离散傅里叶级数

离散傅里叶级数（DFS）是对离散周期信号进行频域分析的工具，其系数序列具有周期性。与连续傅里叶级数不同，离散傅里叶级数的频谱是周期性的，这是由时域的离散性导致的。

和连续周期信号相比，离散周期信号的离散傅里叶级数的频谱是周期性的，因为时域的连续对应于频率的非周期，时域的离散对应于频率的周期。所以我们只需要在的频域区间上取N个点就可以完整表示出来了。这是连续周期信号和离散周期信号傅里叶级数的最根本区别。

对于一个周期为N的离散周期序列，其离散傅里叶级数的系数序列可以通过以下公式计算得到：

而离散傅里叶级数的逆变换，用于从系数序列重构原始序列，其公式为：

这里的表示对一个周期N内的值求和。

对于连续周期信号的离散化，我们首先需要理解连续信号是周期为T的函数。

然而，当这个信号被离散化时，它的离散版本不一定是周期的。只有当是有理数时，离散信号才是周期函数。

在这个条件满足的情况下，连续周期信号的离散版本对于k也是周期为N的函数。这意味着在一个周期内，只有N个不同的值。

离散傅里叶变换（DFT）实际上是离散时间傅里叶级数在主值区间上的取值。当我们将非周期函数定义拓广为周期函数：，并且当时，就变成了，这时我们可以求出的傅里叶级数。

当时，无穷级数变成了积分，得到的结果是一个连续的周期函数，这就是的离散时间傅里叶变换。在它的主值区间上采样，就可以得到离散傅里叶变换的变换序列。