动能定理

动能定理（theorem of kineticenergy^[2]）指的是合外力做的功等于动能的变化量，即W=ΔEk^[1]。动能定理指出，外力对质点做功，其结果是使质点的动能和外界的能量发生传递和转化，^[7]从能量的观点研究质点系动力学问题，其本质反映了机械运动中能量转换与功之间的关系。^[8]功是力在一段路程上对质点或质点系作用效应累计的度量，动能的单位是焦（耳），符号为J。^[6][9]动能定理是标量式,不考虑方向,只考虑速度的大小和功的正负，求和时只计算其代数和，不满足矢量的平行四边形法则；^[10][11]其适用范围广泛，如在恒力作用、变力作用，直线运动、曲线运动等情况下均可适用。^[3]

1826年，科里奥利（Coriolis）把“功”的概念引入力学中，并由此出发，表述了“活”力(即动能）的定理。取质量与速度平方乘积的一半，作为“活”力的度量。^[4][5]动能定理在生活中有很多应用，如在交通运输中给交通工具设置合理的速度范围、作为动能武器等。^[12]

动能定理的基本含义为：物体所受到的外力对物体做功的总和等于物体动能的变化（动能定理适用于封闭系统，即没有能量输入或输出的系统）。用公式可以表示为：^[1][6][13]

其中，表示物体的动能，动能是标量，单位是焦（耳），符号为J；表示物体的质量，单位是千克（kg）；表示物体的速度，单位是米/秒（m/s）。^[6]表示合外力做的功，表示动能的变化量，单位都是焦（耳），符号为J。^[6]

动能定理从能量的观点研究质点系动力学问题，其本质反映了机械运动中能量转换与功之间的关系。^[8]由动能定理可知，当合外力对物体做正功时，物体的动能就增加；当合外力对物体做负功时，物体的动能就减小；当合外力做功为0或者不做功时，物体的动能不变。^[6]

物体由于运动而具有的能量叫作物体的动能。其公式为：^[1][11]

动能只与物体的质量大小和速度快慢有关，与速度的方向无关，即动能是标量，且为正值。动能是个状态量，且具有相对性。动能与参考系的选择有关，一般以地面为参考系。^[11]

17世纪，在笛卡儿（René Descartes）和牛顿（Isaac Newton）提出了“动量”的概念后，人们开始习惯于把动量作为物体运动状态的唯一量度。然而，这种量度的“唯一性”在17世纪后期却引发了激烈的争论。^[5]

1686年，著名科学家莱布尼茨（G.W. Leibniz）在冲量定理的基础上想道：“力在时间上的积累效果可能无效，比如推不动的箱子。而对于机械运动，只有力在空间上的积累效果才有意义。”因此，莱布尼茨认为：“物体运动状态的量度应该是力对物体在空间上的积累效果。"根据这个想法，莱布尼茨从牛顿第二定律中力的表达式（）出发，将力在位移上进行积分运算，得到了mv2这个被他称为“活力”的新物理量。^[5]

到了18世纪，法国科学家科里奥利（Coriolis）通过积分运算又将“活力"的表达式修正为的形式，并称之为“动能（Ek）”。18~19世纪，法国科学家达兰贝尔（Jean le Rond d'Alembert）和德国哲学家恩格斯（Friedrich Engels）先后揭示动量和动能的内在联系。动量和动能分别体现了力对物体在时间和空间上的积累效应：一个有方向，一个无方向；它们还是相对独立的，不仅反映运动的两个方面，也具有不同的“过程量”作用定律和“状态量”守恒定律。^[5]

法国科学家科里奥利受“动能”推演的启发，他想道：既然力在位移上的积分可以得到动能，那么“力在位移上的积累（也就是功）就等于动能的改变量”，这就是“动能定理”，其数学表达式可以写为：，由于是科里奥利首先对动能（Ek）和功（A）给出了确切的现代物理定义，所以科里奥利也被人们认为是“动能”概念和“动能定理”的提出者。^[5]

动能定理既适用于直线运动,也适用于曲线运动。^[14]既适用于恒力做功,也适用于变力做功。^[14]力可以是各种性质的力,既可以同时作用,也可以不同时作用。^[14]

由牛顿第二定律，可得：^[15]

（1）

（2）

这就是质点动能定理的微分形式，其中称为质点的动能；而^[15]

（3）

称为力F对质点所做的（微）元功，它是一个代数量，并且一般与力F的运行路径有关，因此不是某个函数ω的全微分，所以一般不用全微分符号dω表示元功。^[15]

对式（2）两边积分，得：

即：

（4）^[15]

（5）

可见，动能定理是由牛顿运动定律经过直接的数学变形得到的，因此其中用到的速度、力的功都必须相对于惯性系计算。动能定理揭示了动能与功的转换关系，它是力学系统必须遵守的基本力学定理之一。^[15]

对质点系中的每一质点，设其上的外力、内力的合力分别为、，则有^[15]

其中：，为质点上的外力的合力对质点所做的功，简称外力功；为质点上的内力的合力对质点所做的功，简称内力功。^[15]

对整个质点系，可得

令

（6）

这就是质点系的动能。于是质点系动能定理的微分形式为：^[15]

（7）

其中：

，（8）

分别为质点系的外力功之和与内力功之和。我们不能证明质点系的内力功之和恒为零，恰恰相反，它一般不等于零，比如电动机定子与转子之间的内力矩对转子做功。^[15]

对式（7）两边积分，可得质点系动能定理的积分形式为：

（9）

其中：

（10）

T1为质点系起始时刻t1的动能；T2为质点系末了时刻t2的动能；W12为这段时间内质点系上所有力对质点系所做的功。^[15]

探究功与物体速度变化的关系。^[16]

使用不同数量的橡皮筋作用在小车上，移动距离相同，做功不同。^[16]利用打点计时器求出小车离开橡皮筋的速度，列表作图，即可求出v-W关系。^[16]

用一条橡皮筋拉小车：做功为W。用两条橡皮筋拉小车：做功为2W。^[16]用三条橡皮筋拉小车：做功为3W。测出每次小车获得的速度。分别用各次实验的v和W绘出v-W，v2-W，v3-W，v1/2-W关系图。找出v与W间的关系：。^[16]

由动能定理的基本定义可知，动能跟速度相关。一般情况下，物体的速度越快，所具有的动能也就越大。一旦发生危险，动能越大的物体，造成的伤害就越大。交通运输工具，如汽车、火车等，这些都需要依靠速度来发挥作用。为了保障交通运输行业的安全，就必须给这些交通工具设置合理的速度范围。这就需要使用动能定理，将交通工具质量代入公式，再估算出安全范围内的动能，由此推算出行驶的速度。这样就能最大程度的保证交通运输行业的安全，保证旅客的安全。^[17]

根据动能的定义，一个物体只要有一定的质量和足够大的运动速度，就具有相当的动能，就能有惊人的杀伤破坏能力，这个物体就是一件动能武器。动能武器靠自身巨大的动能，在与目标短暂而剧烈的碰撞中杀伤目标。在美国的战略防御计划中的一系列非核太空武器中，动能武器占有重要地位。例如，他们研制的代号叫“闪光卵石”的太空拦截器，利用直接撞击以摧毁来袭导弹。^[12]利用电磁加速原理研制的电磁轨道炮等，加速后的弹丸的速度可达几千米每秒，甚至超过第一宇宙速度（7.9 km·s-1）。^[12]

动量定理的基本含义为：合外力的冲量等于物体动量的变化量。表达式为：

动量定理揭示了冲量是物体动量变化的原因，物体动量的变化由物体所受到冲量来决定：动量变化的大小等于合外力的冲量大小。动量变化的方向与合外力的冲量方向相同。^[3]二者最大的区别是：动量是力对时间的累积。动量是矢量，所以圆周运动时虽向心力不做功，但产生了对物体的非零冲量。^[3]