势能

势能（英文：potential energy）^[1]，又称位能，与动能统称为机械能，^[2][12]其是指物质系统由于各物体之间（或物体内各部分之间）存在相互作用而具有的能量。物理力学中常见的势能有引力势能、重力势能和弹性势能三种，^[2][13]但除此之外还有电势能、磁势能和核势能等。^[14][15][16]

能量是衡量物体做功本领的物理量，动能用来衡量物体由于运动所具有的做功本领。而当质点在保守力作用下从一点运动到另一点，只要两点位置确定，其能量的相应变化也是确定的。由此可以设想，质点处在某个位置时就应具有某种能量，这种与质点所在位置有关的能量称为势能。^[17]但是，并非存在相互作用的物体之间就一定有与之对应的势能，研究表明，只有保守力才存在与之对应的势能。^[3]

早在旧石器时期，人类便会使用弓箭借助势能捕猎。至古希腊时期，亚里士多德提出了与势能相似的“潜能”一词。^[18]而到了19世纪，苏格兰物理学家威廉·兰金^[注2]首次准确提出“势能”一词，并给出了相关的概念。而后爱尔兰物理学家哈密顿^[注3]通过研究动能与势能的关系，提出了机械能守恒定律，并由莱布尼茨、庞斯莱明等物理学家逐渐完善了“势能”与“动能”的关系。^[9][19][11]

至现代，势能多应用于水利及生活方面。在水利方面，多借用水力发电站将重力势能转化为了动能或电能。^[20][21]在生活方面，因为弹簧的广泛使用，弹性势能也多以利用，如，生活中的发令枪、发条玩具等就是利用了弹性势能转化为动能的原理。^[4]

物体之间由于万有引力相互作用而具有的能叫做引力势能。万有引力是宇宙间物体最基本的相互作用，任何物体都要受到其他物体的万有引力的作用，因此可以说，任何物体都具有引力势能。重力势能实际上就是地面上的物体与地球之间共有的引力势能。在物体远离地面的情况下，通常将距地心无限远处定为零势能点，这时引力势能公式为：.式中是万有引力常数，分别为地球和物体的质量，是物体与地心之间的距离。^[6]

实际上，任何二质点之间的引力势能都可以由上式计算，分别为二质点的质量，为两质点间的距离。太阳与地球间的引力势能，地球与月亮间的引力势能均可由上式计算出来。引力势能是属于由万有引力作用着的两个物体所共有，不是属于哪个单个物体。^[6]

重力势能也被称为重力位能，^[22]指的是物体由于被举高而具有的能。它是由于地球和物体之间的相互作用而具有的能量。物体的重力势能等于它的重量和高度的乘积。重力势能常用表示。.^[7]

重力势能变化与重力做功是密切相关的，重力势能的变化等于重力所做的功，重力做正功，物体的重力势能增加；重力做负功，物体的重力势能减少，物体在运动中重力做了多少功，物体的重力势能就变化多少。^[7]

因为高度是相对的，所以重力势能的大小也具有相对性。而所说的物体具有重力势能，这总是相对于某一水平面来说的，这个水平面的高度取作零，重力势能也是零，这个水平面叫做参考平面。在参考面以下的位置，物体的重力势能为负值。实际上，选择哪一个水平面作为参考平面，可视研究问题的方便而定。通常会选择地面作为参考平面。重力势能是属于物体和地球所共有的，是属于这一系统的能量，常说“物体的重力势能”只是为了叙述简便而采取的一种说法。另外，重力势能的单位与功的单位相同，在国际单位制中为焦耳（J）。^[7]

弹性势能是指物体因发生弹性形变而具有的势能叫做弹性势能。它是由于物体发生弹性形变时物体的各个部分之间发生弹力的相互作用而具有的能量。任何发生了弹性形变的物体都具有弹性势能，例如卷紧的发条，拉长或压缩了的弹簧等。弹性势能的变化可以用弹力功来量度。设弹力功为，弹力势能为，则，若取 ，则有：.^[23]

由胡克定律弹簧的弹力与弹簧的伸长（压缩）成正比知，弹力，负号表示弹力的方向与弹簧形变的位移方向相反。当力的方向与位移方向在同一直线上时，力所做的功就等于力的位移函数与坐标轴围成的阴影面积。^[23]

电势能是指处于电场中的电荷分布所具有的势能，与电荷分布在系统内部的组态有关。^[24]静电场力做功与处于场中的电荷的移动路径无关，这一特性说明静电场力是保守力，静电场是保守场或有势场，因此可以仿照力学中保守力对应的势能，如重力势能等，在静电场中引入电势能的概念。在静电场中，把检验电荷。从一点移动到另一点，电场力所做的功与路径无关。因此，在静电场中存在一个由q。和场源电荷的相对位置所决定的能量，称为电势能，用来表示。、两点的电势能分别为和由于电势能的增量等于电场力对做功的负值，因此有也可以写为从上式可以看出，电势能是一个相对量，若要确定在电场中点的电势能值，必须先知道点的电势能值，通常情况下，取点为零电势能参考点，即，则点的电势能为.即在电场中任意点处，电荷的重势能等于将此电荷从点沿任意路径移动到电势能零点的过程中，电场力所做的功。^[14]

磁偶极子在外磁场中的磁势能公式：式中是磁偶极矩，是磁场强度。设处在一定位形的磁体系的磁势能为（或），当它的位形发生微小变化（例如发生平移或转动）时，磁势能将相应地改变（或）。另一方面，位形变化时磁场力就作一定的功.假设在此过程中没有能量的耗散或补充，根据能量守恒定律，应有即磁场力的功等于磁势能的减少。^[25]

核势能指的是原子核内部核子之间的势能；两个原子核相互作用的势能也称为原子核势能。在原子核内，核子通过强相互作用力结合在一起，弱相互作用力只为某些衰变，例如衰变，提供势能。在原子核内，组成原子核的每个核子（质子和中子）的质量要比自由的质子、中子的质量小。这部分质量差称为结合能，在核反应中以热或辐射的方式释放出来。这表明核内核子之间具有势能。^[26][16]

在核反应或核碰撞过程中，入射粒子（核）除受到靶核的库仑势场的作用外，还受到靶核内所有核子的核力共同形成的核力势场的作用，也具有一定的势能（核势），同时，入射粒子（核）还可能具有离心势。核势的计算比较复杂。从核子-核子相互作用出发计算的核势称为微观势，这涉及核多体理论。微观势的计算有折叠法，自洽方法（哈特里-福克或哈特里-福克-博戈留波夫计算方法）等；通过符合实验数据得到的核势称为唯象势，唯象势往往是不唯一的。常用的唯象势是带有多个参数的伍兹-萨克森势。^[26][16]

旧石器时期晚期，人类就已经发明出弓箭，利用势能来搜捕猎物。^[18]至古希腊时期，亚里士多德曾提出“潜能”一词，主要是指某种事物所拥有做功的可能性。与此相对的是他提出的“现实”，指的是事物的变化或实现可能性。亚里士多德用潜能与现实的二分法原则解释物质运动、因果关系、伦理道德、生理现象。与现代的势能相比，虽有相似之处，但亚里士多德指出的“潜能”更具哲学内涵。^[18]

到了17世纪，德国著名哲学家、数学家莱布尼茨提出过动能和重力势能之间的转化。在当时，尽管牛顿已提出了万有引力，但是重力是否存在却依旧存在争议。而势能第一次提出是在19世纪苏格兰工程师、物理学家威廉·兰金^[注2]的一篇文章中。在此文章中他将所有形式的能量分为两类：一类是真实可感知的能量，他称之为动能；另一类是潜在的能量，他称之为势能。他认为势能是在某种条件下物质的运动趋势，用物质克服力做的功来计量。同时，他提出物质真实可感知的能量减少时，势能增加；物质势能减少时，物质真实可感知的能量增加。宇宙中物质真实可感知的能量和势能的总和不变，满足能量守恒。^[9]

1829年，物理学家庞斯莱明确提出了动能定理。随后在1834年至1835年期间，1834年至1835年间，爱尔兰数学、物理学家哈密顿^[注3]提出了哈密顿原理，阐明了保守力场中动能和势能的转化及他们的总和保持不变。即提出了机械能转化与守恒定律。^[19]1842年，德国物理学家迈尔在《论无机界的力》中，分析了动能与势能的守恒关系。^[27]五年后，德国物理学家赫尔姆霍茨在论文《论力的守恒》引进了“势能”概念，建议用作为“活力”量度，以便同功的量度相等，结束了笛卡儿用和莱布尼茨用表示机械运动量而持续了100多年的争论。^[11]

在力学中常见的势能有引力势能、重力势能和弹性势能三种。^[13]但是，并非存在相互作用的物体之间就一定有与之对应的势能，研究表明，只有保守力才存在与之对应的势能。^[3]

质点所处的位置不同，其势能也不同。如果质点从点a运动到点b保守力做正功，就有相应的一份势能释放出来转变为质点的动能或其他形式的能量；反之，若用外力将质点从点b送回点a，外力就要抵抗保守力做功，即保守力做了负功，这时就有一份势能被储存起来。质点的势能是质点位置的单值函数，又称为势能函数，用表示。规定当质点从点a运动到点b保守力做的功等于势能的减少，即，用势能的增量表示，则有.其含义为势能的增量等于保守力所做的负功。^[17][28]

与重力做功相对应的为重力势能，质点在a，b两点的重力势能差为同理，质点在a，b两点的引力势能差为，弹性势能差为.^[28]

必须强调，势能属于相互作用质点的系统。通常所说的“质点（或物体）的势能”只是为了叙述方便。严格地讲，因为势能与相互作用有关，称势能为“两个质点的相互作用势能”或“多质点系统相互作用势能”更确切。比如，重力势能属于地-物系统，是地球与物体间的相互作用势能。若系统由两个质点构成，如果它们之间的相互作用内力为保守力，则当两质点从相对位矢改变为的过程中，一对保守内力做功之和仅与始末两质点的相对位置有关，与两质点的具体运动路径无关（见示例图）。这表明两质点在相互作用的一对保守内力作用下，处在一定相对位置时具有一定的势能。在相对位矢由改变为过程中势能的减少就是这一对保守内力在此过程中做功之和。^[28]

对于多个质点构成的系统，若两两质点间的相互作用内力均为保守力，质点系相互作用总势能为两两质点间的相互作用势能之和，即，这里为第个质点与第个质点间的相互作用势能，而求和中是为了避免重复计算。^[28]

在力学范围内，三种势能^[注4]与万有引力、重力和弹性相对应。但是，并非存在相互作用的物体之间就一定有与之对应的势能，研究表明，只有保守力才存在与之对应的势能。^[3]

保守力：物体在力F作用下沿任意闭合路径绕行一周所做的功恒为零，即具有这种性质的力称为保守力，不具有这种性质的力称为非保守力。与保守力相关的位置函数（或称态函数）即物体的势能。^[3]

摩擦力、空气阻力等都是非保守力，也称为耗散力。对于与非保守力对应的非保守力场，不能引入势能概念。这是因为非保守力做功不仅与物体的始末位置有关，还与物体的运行路径有关。以摩擦力做功为例加以说明，如示例图所示，物体由点至点的运动过程中，需要克服摩擦力做功而损耗部分能量，在点、点之间可以有无限多条路径，物体经历的路径不同，损耗的能量也不相等。这就是说摩擦力做功的特点决定了点、点之间的“势能”不具有唯一性，定义“势能”没有意义。^[3]

动能和势能是可以转化的，如图所示，用细线悬挂一个小球，将小球拉到一定高度，然后释放，小球会从高处摆动到低处，再从低处摆动到高处。我们看到，小球摆动的最高点在同一水平面上。小球从A点向低处摆动时，随着高度的降低，它的重力势能越来越小，但运动速度却越来越大，表明动能在不断增加；到达平衡位置0点时，小球的重力势能为零，但运动速度达到最大，动能达到最大。在这个过程中，重力做功，重力势能转化成了动能。^[29]

这以后，由于惯性，小球继续向另一侧摆动，速度越来越小，动能逐渐减小，但高度不断升高，重力势能越来越大；当速度减小到零，动能为零时，小球到达最高点C，重力势能变为最大。这个过程是物体克服重力做功，动能转化成了重力势能。^[29]

动能和弹性势能之间也可以相互转化，如示例图（a）所示，以一定速度运动的小球能使弹簧压缩，这时小球克服弹力做功，使动能转化成弹簧的弹性势能；小球静止以后，被压缩的弹簧又能将小球弹回，如示例图（b）所示，这时弹力对小球做功，使弹簧的弹性势能转化成小球的动能。^[29]

在前面小球摆动的实验中，因为空气阻力的原因，小球每次所摆的高度都比上一次低一些，最后停止下来。可以设想，如果阻力比较小，每次降低得会少一些，如果完全没有阻力，小球的摆动高度不会发生变化，即在重力势能和动能的转化中，机械能的总量是不变的。这个结果也可以从理论分析中得出。^[10]

如示例图所示，设质量为的物体静止在高度为的点时，物体的动能，势能。这时物体的机械能为.在忽略空气阻力对运动的影响时，物体在重力作用下从点自由下落到地面上的点，根据自由落体的运动规律知道，速度大小为所以这时的动能这时的势能，因此，物体在点的机械能为重力势能完全转化为动能，机械能的总量保持不变。^[10]

一个物体如果只受重力和系统内弹力的作用，发生动能和势能的相互转化时，机械能的总量保持不变。这就是机械能守恒定律。^[10]

牛顿的万有引力定律指出“一切物体之间都存在着引力相互作用”。因此一切物体都存在存在与这种相互作用相对应的引力势能。设地球是质量为、半径为的均匀球体，一质量为的物体在地球引力作用下沿任意曲线从点运动至点。取地心为原点建立直角坐标系，如示例图所示，、两点的位矢分别为和考察任意曲线上的任意一点，其位矢为。当物体位于任意点时，所受地球引力为.其中，表示沿方向的单位矢量。在点附近，设位移元与位矢的夹角为则有.^[13]

物体由物体由点运动至点，所做的总功为定义质量为、与地心相距处的质点与地球组成的系统的引力势能为进而可得上式表示，万有引力所做的功等于系统引力势能增量的负值。除此之外，还能得出万有引力做功与路径无关。^[13]

重力势能是处于地球附近的物体与地球之间万有引力作用的结果，是引力势能的一种简单而重要的特例。^[30]

设地球为球状，其半径为，有一质量为的质点处于地表附近，考察质点由点运动至的过程中重力所做的功。在通常情况下，处于地表附近的、两点距地面不远，，可近似认为，故有定义质量为、距地面高度为的物体与地球组成的系统所具有的重力势能为进而可得上式表示，重力所做的功等于系统重力势能增量的负值。^[30]

表示，重力所做的功等于系统重力势能增量的负值，即重力势能的降低。并得出结论：如果重力做正功，即系统以重力对外界做功，系统的重力势能将降低；如果重力做负功即外界反抗重力而对系统做功，系统的重力势能将增加。由此得知：万有引力和重力所做的功，取决于质点的始末位置，与质点运动的路径无关。^[30]

弹性势能与弹性相关，若想了解弹性势能，就必须分析弹力和弹力做的功。便以弹簧为例加以说明。^[31]

如示例图所示的弹簧系统，质量为的小球与劲度系数为的轻弹簧相连，弹簧另一端固定。弹簧无形变时小球的位置称为平衡位置。取平衡位置为坐标原点建立坐标系。先考虑弹簧拉伸的情形。在弹簧伸长量由变为期间，取其中任一点考察，在产生元位移时，弹力做的元功为从A到B，弹力做的总功为定义弹性势能为进而可得上式表示，弹力所做的功等于弹性势能增量的负值。以上表明，弹力做功与路径无关。而且用同样的方法处理压缩的情形也可以得到相同的结论。^[31]

以匀强电场为例，如示例图所示：a、b为场强大小为的匀强电场中的两个点，一带电量为q带电粒子由a运动到b的过程中电场力所做的功为：.电场力做正功，电势能减小。电场力做负功，电势能增加。电场力所做的功等于电势能的变化量。^[32]

势能在水利应用中主要用于产生电能，如，农村中的小型水力发电站，先是利用上游和下游的水位差造成快速的水流，这样把水的重力势能转化为动能。当快速的水流推动水轮机转动后，水的动能减小了，但是，水轮机又带动了发电机转动，产生电流，即是水的动能又变成了电能。电能通过输电线送到各处，又可以转化成各种其他形式的能。如通过电动机带动抽水机，把电能又转化成水的重力势能、动能，流入渠道灌溉农田；又可通过电灯，把电能转化成光能；通过电动机又可以带动各种类型的机床，把电能又转化成为机械能。另外，水利工程中之所以要筑坝拦水，其重要原因之一是为提高水位，增加水流的势能，使水流具有较大的作功本领，从而提高发电能力等。^[20][21]

势能在战争中的用途在于武器、战争器具的发明。在古代，打仗时攻城用的抛石机就是运用了平衡重锤的重力势能，将石头抛向敌方；东晋时期，重型战舰的航行便是将拍竿的重力势能转化成动能。还有古代弓箭，人拉弓弦做的功转化成为拉开了的弓弦的势能，起了动力或发动机的作用。拉开的弓弦弹回，势能转化成为动能，把箭弹出去，射到一定的距离。^[5][4][18]

势能作用可作用到生活的各个方面。到现代，弹簧和发条作为零件在机械中有着广泛运用，发令枪、发条玩具等就是利用了弹性势能转化为动能的原理。一些运动项目如射箭、跳水等，也离不开势能。^[4]

水碓是利用水流力量来自动春米的机具，将水的重力势能转化成动能，进而转动轮轴，再拨动碓杆上下舂chōng米。中国在汉朝发明了水碓，浙东山区在唐朝已有了使用滚筒式水碓的记载。而其原理便是将水的重力势能转化为动能。^[5]