洛必达法则

洛必达法则（英文：L′Hospital rule）是在微积分领域求解未定式值的一种方法。该方法指出，在满足一定条件下，对于未定式值求解问题，可以先对分子和分母分别求导后再求极限来求解。洛必达法则是确定未定式值的常用手段。^[2]

洛必达法则由瑞士数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli）发明，数学家纪尧姆·弗朗索瓦·安托万·洛必达（Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hôpital）在其出版的著作中将该方法推向全世界。在实际运用中，能通过数学运算转化为未定式值求解问题的极限形式也适用于洛必达法则。^[3][4]

洛必达法则提供了一种求解未定式值的方法，尽管这种方法被称为洛必达法则，但创建者其实并非是法国数学家洛必达的，而是他的数学老师约翰·伯努利。^[2][3]伯努利发现了这个法则之后，将这一求解未定式值的方法告诉了洛必达。^[5]1696年，洛必达出版了著作L'Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes，中文名为《阐明曲线的无穷小分析》，这是微积分学方面最早的教科书，该著作在18世纪影响深远。^[6]洛必达将伯努利的发现写在这本书上，这也是洛必达法则第一次公开发表。^[5]世人误以为该方法为著作者洛必达发明，因此命名为洛必达法则并沿用至今。^[2][3]

洛必达逝世之后，伯努利发表声明该法则及许多的其它发现该归功于他自己，但没有足够的证据。直到200多年后，他的声明才被一些书信证实，洛必达法则的名称也没有再改变。^[2][3]

在函数极限的求解问题中，存在着这样一类极限形式，如果当或者时，和同时趋于零（简记为）或者趋于无穷大（简记为）时，这类极限形式是否存在极限需要进一步判断。因此，这类极限也被称为未定式，分为（和同时趋于零）以及（和同时趋于零或者趋于无穷大）两种形式。洛必达法则为解决此类未定式问题的提供了一种高效的方法。^[7]

1.型

如果函数和满足以下三个条件：

条件1：当时，和，

条件2：在点的某去心邻域内可导，即导函数和存在，且，

条件3：极限存在（或为无穷大），则

则有。^[4]

上述定理被称为洛必达法则，也就是将原未定式的值转换为分别对分子和分母求导后再求极限的方法。此外，除了定理中的极限过程，其余极限过程，如同样适用。^[4]

2.型

如果函数和满足以下三个条件：

条件1：当时，和，

条件2：在点的某去心邻域内可导，即导函数和存在，且，

条件3：极限存在（或为无穷大），则

则有。^[4]

如果把定理中的极限过程，替换为同样适用。^[4]

其它类型的未定式

除了和两种基本未定式的形式外，，，，，等几类不定式也可通过适当的变形化为和这两种基本型，同样可以通过洛必达法则来计算。^[4]

洛必达法则可以使用柯西中值定理来证明，下面对型的洛必达法则进行证明。^[4][7]

条件1未给出和在处是否有定义，和当时的极限与和无关，不妨假设，结合条件1和2可知，和和点的某去心邻域内是连续的。假设在点的某去心邻域存在一点，在以点和点为端点的区间上，符合柯西中值定理的使用条件，也就是在该区间内至少存在一点，使得

令，有，再对上式两端求极限，由条件3可知，上式右端可求，定理得证。

从推导过程也可以看出，只要原未定式使用一次洛必达法则后仍符合未定式的形式，并且满足洛必达法则使用的三个条件，那么可以继续对分子和分母求导再取极限，所得结果等同于原未定式，即：^[7]

例如，求解^[8]

^[8]

该未定式为型，在满足洛必达法则使用条件的前提下，上述求解过程中连续多次对分子和分母求导。^[8]

洛必达法则主要用于求解和两种形式的未定式值。在实际函数极限问题的求解中，洛必达法则并不局限于上述两种形式。事实上，能通过数学运算（如取倒数、分子分母有理化、通分和约分、换元、取对数等）转化为上述两种类型的未定式值求解问题的极限形式，例如，，，，等，也适用于洛必达法则。^[4][9]

型

此类型可直接转化为未定式的两种基本类型。^[9]

例如，下列式子为型，直接将因式转化为分式（型），再利用洛必达法则求解。

型

此类型可将原未定式取对数后转化为型，而后继续求解。^[9][10]

例如，下列式子为型，首先利用对数和指数进行等价转换。

对原未定式的求解转化为对上式右端指数部分的极限求解，该部分为型的未定式，化为分式后使用洛必达法则。

将指数部分的极限结果代回原未定式，得到最终结果。

型

此类型同样可将原未定式取对数后转化为型，而后继续求解。^[9]

例如，下列式子为型，首先利用对数和指数进行等价转换。

对原未定式的求解转化为对上式右端指数部分的极限求解，该部分为型的未定式，化为分式后使用洛必达法则。

将指数部分的极限结果代回原未定式，得到最终结果。

型

此类型同样可将原未定式取对数后转化为型，而后继续求解。^[9]

例如，下列式子为型，首先利用对数和指数进行等价转换。

对原未定式的求解转化为对上式右端指数部分的极限求解，该部分为型的未定式，化为分式后使用洛必达法则。

将指数部分的极限结果代回原未定式，得到最终结果。

型

此类型一般利用通分和倒数等运算后转化为分式（型）。^[9]

例如，下列式子为型，首先通分将其转化为型的未定式，而后使用洛必达法则。

洛必达将复杂的未定式值求解问题转化为简单的求导问题，但在使用的过程有几点注意事项。^[11]

并非分数形式的极限都为未定式，使用洛必达法则前应该先判断分子和分母的极限，如果并非同时趋近于0或者无穷大，则无法使用洛必达法则。^[9][12]

以下面的式子为例，第一次求导后的结果仍为未定式，因此可以继续使用洛必达法则，但在第二次求导后的结果已经不再是未定式，此时不能再使用洛必达法则，否则无法得出正确的结果（继续使用会得到错误结果1，而并非）。

洛必达法则是求解未定式的一种有效方法，如果能与其他方法（如等价无穷小以及重要极限公式、泰勒公式等）灵活结合，求解过程会更加便捷。^[13]

下面给出一个对比的例子。

（仅使用洛必达法则）

（洛必达法则与等价无穷小相结合）

洛必达法是求解未定式的一种有效方法，对于不适用洛必达法则求解的极限形式，并不意味着一定不存在极限，此时，需要使用其他方法（如夹逼定理，极限的定义，泰勒公式等）进行求解。^[9][13]

例如，在求解时，由于分子在时并非无穷大，且不存在极限，因此无法使用洛必达法则。此题可利用夹逼定理求解。

由于，且不等式两端，

由夹逼定理可知，不等式中间项。