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夹逼定理（英文：Squeeze Theorem或Sandwich Theorem）是利用函数值的变化趋势作为函数极限存在判定的一条准则。[1]夹逼准则的重要性在于不仅提供函数极限是否存在的依据，还可求出具体的极限值。[2]夹逼定理对于数列极限也同样适用。[3]
函数极限的夹逼定理
对于的情形[4][5]
设函数在的某个去心邻域内满足以下条件：[4][5]
(1) ，
(2) ,
则[4][5]
对于的情形[4][5]
对于的情形，定理仍成立。[4][5]
设函数在时满足以下条件：[4][5]
（1）。
（2），
则。[4][5]
数列极限的夹逼定理
数列的极限，可看做函数极限的一种特殊情形。[3][4]
如果数列及满足条件:[3][4]
(1) (从某一项以后恒成立),
(2)
则
。[3][4]
证明
对于的情形
因 所以，对于任意给定的，[4]
存在， 当时，有；[4]
存在，当时，有 。[4]
取$, 则当时，[4]
有[4]
即[4]
同时成立。 [4]
因介于和之间，所以当时，
有[4]
即成立，这就证明了。[4]
对于的情形
存在，当时，有成立。[5]
由，[5]
则，存在当时，[5]
存在，当时，[5]
令，则当时，[5]
有
即有[5]
由极限定义得。[5]
数列极限
由于， 则，存在，当时，[3]
有[3]
又，则，存在，[3]
当时，有[3]
由已知，当时，[3]
所以，取，[3]
满足[3]
即[3]
所以。[3]
几何意义
极限的夹逼定理具有明显的几何意义，如下图所示。[6]
应用
夹逼准则的重要性在于不仅提供判断数列收敛的一种方法, 而且可用于求极限。 应用夹逼准则的关键是，对于给定的数列，找到合适的收敛数列和。[2]
函数极限的证明
应用夹逼定理可以证明重要极限[7][8]
证明过程如下：[7][8]
在右图所示的单位圆中, 设圆心角， 点处的切线与的延长线相交于，作，则
右图显然有，，
因此
即
不等式两边都除以, 有
或
时，上述不等式同样是成立的。
下面来证明不等式的左端。
当时，，则
当时，，由夹逼定理可知
，故
回到
由夹逼定理即得
。
求解数列极限
求
由于[4]
而[4]
[4]
由夹逼定理可知，[4]
参考资料 8
- 参考 1
- 参考 2
- 参考 3
- 参考 4
- 参考 5
- 参考 6
- 参考 7
- 参考 8