氢原子百科 
在欧几里得几何（Euclidean geometry）中，平行四边形（parallelogram）是两组对边分别平行的四边形，是一个中心对称的平面图形。平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。如图平行四边形记为平行四边形，两对角线交点为。[1]
矩形、菱形、正方形都属于特殊的平行四边形。[3]平行四边形的三维对应物是平行六面体。[7]古希腊数学家欧几里得（Euclid）在历史上第一个系统提出平行四边形的相关理论，在其作品《几何原本》（The Thirteen Books of Euclid's Elements）中详细地阐述了平行四边形的基本性质和相关理论，部分理论一直沿用至今。[1][8][6]平行四边形的特性和研究在数学、物理、工程等各个领域都有着广泛的应用。[3][4][5]
历史
平行四边形属于几何学，而几何学的产生是由于人类生产和生活的需要。在原始社会里，人们已经积累了许多物体形状和大小，以及它们的分布位置关系的知识。经过劳动人民长期的生产和生活实践，积累了许多几何知识，并不断地丰富起来，形成了人类知识的一个分支。中国对于几何学也很早就有研究，在中国黑陶文化时期 (约公元前一千年)，陶器上的花纹就有菱形、正方形和圆内接正方形等与平行四边形相关的图样。[9]2000年前，在中国古代数学著作《九章算术》中方田章提出了长方形的面积公式。[10]
古希腊数学家欧几里得是历史上第一个系统提出平行四边形的相关理论的人[6]，他的作品《几何原本》成书于公元前300年左右[2]，作品中详细地阐述了平行四边形的基本性质和相关理论，其中的部分理论直到如今仍得到应用。[6]
定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。[3]
平行四边形的任意一条边都可以作为平行四边形的底，两条对边的距离称为这个底边上的高。如上图，平行四边形中，，，其中不具有公共顶点的两条边称为对边（如与，与互为对边），具有公共顶点的两条边称为邻边（如与，与等互为邻边)；顶点不在同一条边上的两个角称为对角连结对角两顶点的线段称为对角线(如，)，顶点在同一条边上的两个角称为相邻的角（与，与等互为相邻的角）。矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形。平行四边形是一个中心对称图形，即它绕对角线和的交点O旋转180°后，能够和自身重合，这个交点就是平行四边形的对称中心。[1]
基本性质
1.平行四边形的两组对边分别相互平行。[3]
2.平行四边形的两组对边各相等。[3]
3.平行四边形的两组对角各相等。[3]
4.平行四边形的两条对角线互相平分。[3]
相关证明
平行四边形的两条对角线互相平分的证明[3]
由于四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形定义可知， ，
从平行线的对角相等的性质可知，，
从平行四边形的两组对边各相等的性质中可得知，
因此可得出，所以，。[3]
其他性质
1.平行四边形的相邻两角互为补角。[3]
2.平行四边形具有中心对称的性质。[3]
3.平行四边形具有不稳定性。[1]
4.平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。[1]
5.平行四边形的对角线可以将其分成两个相同的三角形。[1]
6.平行四边形的任意一条对角线上的中线等于另一条对角线的一半。[1]
7.平行四边形各边的平方和等于两对角线的平方和。[1]
判定
1.凡四边形的两组对边互相平行，则此四边形为平行四边形。[3]
2.凡四边形的两组对边分别相等，则此四边形为平行四边形。[3]
3.凡四边形的两组对角分别相等，则此四边形为平行四边形。[3]
4.凡四边形的两组对角线互相平分，则此四边形为平行四边形。[3]
面积
方法一
平行四边形的面积等于底边长度乘以高。如图用表示平行四边形面积，为底边长度，为高，则即。[11]
方法二
平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值。若用表示两组邻边长，表示两边的夹角，表示平行四边形的面积，则。[12]
方法三
正切函数表示法。由于，代入方法二中，可推出。[12]
方法四
余弦函数表示法。由于，带入方法二中，可推出。[12]
周长
平行四边形的周长等于各边长度之和。若用和分别为相邻的两条边的长度，用表示平行四边形的周长，则周长。[11][13]
矩形
定义
有一个角为直角的平行四边形是矩形。[3]
性质
1.矩形具有平行四边形的全部性质；[3]
2.矩形的两条对角线必相等；[3]
3.矩形的四个角都是直角；[3]
判定
1.四个角都是直角的四边形是矩形。[3]
2.两条对角线相等的平行四边形是矩形。[3]
3.两组对边中点的两条连线成轴对称的四边形为矩形。[3]
菱形
定义
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。[3]
性质
1.菱形有着平行四边形的一切性质。[14]
2.菱形四条边的长度都相等。[14]
3.菱形的两条对角线互相垂直平分，且每条对角线平分它的一组对角。[14]
4.菱形的两条对角线就是菱形的两条对称轴。[14]
判定
1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。[14]
2.两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形。[14]
3.四条边长度都相等的四边形是菱形。[14]
4.一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。[14]
正方形
定义
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。[3]
性质
1.正方形有着平行四边形、矩形和菱形的全部性质。[14]
2.正方形的两条对角线都与边成45度角。[14]
3.正方形共有四条对称轴。[14]
判定
1.一组邻边相等的矩形是正方形。[14]
2.有一个角是直角的菱形是正方形。[14]
3.对角线互相垂直的矩形是正方形。[14]
4.对角线相等的菱形是正方形。[14]
应用
平行四边形的应用范围广泛，在许多不同的领域和行业均有应用到平行四边形的性质。[4][5]
建筑设计
平行四边形的性质可以应用于建筑设计中，如设计平行四边形的房间、门窗等。[15]
机械制造
平行四边形的性质可以应用于机械制造中，如设计平行四边形的零件、测量机械零件的平行度等。[5]
统计学
平行四边形面积的计算可以用于统计学中的面积计算，如计算农田、森林、湖泊等的面积。[16]
物理学
平行四边形的向量运算可以应用于物理学中的力学、电磁学等领域。[4]
参考资料 16
- 参考 1
- 参考 2
- 参考 3
- 参考 4
- 参考 5
- 参考 6
- 参考 7
- 参考 8
- 参考 9
- 参考 10
- 参考 11
- 参考 12
- 参考 13
- 参考 14
- 参考 15
- 参考 16