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拉格朗日点（Lagrange point）是在天体力学中平面圆型限制性三体问题的五个特解。[4]又被称为平动点。[1]即一个小质量天体(忽略为质点)在两个大质量天体的引力作用下在空间中使小物体相对于两大物体基本保持静止的一点。[3]
在每个由两个大质量天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，其中有两个是稳定的解，即在受外力后有回到原来的相对位置的趋势。[5]1767年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）推算出前三个拉格朗日点。法国著名数学家、物理学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）于1772年推导证明剩下两个。后来把这5个点叫做“拉格朗日点”。[3]
截至2023年，拉格朗日点处小天体相对于大天体相对静止的特点已被广泛应用在天文学、航空航天等领域。[5]例如著名的詹姆斯·韦伯空间望远镜就被设置在日-地系统中的拉格朗日点上。[6]
定义
拉格朗日点是平面圆型限制性三体问题的5个特解[2]，又称为平动点，指的是一个小天体在两个大天体的引力作用下，使得小天体在空间中相对于两个大天体基本保持静止的点的位置。[1]在这个位置，小天体受到的来自两个大天体的引力之和恰好等于小天体以共同的角速度绕着质心做匀速圆周运动所需要的向心力。[2][7]
发现与命名
求解上述三体运动中小天体位置的问题又被称为“平面圆型限制性三体问题”。当小天体的质量可以被忽略不计时，这种问题一共有五个特解。1767年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）根据旋转的二体引力场推算出了其中的三个特解，后来将这三个点称为L1、L2和L3，五年后，法国数学家约瑟夫·路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）推算出了剩下的两个特解L4和L5。后来，人们将这五个点统称为拉格朗日点。[2]
证实
拉格朗日点的首次证明是在1906年，这一年，天文学家马克斯·沃尔夫（Max Wolf）发现了一颗位于火星和木星间主带以外的小行星。它的绕日轨道与木星完全相同，在木星前方运行。看上去，这颗小行星-木星-太阳这三者总是位于等边三角形的三个顶点上，这颗小行星被冠以特洛伊战争中人物的名字“阿基里斯”。[8]同年，天文学家又发现了名为617号的小行星出现在木星的轨道上，这颗小行星在木星后方运行，比木星落后60°。这颗小行星也和木星与太阳构成了一个等边三角形。20世纪80年代，科学家又在土星和它的大卫星构成的运动系统中发现了类似的等边三角形。[9]截至2009年，天文学家已经在木星的L4和L5周围各发现了超过1000颗小行星。[8]L4和L5这两个拉格朗日点也因此被称为三角拉格朗日点或特洛伊点。[9]这些事实都无可辩驳地证明了拉格朗日点的存在及其正确性。
拉格朗日点的位置
L1的位置
我们利用受力平衡列方程求解：假设拉格朗日点与天体M2的距离为r，M1和旋转中心的距离为aR，其中a=,设重力常数G=1，则由万有引力=向心力有：
其中
代表天体M2的角速度。我们使用近似的方法，由于，因此我们可以将作为小量近似，泰勒展开并且忽略余项得：
代回并化简得：
也就是：
解得
则L1的位置坐标即为，这里依旧运用了近似的方法将近似成
L2的位置
L2的位置推导和L1几乎一样，我们的方程变成了
用同样的方法，我们得到L2的坐标公式为：
L3的位置
L4和L5
这两个点的位置可以完全通过几何关系进行推导，结果为
综上所述，这五个拉格朗日点的位置坐标为：
其中
不稳定的拉格朗日点（L1、L2和L3）
五个拉格朗日点中，有三个不稳定的拉格朗日点，即L1、L2和L3，这三个点位于两个大质量天体的连线上，又被称为共线平动点。[5]L1对应的是两个大天体的引力之差提供小天体围绕质心做圆周运动的情况，L2和L3对应的则是两个大天体的引力之和提供小天体围绕质心做圆周运动的情况。通过数学测算发现，当质量参数μ发生改变时，共线平动点[注1]的位置也会发生改变，下图给出了不同质量参数时共线平动点的位置变化，虚线表示的是两个大天体的位置，纵坐标为两个主天体之间的距离。[5]分析图像可知，这三个拉格朗日点都是不稳定的拉格朗日点，这些点上的小天体可能会因为扰动而偏离轨道。[9]
稳定的拉格朗日点（L4和L5）
探测
寻找拉格朗日点最直观的方法是通过有效势能推导物体受力。等势线最密集处力最强，等势线最稀疏的地方力最弱。如下图，高点为黄色，低点为紫色，通过这个分析方法可以很快分析出拉格朗日点的位置。[10]
拉格朗日点的应用
共线平动点
由于共线平动点处的不稳定性，在共线平动点附近不存在长期运行的自然天体，因此，地-日系统的共线平动点L1处具有相对太阳和地球较为固定的几何构型[9]，能提供不间断的太阳视野[7]，因此在日地关系观测中有着十分重要的应用。例如太阳和L2点则因为具有非常稳定的热力学环境以及与地球相对固定的构型，在当今的天文观测任务中有着十分重要的应用[5]。例如著名的詹姆斯·韦伯空间望远镜就被设置在日-地系统中的L2拉格朗日点。[6]除此之外，L2还是PLANCK和WMAP的所在地。[7]而对于L3而言，截至2023年，天文学家还没有发现其任何用途，因为它始终位于太阳的后方，在那里的航天器很难与地球之间建立稳定的通信系统。但是L3处隐藏星球的想法一直是科幻小说写作中的热门话题。[7]
截至2023年，世界范围内造访过日-地系统共线平动点的任务有：ISEE-3/ICE、WIND、SOHO、ACE、DSCOVER、LPF、WMAP、GENESIS、HERSCHEL、PLANCK、GAIA、嫦娥二号等。[5]
共线平动点
月球-地球系统的共线平动点L1具有相对地月而言几乎不变的几何构型，将来可以作为地-月转移的中继点。由于L2附近的轨道可以持续观测到月球的背面且与地球的通讯不受月球遮挡，可以用于月球背面与地球观测站之间的中继通讯处[5]。例如我国“鹊桥中继卫星”就在围绕地球公转的同时绕拉格朗日点L2自转，“鹊桥中继卫星”可以作为中继站，将月球背面的探测器传输的信号无阻碍地传输给地球。[2]
2015年，我国航天器首次达到地-月L2点。[11]截至2023年，世界范围内造访过月-地系统共线平动点的任务有：ARTEMIS、GRAIL、CE5/T1等。[5]
三角平动点
参考资料 11
- 拉格朗日点 — 中国探月与深空探测网
- http://wltb.cnjournals.com/ch/reader/download_pdf_file.aspx?journal_id=wltb&file_name=8101D5DAB1C08948E21F236F1F6D0B3DA54C4623393DD47A031AACA8935658A6036C74A151FC4E9137F91DCD5A12DBBC89F135B62C3B8ABA6A194B1BF13864C0&open_type=self&file_no=20210810
- https://oss.wanfangdata.com.cn/www/%E8%BF%B7%E4%BA%BA%E7%9A%84%E2%80%9C%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E7%82%B9%E2%80%9D.ashx?isread=true&type=perio&resourceId=tkts201111022&transaction=%7B%22id%22%3Anull%2C%22transferOutAccountsStatus%22%3Anull%2C%22transaction%22%3A%7B%22id%22%3A%221698638265101389824%22%2C%22status%22%3A1%2C%22createDateTime%22%3Anull%2C%22payDateTime%22%3A1693821896230%2C%22authToken%22%3A%22TGT-64568-75wesl3UNPefnpe2c33cyUdYLdR6vyaxwBTymtO7tk600ELcyK-auth-web-68fdcb4777-qc9md%22%2C%22user%22%3A%7B%22accountType%22%3A%22Person%22%2C%22key%22%3A%22jereonas%22%7D%2C%22transferIn%22%3A%7B%22accountType%22%3A%22Income%22%2C%22key%22%3A%22PeriodicalFulltext%22%7D%2C%22transferOut%22%3A%7B%22GTimeLimit.hbkjxy%22%3A3.0%7D%2C%22turnover%22%3A3.0%2C%22orderTurnover%22%3A3.0%2C%22productDetail%22%3A%22perio_tkts201111022%22%2C%22productTitle%22%3Anull%2C%22userIP%22%3A%22111.34.197.235%22%2C%22organName%22%3Anull%2C%22memo%22%3Anull%2C%22orderUser%22%3A%22jereonas%22%2C%22orderChannel%22%3A%22pc%22%2C%22payTag%22%3A%22%22%2C%22webTransactionRequest%22%3Anull%2C%22signature%22%3A%22SObh4W4ogYX98z%2BNCbY6EUv%2BfSyJA53myKRjfYm1ne5VqWNF15RShSFt%2BTp8ohH9UTHd%2BdqZeIr0%5CnybXIAHQSKKuqrzAlP4aT1TlGqHONuewwnQD%2Fzz2iNNDOmHfbMy5U%2FeN5CYCDesoe%2B8kQAfSpwEc1%5CnZuZPXQX2voxhCwOC7po%3D%22%7D%2C%22isCache%22%3Afalse%7D
- 参考 4
- 拉格朗日点 — 中国大百科全书
- 拉格朗日点（航空宇航科学与技术） — 中国大百科全书
- What is a Lagrange point — NASA
- Do gravity holes harbour planetary assassins? — New Scientist
- https://oss.wanfangdata.com.cn/www/%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E7%82%B9%E5%9C%A8%E6%B7%B1%E7%A9%BA%E9%80%9A%E4%BF%A1%E4%B8%AD%E7%9A%84%E5%BA%94%E7%94%A8.ashx?isread=true&type=perio&resourceId=szyxsj201101023&transaction=%7B%22id%22%3Anull%2C%22transferOutAccountsStatus%22%3Anull%2C%22transaction%22%3A%7B%22id%22%3A%221698912447538278400%22%2C%22status%22%3A1%2C%22createDateTime%22%3Anull%2C%22payDateTime%22%3A1693887266417%2C%22authToken%22%3A%22TGT-66751-XxiEcjzevEZvgYUG4O1NIvnkxrfQ2aU7bRu42LKRSikPvfusip-auth-web-68fdcb4777-clrbq%22%2C%22user%22%3A%7B%22accountType%22%3A%22GroupSub%22%2C%22key%22%3A%22hbkjxy.08s%22%7D%2C%22transferIn%22%3A%7B%22accountType%22%3A%22Income%22%2C%22key%22%3A%22PeriodicalFulltext%22%7D%2C%22transferOut%22%3A%7B%22GTimeLimit.hbkjxy%22%3A3.0%7D%2C%22turnover%22%3A3.0%2C%22orderTurnover%22%3A3.0%2C%22productDetail%22%3A%22perio_szyxsj201101023%22%2C%22productTitle%22%3Anull%2C%22userIP%22%3A%22111.34.197.235%22%2C%22organName%22%3Anull%2C%22memo%22%3Anull%2C%22orderUser%22%3A%22hbkjxy.08s%22%2C%22orderChannel%22%3A%22pc%22%2C%22payTag%22%3A%22%22%2C%22webTransactionRequest%22%3Anull%2C%22signature%22%3A%22QNj%2B6%2Fe5sOHLHWYRNr%2F1VKXl%2FKE1sFy4ergCEtSF5EVY3l%2FreGSruaB1RQqdLMYouUF%2B954YCFFT%5CniYu4VzxU8WVCB2j6%2BTvlTKvIIScFPpXfTprKxBZl2Ta5mJoqs4k9xZ%2FLsGETWQu00tWCgXlZ%2F6zC%5CnaHW3L5ztlK5WvDOS0Lw%3D%22%7D%2C%22isCache%22%3Afalse%7D
- The Lagrange Points — Wayback Machine
- 我国航天器首次到达地月L2点 — 中国共产党新闻网
注释
- 即拉格朗日点L1、L2和L3