约瑟夫·拉格朗日

约瑟夫·拉格朗日（全名：约瑟夫·路易斯·拉格朗日，外文原名：Joseph-Louis Lagrange，1736年-1813年），法国籍著名数学家、物理学家、天文学家，数学分析学主要代表人物之一。^[1][4]

约瑟夫·拉格朗日于1736年出生于意大利都灵，其少年时对数学并无兴趣，后因一篇介绍牛顿关于微积分的研究工作的文章决心研究数学。拉格朗日在都灵上大学期间学习几何学，17岁开始专攻数学分析。1754年，拉格朗日完成第一篇论文，并开始研究变分极值。次年，拉格朗日将一篇介绍用纯分析方法求变分极值的论文写信给欧拉，并得到其赏识，后被任命为都灵皇家炮兵学校的数学教授。1756年，拉格朗日将变分法应用于力学，并于8月被任命为普鲁土科学院通讯院士，9月升任副院士。1757年，拉格朗日与都灵青年科学家建立了科学协会，并在《都灵科学论丛》刊登变分法、分析力学等方面的研究成果。1766年，拉格朗日被任命为普鲁士科学院数学部主任。在普鲁士科学院期间其研究成果涵盖数论、天文学等方面，并完成《分析力学论述》的编著工作，此后便一直在柏林做研究，后因普鲁士国王腓特烈二世去世，拉格朗日离开柏林。1787年，拉格朗日来到巴黎科学院工作，并在1790年成为“度量衡委员会”主席。1795年，拉格朗日担任法兰西研究院科学院的数理委员会主席。1813年，拉格朗日因病逝世，终年77岁。^[3][4][6][7]

拉格朗日一生获得过很多荣誉，如先后获得巴黎科学院1772年，1774年，1776年，1780年度的奖金，并被拿破仑封为伯爵以及授予帝国大十字勋章。^[4]拉格朗日在数学、力学和天文学三个领域中都有着历史性贡献，其一生的著作、论文、学术报告记录和学术通讯等有500多篇，其代表作品有《分析力学》《解析函数论》《函数计算教程》等。后世为了纪念拉格朗日，以他的名字命名了许多数学定理以及小行星，他也成为名字被刻在埃菲尔铁塔的72位法国科学家和工程师中的一位。^[6][8][9]

约瑟夫·拉格朗日1736年出生于意大利都灵，其父亲弗朗切斯科·洛德维科·拉格朗日亚曾是法国陆军的一名军官，之后在都灵的公共事务和防务局从事会计工作，并立下一条家规：必须有一子继承自己的工作。后来因父亲经商失败，家道中落，拉格朗日不得不出来独立营生 。^[3][4][7]

少年时代的拉格朗日对数学并无兴趣，而是喜欢文学，但在读了一篇介绍牛顿关于微积分的研究工作的文章后^[注1]，便决心研究数学。后拉格朗日在都灵上大学时，由数学家雷维里（Revelli）教导几何学，逐渐显示出数学才能，从17岁开始专攻当时发展飞快的数学分析。^[4][6][7]

1754年，18岁的拉格朗日用意大利语完成了自己的第一篇论文，内容是应用牛顿二项式定理处理两函数之积的高阶微商。在寄信给数学家法尼亚诺（Fagnano）之后，又以拉丁语写出并寄给在柏林的数学家欧拉（Euler）。但不幸的是，早在之前这一研究内容就已经被莱布尼茨（Leibniz）所发现，即后来的莱布尼茨公式。拉格朗日没有受到过多的负面影响，并于年底开始研究变分极值的工作。^[3][4]

1755年8月12日，拉格朗日写信给当时的普鲁士科学院数学部主任欧拉，是一篇介绍用纯分析方法求变分极值的论文，并于9月6日收到了回信，获得了赞赏。对变分法的贡献成果让拉格朗日在都灵出名，年仅19岁就被任命为都灵皇家炮兵学校的数学教授，正式从事数学领域的研究工作。^[4]

拉格朗日在担任数学教授之后，仍然进行着数学研究工作。在1756年写给欧拉的信中，拉格朗日将变分法应用于力学，并把欧拉有心力^[注2]中的一个定理推广到一般动力学问题。同年8月，拉格朗日被任命为普鲁土科学院通讯院士，又于9月2日晋升为副院士。^[3]

次年，以拉格朗日为首的都灵青年科学家建立了一个科学协会，即都灵皇家科学院的前身，并陆续在《都灵科学论丛》（Mélanges de Turin）上出版一系列学术刊物。在前三卷中刊登了拉格朗日有关变分法、分析力学、声音传播、常微分方程解法、月球天平动、木卫运动等方面几乎所有的优秀研究成果。^[3][4]

1763年11月，拉格朗日来到巴黎与达朗贝尔（d'Alembert）初次会面交谈。在达朗贝尔的推荐下，拉格朗日在回都灵的途中探访了数学家D.伯努利（Daniel Bernoulli）和文学家F.伏尔泰（Voltaire），这对后来拉格朗日的数学研究工作的顺利进展提供了帮助。回到都灵后，拉格朗日的声望增长，并于1765年秋收到达朗贝尔邀请他来柏林任职的通知，但因其不愿与欧拉争职位，便回信拒绝。^[4]

1766年3月，达朗贝尔来信告知拉格朗日，说欧拉即将离开柏林，并邀请他担任普鲁士科学院数学部主任。5月3日，欧拉离开柏林之后，拉格朗日正式接受普鲁士邀请，于10月27日到达柏林，不久后被任命为普鲁士科学院数学部主任。次年9月，拉格朗日同维多利亚·孔蒂（Vittoria Conti）结婚。^[4][11]

拉格朗日在普鲁士科学院期间，每月会宣读一篇在《科学院文献》或《柏林科学院新文献》上的论文。期间，他的研究成果涵盖了数论、方程论、微分方程、函数论等数学领域，以及一些天文学和流体力学方面的研究。此外，他还翻译了欧拉和棣莫弗在力学和几何学方面的著作，并完成了《分析力学论述》的编著工作^[注3]，该书成为了分析力学的奠基著作之一。^[4][11]

1783年，都灵科学院建立，拉格朗日担任名誉院长，并时常寄一些论文在《都灵科学院综合论丛》发表。同年，拉格朗日的妻子孔蒂因病逝世。1786年8月，普鲁士国王腓特烈二世去世，拉格朗日决定离开柏林，并于1787年5月来到巴黎科学院工作。在巴黎的前几年，他主要学习了形而上学、历史、宗教、医药和植物学等其他领域的知识。^[3][6]

1789年，法国爆发资产阶级革命，但拉格朗日选择旁观，并于1790年5月成为巴黎科学院建立的“度量衡委员会”委员。同年8月，拉格朗日担任该委员会的主席。1792年，拉格朗日同天文学家勒莫尼埃（LeMonnier）的女儿何蕾-弗朗索瓦-阿德莱德（Renée-Francoise- Adelaide）结婚，两人一生并未生养儿女。1793年，法国政府决定逮捕所有在敌国出生的人，而拉格朗日在拉瓦锡的帮助下被排除在外。^[5][7]

1795年，法国的最高学术机构法兰西研究院选举拉格朗日为科学院的数理委员会主席后，他重新开始进行数学研究工作，主要是整理过去的工作和编撰一些重要著作，如拉格朗日的《师范学校数学基础教程》在1796年出版，1798年又出版了《论任意阶数值方程的解法》等。^[3][4][6]

1813年，拉格朗日重病缠身，已卧床不起，于4月11日早晨逝世，终年77岁。在葬礼上，议长拉普拉斯代表上议院，院长拉赛佩德（Lacépède）代表法兰西研究院一同为葬礼致词，意大利的各大学校都举行了纪念仪式。^[3][4]

拉格朗日在数学、力学和天文学三个领域中都有着历史性贡献，尤其是在对数学领域，有着开创性和奠基性的研究成果，而研究力学和天文学的主要目的是为了体现数学分析的作用。终其一生，全部著作、论文、学术报告记录和学术通讯等有500多篇。18世纪后半期是拉格朗日学术生涯的主要发展时期，当时的数学、物理学和天文学是自然科学主体，而数学的主流是经过微积分发展起来的数学分析。数学分析的发展使得力学和天体力学发展进一步推进，而力学和天体力学新生的课题又成为数学分析发展的巨大动力。^[4]

1755年，拉格朗日在求解数学难题“等周问题”的过程中，以欧拉的思路和结果为根据，使用纯分析的方法想求得更为完善的变分极值。第一篇论文“极大和极小的方法研究”是拉格朗日研究变分法的开始。后来，拉格朗日在1760年发表的“关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法” 是以分析方法建立变分法的代表著作，文中的方法称为“变分方法”（the method of variation），并在欧拉的回信中得到肯定，变分法才真正地成为分析方法的一个分支。^{[3][4][12][13]}

早在都灵时期，拉格朗日对变系数常微分方程的降阶过程研究中提出伴随方程，并证明非齐次线性变系数方程的伴随方程的伴随方程，是原方程的齐次方程。在欧拉关于常系数齐次方程的研究基础上，拉格朗日把常数系推广到变系数，证明变系数齐次方程的通解能用一些独立特解乘以任意常数再相加得到，并且在已知方程的m个特解之后，可以把方程降低m阶。在柏林时期，他对常微分方程的奇解和特解做出贡献，例如拉格朗日在1774年完成的“关于微分方程特解的研究”中系统地研究了奇解和通解的关系，不仅提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法，还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线。^[4]

拉格朗日是一阶偏微分方程理论的创立者，分别在1772年完成“关于一阶偏微分方程的积分”和1785年完成“一阶线性偏微分方程的一般积分方法”，文中系统地介绍了一阶偏微分方程的理论以及解法。拉格朗日提出了一阶非线性偏微分方程的解分类为完全解、奇解、通积分等，并给出它们之间的关系，并进一步证明并求解了线性方程，后被称为拉格朗日方程^[注4]。^[4]

18世纪的代数学从属于数学分析，方程论是代数学中的活跃领域。拉格朗日在柏林的前十年，大部分的时间都在研究代数方程和超越方程的解法上。例如在论文“关于方程的代数解法的思考”中，拉格朗日分析出一般的三次与四次方程可用代数方法求解的原因。^[4]

拉格朗日认为辅助方程的解为原方程根的预解函数（是有理函数），但在求解5次函数的预解函数中没能成功。不过，拉格朗日的思想方法已可见到置换群概念，并且得出了在预解（有理）函数值不变的置换构成子群，子群的阶是原置换群阶的因子的结论。^[4]1770年，拉格朗日提出一种超越方程的级数解法，后被称为“拉格朗日级数”。^[4]

柏林初期，拉格朗日就已经开始数论的研究工作，在“二阶不定问题的解”和送回都灵《都灵科学论丛》的“一个算术问题的解”中讨论了费马（Fermat）方程解的问题，第一次证明当不是平放数，时有解。后来，拉格朗日在1770年的“整数不定问题解的新方法”中给出一般的费马方程的解（均是整数），并推广到二元二次整系数方程，同样解决了整数解问题。^[4]

拉格朗日认为函数可以展开为无穷级数，而无穷级数则是多项式的推广。其曾试图用代数建立微积分的基础，后因回避了极限和级数收敛性问题，未能建立真正的级数理论和函数论。但拉格朗日在《解析函数论》中得到微分中值定理，并用它推导出泰勒（Taylor）级数，还给出余项的具体表达式，就是拉格朗日余项形式。他指出泰勒级数不考虑余项是不能用的，并强调要趋于零，表明他已注意到收敛性问题。^[4]

拉格朗日在《师范学校数学基础教程》中，提出了拉格朗日内插公式：

^[4]

该公式在计算机计算大量中点内插时仍在使用。另外拉格朗日在求多元函数相对极大极小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法，至今也被广泛使用。^[4]

拉格朗日的方程论思想已蕴含着置换群的概念，并且使有理函数值不变的置换构成子群，子群的阶是原置换群阶的因子。拉格朗日对于伽罗瓦群理论的诞生起到了奠基作用，他发现的定理如下：

在群论中，如果群是一个有限群，它的阶为则它的一个子群也是一个有限群，设其阶为而此时的所有右陪集由于与等势，所以其元素个数亦为的所有右陪集构成了上的所有等价类，它们互不相交地复盖了因此，的元素个数一定被所等分，可得拉格朗日定理，即一个有限群的阶一定被它的子群的阶所等分。^[14][15]

此外，拉个朗日在1773年发表了关于行列式的三篇文章，他通过对四面体的研究，得到了三阶行列式的乘法原理，为后面高斯的理论奠定了基础。^[14][15]

拉格朗日是分析力学的创立者，他在这方面的最大贡献是把变分原理和最小作用原理具体化， 用纯分析方法进行推理，建立了拉格朗日方法。1788年出版的《分析力学》一书中，拉格朗日表明这种方法不需要作图或几何推理，而只需要按照一致而正规的程序进行代数运算，其目的是使力学成为数学分析的分支。拉格朗日创立的分析力学使力学发展到新阶段，他创立的第二类拉格朗日方程式推广了牛顿第二运动定律，使得在任意坐标系下有统一形式的运动方程，至今仍为动力学中的最重要的方程。^[4]

拉格朗日首先引入广义坐标概念，也称拉格朗日坐标。一个力学系统可用有限个坐标表示；为相应的广义速度。力学系统总动能（拉格朗日称之为活力）表为和时间的函数后，定义为作用，最小作用原理成为^[4]

拉格朗日把天体力学作为力学的一个分支进行研究。他在天体力学的奠基过程中，有不少的历史性贡献。首先，拉格朗日用他在分析力学中的原理和第二类拉格朗日方程式建立起各类天体的运动方程，其中拉格朗日依据微分方程解法中的任意常数变异法，建立了以天体椭圆轨道根数为基本变量的运动方程，后被称为“拉格朗日行星运动方程”，此方程对摄动理论的建立和完善起了重大作用。^[4]

其次，拉格朗日发现三体问题运动方程的五个特解即拉格朗日平动解，其中两个特解是三体围绕质量中心作椭圆运动过程中，永远保持等边三角形，该理论于100年后被证实。不过至今尚未找到肯定在三个拉格朗日共线群（三体共线情况）处附近的天体，因为这三个特解不稳定。而且拉格朗日在一阶摄动理论中提出了计算长期摄动方法，并与拉普拉斯一起提出了在一阶摄动下的太阳系稳定性定理，后由拉普拉斯集大成而正式建立经典天体力学。^[4]

此外，拉格朗日的月球运动理论研究论文多次获奖，其“月球天平动研究”一文较好地解释了月球自转和公转的角速度差异。此外拉格朗日编写的论文“木星的卫星运动的偏差研究”，第一次讨论了太阳引力对木星的四个卫星运动的影响。而且在柏林时期，拉格朗日研究了用三个时刻的观测资料计算彗星轨道的方法。^[4]

另外拉格朗日还得到了一种力学模型（两个不动中心问题的解），后被称为“拉格朗日问题”。该模型现在仍在应用，例如人造卫星运动的近似力学模型。同时，拉格朗日在《分析力学》中给出的流体静力学的结果，后来成为讨论天体形状理论的基础。^[4]

拉格朗日一生的著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过500篇。^[4]

此外，拉格朗日还有10位兄弟姐妹，大多数夭折，但具体姓名并无记载。^[4]

普鲁士腓特烈大帝评价：拉格朗日是“欧洲最伟大的数学家”。^[12]

法国皇帝拿破仑评价：拉格朗日是“一座高耸在数学界的金字塔”。^[20]

法国大数学家拉普拉斯评价：牛顿和拉格朗日是世界上对于科学进展最有功绩的人，他们最高度的掌握了发现一般原理，发现科学实质的方法，这种方法能够对抽象理论做出罕见的最优美的说明，这也就是拉格刻日的特点。^[7]

中国当代数学家吴文俊评价：拉格朗日是18世纪的伟大科学家，在数学、力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献。但他主要是数学家，他最突出的贡献是在把数学分析的基础脱离几何与力学方面起了决定性的作用，使数学的独立性更为清楚，而不仅是其他学科的工具。同时在使天文学力学化、力学分析化上也起了历史性作用，促使力学和天文学（天体力学）更深入发展。^[4]

拉格朗日出原本家境富足，他是家族中的唯一继承者。但他却有一种奇怪的想法，那就是希望家族破产，以便他能全身心地专注于学习数学。后来他的想法成真，他的兄弟挥霍了家族的财产，导致家道中落。为了生活，拉格朗日不得不依靠自己去奋斗。据拉格朗日本人回忆，如果他家境富足，他可能不会投身于数学研究，因为父亲希望他成为一个赚钱更多的律师，而他个人却对法律没有兴趣。^[8]

拉格朗日与化学家拉瓦锡（1743年-1794年）在巴黎相识，作为科学家的他们惺惺相惜。拉瓦锡在化学、生理学、农学、经济学、政治管理领域都有所建树，是近代化学革命的代表人物，被誉为“近代化学之父”，两人合作写了一本《政治经济学》。1793年，法国政府决定逮捕所有在敌国出生的人，而拉格朗日在拉瓦锡的帮助下被排除在外。后来在法国大革命中，拉格朗日却未能成功救回激进的拉瓦锡，他感叹道：“砍掉拉瓦锡的头只需一秒钟，但法国要再生出这样一个脑袋需要一百年。”^[4][8][21]

拉格朗日是18世纪的伟大科学家，在数学、力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献，后世为了纪念他，以他的名字命名了很多概念与定理，例如拉格朗日点、拉格朗日插值、拉格朗日函数、拉格朗日中值定理等。^[8]

月球上的拉格朗日撞击坑是以他的名字命名。小行星（1006）也以拉格朗日命名，被称为“拉格朗日星”。^[8][9]

拉格朗日是名字被刻在埃菲尔铁塔的72位法国科学家和工程师中的一位。^[8]