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梯形（英文：Trapezoid[1]），是数学中的一种几何图形，指只有一组对边平行的四边形。[1]四边形由凸四边形和凹四边形组成，梯形是凸四边形。[6]
梯形是平面几何图形中常见的一种，[7]欧几里得是历史上第一个创造了一个比较完整的几何数学理论的人。他写成的《几何原本》一书是数学史上的早期巨著，标志着欧氏几何学的建立。[2]在梯形中，互相平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰，梯形两底之间的垂线叫做梯形的高。[1]等腰梯形和直角梯形是两种特殊的梯形。[5]两腰相等的梯形叫等腰梯形（Isosceles trapezoid）；一腰垂直于底的梯形叫直角梯形（Right-angled trapezoid）。[5]平面几何中，与梯形相似的图形有平行四边形和矩形，它们都是四边形，都有一组对边平行。此外，还有一种类似图形为曲边梯形，通过求其面积，可以定义定积分。[8][9]
梯形在数学领域有着广泛的应用，平面几何中，通常用定义法判定梯形，在日常生活中也有很多常见的梯形物体。在建筑方面，梯形的建筑样式可以让建筑基础稳固，便于高度的提升。[4]进行冶炼时，扁平梯形内浇道吸动区域小，有助于发挥浇道的挡渣作用，在黑色或非铁合金铸件造型中都可以使用。[10]
欧氏几何
梯形是数学中的一种常见的平面几何图形，而真正把几何总结成一门具有比较严密的理论学科的，被认为是古希腊杰出的数学家欧几里得。约公元前3世纪，欧几里德集前人之大成，他总结了人们在生产、生活实践中获得的几何知识，规定了少数几个原始假定为公理、公设，并定义了一些名词概念，通过逻辑推理得到一系列的几何命题。在此基础上研究图形的性质，按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法，整理成一门有着严密演绎的体系，写成了数学史上的早期巨著《几何原本》一书，标志着欧氏几何学的建立。他是历史上第一个创造了一个比较完整的几何数学理论的人。[2]
一般梯形
由不在同一直线上四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形或立体图形叫四边形，四边形由凸四边形和凹四边形组成。[6]
凸四边形是四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边均在其同侧的四边形。[6]
相关概念
梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。[1]
梯形的底：梯形中互相平行的两边叫做梯形的底。[11][注1]
梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。[11]
梯形的高：梯形两底之间的垂线叫做梯形的高，梯形有无数条高。[11]
梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。[12]
梯形的底角：梯形的底边与腰的夹角叫做梯形的底角，梯形有四个底角。[11]
梯形的对角线：连结梯形不相邻两顶点的线段称为梯形的对角线。[13]
梯形的性质
梯形的两底互相平行。[3]同一腰上的两底角互补。[3]
梯形的判定
1.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。[3]
2.有一组对边平行且不相等的四边形是梯形。[3]
相关公式
梯形的特殊分类
直角梯形和等腰梯形是特殊的梯形。[5]
| - | 直角梯形 | 等腰梯形 |
|---|---|---|
| 定义 | 一腰垂直于底的梯形叫直角梯形[5] | 两腰相等的梯形叫做等腰梯形梯形[5] |
| 图形 |  |  |
| 判定 | ①有一个角是直角或一腰垂直于底的梯形是直角梯形[15] ②中线垂直于一腰的梯形是直角梯形[15] ③和底边不垂直的腰的中点到另一腰两个端点距离相等的梯形是直角梯形[15] | ①两腰相等的梯形是等腰梯形[16] ②同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形[16] ③对角线相等的梯形是等腰梯形[16] |
| 性质 | ①直角梯形有一个角是直角[3] ②直角梯形的一腰垂直于两底[3] | ①等腰梯形的两条腰相等[11] ②等腰梯形在同一底上的两个底角相等[11][16] ③等腰梯形的两条对角线相等[16] ④等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴，是上下底中点的连线所在直线[12] ⑤等腰梯形的中位线平行于上下两底且等于上下底和的二分之一[12] ⑥等腰梯形的对角互补，[17]四顶点共圆[18] |
相关图形
| - | 梯形 | 平行四边形 | 矩形 |
|---|---|---|---|
| 图片 |  |  |  |
| 定义（区别） | 只有一组对边平行的四边形[1] | 两组对边平行的四边形[19] | 一个角为直角的平行四边形[20] |
| 判定 | ①一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形[3] ②有一组对边平行且不相等的四边形是梯形[3] | ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形[21] ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形[21] ③两条对角线互相平分的四边形是平行四边形[21] | ①有三个角是直角的四边形是矩形[22] ②对角线相等，且互相平分的四边形是矩形[22] |
| 性质 | ①梯形的两底互相平行[3] ②同一腰上的两底角互补[3] | ①平行四边形的对边相等，对角相等[23] ②平行四边形的两条对角线被其交点平分[23] ③平行四边形的一组对边平行且相等[23] | ①矩形的对边平行且相等[22] ②矩形的四个角都是直角[22] |
| 联系 | 都是四边形，都有一组对边平行[1][19][20] | ||
数学领域
梯形是数学中重要的几何形状之一，广泛应用于平面几何的解题过程中。[3]
例1：如图4，已知：梯形ABCD的CD//AB，并且AC=BD，求证：梯形ABCD是等腰梯形。
（分析：对于梯形的判定，通常使用的是定义法，在图4中，由于ABCD是梯形，那么只要证明AD=BC，即可证明梯形ABCD是等腰梯形，即：两腰相等的梯形是等腰梯形[16]）
证明：
过D作DE//AC交BA的延长线于E，则ACDE是平行四边形，∴DE=AC。
又BD=AC（已知），∴DE=BD，∴ ∠E=∠2（等腰三角形的底角相等）。
又∠E=∠1，∴ ∠1=∠2。又AC=BD，AB=AB，∴（SAS）。[注2]
∴AD=BC，∴梯形ABCD是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）。[26]
例2：如图5，已知：等腰梯形ABCD的锐角等于60°，它的两底分别为15厘米和49厘米，求：它的腰长AB、CD。
解：作AE⊥BC、DF⊥BC，则AE//DF，
又AD//BC，∴四边形AEFD是矩形，EF=AD=15cm，
又梯形ABCD为等腰梯形，AB=CD，AE=DF，
∴，∴BE=CF=（BC-EF）÷ 2=（49-15）÷ 2=17（cm），
在直角△ABE中，∠B=60°，∴∠BAE=30°，∴ AB=2BE=17 x2=34 （cm），
∴CD=AB=34cm[27]。
冶金铸造
一般常用的内浇道截面形状有：扁平形、三角形、月牙形、和半圆形或圆形。扁平梯形应用广泛，其特点吸动区域小，有助于发挥浇道的挡渣作用，浇完后凝固快，且造形方便，清除容易，在黑色或非铁合金铸件造型中都可使用。[10]
交通设施
附着于隧道壁、桥墩、台侧墙及混凝土护栏侧墙上的轮廓标的形状可采用圆形、长方形或者梯形。可根据建筑物的种类及设置部位采用不同形状的轮廓标和不同的连接方式。[28]
建筑设计
梯形的建筑样式可以让建筑基础稳固，便于高度的提升。古巴比伦时期，人们敬仰天地日月。古巴比伦的祭祀建筑Ziggurat 外形设计为梯形并逐级抬高。逐级抬高的方式可以让人们更加接近日月，感受大自然的力量。Ziggurat 的梯形空间在视觉上具有坚实感和往上的提升感[4]。梯形柱础是立面为梯形的柱础，一般都是一个正梯形，即窄边在上，宽边在下。梯形柱础上小下大，具有极好的稳定性，非常适用于柱子负荷较大的建筑中，其表面也可加雕刻装饰。[29]
图片摄影
在图片摄影中，梯形构图是一种比较常见的构图形式，以梯形为主要结构特征，造成坚固、稳定、向上的视觉感受，通常由仰视拍摄角度构成。[30]
积分的发现
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克斯（Eudoxus）创立了较严格的确定面积和体积的一般方法“穷竭法"，这种方法假定量的无限可分性，并且以下面命题为基础：“如果从任何量中减去一个不小于它的一半的部分，从余部中再减去不小于它的一半的另一部分，则最后将留下一个小于任何给定的同类量的量。欧多克斯的穷竭法，体现出了极限论思想。[31]
公元263年左右，中国魏晋时期数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可以无限逼近圆面积。即所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。[32]刘徽提出的“割圆术”就开始孕育了积分思想。[33]
经过莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）、达朗贝尔（D’Alember Jean Le Rond）、约瑟夫·拉格朗日（Joseph Lagrange）等著名数学家研究奠基后，直到17世纪初，英国艾萨克·牛顿（SirIsaacNewton）从运动学出发，由力学创造流数学（微积分），同时期，德国戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）从几何学出发，由研究曲线的切线问题创立了微积分。[33]
19世纪，柯西（Cauchy）通过研究得到连续函数一定存在积分的结论，随后，波恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）发现具有有限个间断点的不连续函数也存在积分，进而黎曼将柯西积分中的连续函数推广到了有界函数，并定义了黎曼积分，这在很大程度上完善了积分严谨的逻辑基础及定义。[33]
曲边梯形
五十年代苏联A·jI辛饮著的《数学分析简明教程》，其中对曲边梯形是这样定义的：它有三条边是直线，其中两条互相平行，第三条与前两条互相垂直，第四条边是一条曲线的一段弧，它与任一条平行于它的邻边的直线至多只交于一点。[34]
在直角坐标系中，由一条连续曲线与三条直线，和所围成的封闭图形（如图1）叫做曲边梯形。曲线和区间分别叫做曲边梯形的曲边和底。[8]
特点：曲边梯形的特点是高度不断变化。[35]
对函数而言，在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。[36]为了计算曲边梯形的面积，先将曲边梯形分成许多小长条（小曲边梯形），再把每个小曲边梯形的面积用相应的小矩形的面积做近似代替。将这些小矩形的面积加起来得到曲边梯形面积的近似值。当分割越细密时，矩形面积的和越接近曲边梯形的面积；当无限细分时，其和就无限地接近曲边梯形的面积。因此，曲边梯形的面积等于矩形面积和的极限。[8]
例：计算曲边梯形aMNb的面积（如图2）。
1）分割
在区间中任意插入-1个分点，把区间分成个小区间，，···，，···，，它们的长度依次为，，···，，···，，过各分点作x轴的垂线段，把曲边梯形分成个小曲边梯形，设其中第个小曲边梯形的面积为。[8]
2）取近似
在每个小区间上任取一点，取以为高，为底的小矩形面积作为同底的小曲边梯形面积的近似值，即。[8]
3）求和
将个小矩形的面积相加得到曲边梯形面积的近似值，即。[8]
4）取极限
把个小区间的长度中的最大者记作，当时，的极限就是曲边梯形面积的精确值。可见，曲边梯形面积是一个和式的极限。[8]
定积分的定义
用类似的方法可以定义定积分，设函数是定义在区间上的连续函数，在中任意插入-1个分点，把区间分成个小区间，， ···，，···，。[9]
各个小区间的长度依次是，，···，，···，，在每个小区间上任取一点，作函数值与的乘积并作和，记。[9]
如果不论对怎样分法，也不论在小区间上怎样的取法，只要当λ→0时，和总趋于确定的常数，我们就称这个常数为函数在区间上的定积分，记作，即，其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，和分别叫做积分的下限和上限，叫做积分区间，叫做积分和式，并且把读作：函数从到的定积分。[9]
参考资料 36
- 参考 2
- 参考 3
- 参考 4
- 参考 6
- 参考 7
- 参考 8
- 参考 9
- 参考 10
- 参考 11
- 参考 12
- 参考 13
- 参考 14
- 参考 15
- 参考 17
- 参考 18
- 参考 19
- 参考 20
- 参考 21
- 参考 22
- 参考 23
- 参考 24
- 参考 25
- 参考 26
- 参考 27
- 参考 28
- 参考 29
- 参考 30
- https://d.wanfangdata.com.cn/Thesis/ChJUaGVzaXNOZXdTMjAyMzAxMTISCFkxMzQ5OTQxGgh2dzJ1eGR0Mw%3D%3D
- https://d.wanfangdata.com.cn/Periodical/ChlQZXJpb2RpY2FsQ0hJTmV3UzIwMjMwNDI2Eg1zeHRiMjAxMDEwMDA3GggycTh5M2pqNQ%3D%3D
- https://d.wanfangdata.com.cn/Periodical/ChlQZXJpb2RpY2FsQ0hJTmV3UzIwMjMwNDI2Eg94ZHp5ankyMDIxMzEwMjIaCDJqNjlweTRy
- 参考 34
- 参考 35
- 参考 36
注释
- 在有些情况下，梯形的上下底以长短区分，而不是按位置确定的，把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。
- 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形，全等三角形的一切对应元素(对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高线、对应角的角平分线等)都相等，全等三角形的判定方法有3种：三条边对应相等(SSS)；两边及夹角对应相等(SAS)；两角及夹边对应相等(ASA)。[24]△ABC与△DEF是全等的三角形，记作“△ABC≌△DEF”，其中“≌”读作“全等于”[25]