的精度是有限的。这种限制可用误差成分的功率频谱简明的表示出来（或者等效的用误差成分的自相关数）。有时，误差只有数值大小的改变，而它们的频谱不变；有时，误差的大小和频谱都不清楚。无论何时，误差都使得变换的计算值的小数部分的位数受到限制，而它们恰好具有重要的物理意义。

设是用处的值来表示的，其中整数跑在到之间。一般地，在计算的傅里叶变换之前，必须知道对于在的整个无穷范围内的信息。因此，只能求助于物理知识，并对测量范围之外的性质作某种假定。在这种况下，假定当时为零。那么其和就是的一个近似值。在实际上，可分别计算其实部和虚部，它们是由和式和构成。这一跑遍项的和必须对每个选定的值都求和^[53][20]。

一旦证明了某种性质，它使某个定理能够简单地应用。例如，考虑一个连续分段线性函数，如下图所示这个函数可以表示为一个三角窗函数和一系列冲激函数的卷积，可以把冲激函数的傅里叶变换和三角窗函数的傅里叶变换相乘，于是。取梯形脉冲，显然，^[21][54]。

微分定理有一个特殊应用，它被广泛地用于开关波形。考虑如图（1）所示的一个分段的线性函数，它的一阶导数如图（2）所示，包含一个冲激。由于冲激函数的变换是已知的，去掉这个冲激，再求一次微分如图（3）所示。这时只剩下一系列的冲激。如果一阶导数包含一系列冲激，而不是只有一个冲激，或者如果原来的函数中包含冲激，那么变换为^[22]。

这种方法可以扩展到由由多项式分段组成的函数，在这种情况下，就需要进行进一步的微分。如，考虑抛物线脉冲，这里。进行两次微分，可以得到，。等式左边的变换是已知，即。因此，所求的变换为。这里的和是积分常量，这是因为给初始的抛物线脉冲加上一个常量并不影响它的一阶微分，同样，二阶微分也是如此。对给定脉冲的积分表明没有叠加常量（零阶项）或线性项（一阶项），所以并且有^[22]。

对定义在区间上的实自变的函数做运算并取广义积分得到一个复数的复值函数，，函数与另一函数的对应律叫做拉普拉斯变换，用记号表示，即，所以有。函数称为函数的像函数，也称为的拉普拉斯变换的结果，简称为的拉普拉斯变换^[57][58]。

函数的希尔伯特变换由积分定义。由定义可知，函数的希尔伯特变换，可看作是与的卷积，即。希尔伯特变换可以看作是一个线性—平移不变系统，该系统的原点脉冲响应为，相应的传递函数则为。希尔伯特变换的原点脉冲响应与传递函数的图像分别如下图（1）、（2）所示^[59]。

函数的阿贝尔变换一般定义为，符号和分别表示同平面内的横坐标和半径。上面的公式也可以写为，其中。令和，再设以及，有，其中，或者，再有。必要时，可以把称为的改进的阿贝尔变换”^[60][61]。

傅里叶变换在数学领域、物理领域、计算机科学及工程技术等方面有着广泛的应用，各种信号和图像的处理都需要用到傅里叶变换，同时它也是求解微分、积分方程、数学物理方程等问题的一种有效数学工具^[7][8]。

傅里叶变换在数学和物理方程种有着广泛的应用^[62]。运用傅里叶变换的线性性质、微分性质以及积分性质，对欲求解的常系数微分方程（包括积分方程和微积分方程）的两端取傅里叶变换，可将其转化为像函数的代数方程，通过解代数方程求出像函数，然后再取傅里叶逆变换，就可得到原来微分、积分方程的解^[63]。

在量子力学中，傅里叶变换用于描述量子力学中的波函数和能量谱。通过傅里叶变换，可以将波函数从坐标空间转换到动量空间，从而更好地描述粒子的位置和动量信息。傅里叶变换为通过描述粒子状态的等效性，利用动量表象对平面波进行展开，从而实现坐标表象下的状态波函数与动量表象下的表示之间的转化。在确定傅里叶变换本质的前提下，利用的性质找出坐标表象下的动量本征函数，通过动量本征函数为基矢的表象即动量表象对平面波函数进行展开，即得傅里叶变换式，同时，根据动量本征函数的正交归一性，得其逆变换^[64]。

傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法，该算法表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。在数学角度，傅里叶变换可将函数转换为叠加的周期函数进行处理。在物理角度，傅里叶变换则是将图像从空间域转换到频率域，将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域，将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数^[3]。

在通信系统中，信号从发射端传输到接收端一般需要进行调制和解调。因为无线电通信系统是通过空间辐射方式传送信号，由电磁波理论可知，天线尺寸为被辐射信号波长的1/10左右最为有效。对于语音信号，算出来的天线尺寸就要达到几十千米以上，这是不可能的。而且如果不进行处理，各个发射台可用的频段就极为有限，很容易产生混叠。为解决这一问题，实际通信系统中采用了调制的方法发射信号，即通过把各种信号的频谱搬移到较高的频率范围，使发射简便，各发射台信号不混叠，而其原理正是傅里叶变换^[65]。

傅里叶变换在图像处理中主要应用方向有：图像增强与去噪、边缘检测、特征提取、图像压缩等。其核心思想是使用傅里叶变换将图像由空间域转换至频率域，通过对频率域进行不同的运算操作，实现预期的图像处理效果^[3]。

图像增强与去噪

若简单将图像的频率谱划分为高频分量和低频分量，则其中的高频分量代表了图像的突变部分（即边缘信息），低频分量代表了图像的平缓区域（即轮廓信息）。图像增强和去噪即是通过不同的传递函数对频率函数进行卷积运算，得到新的频率函数。新的频率函数中，期望保留的频率信号被增强，期望去除的频率信号（噪声）被减弱。可通过傅里叶逆变换得到新的图像函数，即增强和去噪后的图像^[3]。

边缘检测

边缘检测原理与图像增强一致，图像的边缘信息即是频谱图中的高频分量，有效地保留并处理这些高频分量，以达到边缘检测的目的^[3]。

特征提取

图像特征可分为颜色特征、纹理特征、形状特征、空间关系特征等。颜色特征是一种描述图像表面性质的全局特征，包含了图像区域的所有像素点。常用的颜色特征提取方法有：颜色直方图法、颜色集法、颜色矩法、颜色聚合向量法、颜色相关图法等；纹理特征与颜色特征类似，也是一种全局特征，与颜色特征不同的是，纹理特征是基于全部像素点的统计运算而非基于单个像素点。常用的纹理特征提取方法有：统计法、模型法、几何法、信号处理法等；形状特征是一种局部特征，常用的形状特征提取方法有：边界特征法、傅里叶形状描述法、几何参数法、形状不变法等；空间关系特征是指图像中分割出来的多个目标之间相互的空间位置或相对方向关系，这些关系可分为连接/邻接关系、交叠/重叠关系和包含/包容关系等^[3]。

图像压缩

利用压缩编码理论，对频率空间进行重新编码及传输，可实现图像压缩的效果。由于图像相关性的明显降低，频率域的编码比空间域更为简单^[3]。

在电力工程中，采用正弦制，并力图得到正弦交流电流；在电子技术中，电路常常工作在非正弦状态中。非正弦量可分为周期的和非周期的。线性电路在非正弦周期电源作用时，常运用谐波分析法。谐波分析法的数学工具是傅里叶级数展开法，所依据的是线性电路的叠加定理。其过程：应用傅里叶级数将非正弦量分解为一系列不同频率的正弦量之和，然后用叠加定理，分别计算各种正弦量单独作用时产生的电压、电流，最后叠加即可。在暂态分析之中，常常利用傅里叶变换的基本关系式，它把响应的傅里叶变换与输入函数的傅里叶变换及电路的传递函数联系起来^[66]。