氢原子百科 
柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件。
应用方面
柯西极限存在准则，又称柯西收敛准则，是用来判断某个式子是否收敛的充要条件（不限于数列），主要应用在以下方面：
（1）数列
（2）数项级数
（3）函数
（4）反常积分
（5）函数列和函数项级数
每个方面都对应一个柯西准则，因此下文将按照不同的方面对准则进行说明。
数列
数列的柯西收敛准则 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当时，且，有
我们把满足该条件的{x}称为柯西序列，那么上述定理可表述成：数列{x}收敛，当且仅当它是一个柯西序列。
该准则的几何意义表示，数列{x}收敛的充分必要条件是：该数列中的元素随着序数的增加而愈发靠近，即足够靠后的任意两项都无限接近。
证明
必要性
设，则，当时，有
那么，
充分性
由于数列的柯西收敛准则是实数连续性的体现之一，所以用实数公理——戴德金定理证明{x}收敛。
首先证明柯西序列是有界的。根据柯西序列的定义，对任意，存在正整数N，当时，有
于是取，则当时，。
解得，即当时，{x}既有上界又有下界，所以是有界的。
向上述数列中添加{x}的前N项得到{x}本身，则由于前N项都是确定的实数，不会改变{x}的有界性（即使此时{x}的上、下界发生变化）。故对任意正整数n，{x}都是有界的。
其次证明柯西序列收敛。设有一个实数集A，A中的任一元素c满足：区间中最多有{x}中的有限项（注意用词“最多”，意味着可以有0项），而{x}中的无限项都落在。并把A在R中的补集设为B，则：
①由取法可知，并且显然。即A和B都是非空数集。
②
③根据集合A、B的定义，A中任意元素都小于B中的任意元素。
由戴德金定理得，存在唯一实数η，使η要么是A中的最大值，要么是B中的最小值。
∵η是A和B的分界点
∴
④由A的定义可知， 。
根据已知条件，当时，
于是。联立④中的不等式，可得到
也就是当时，不等式成立
∴
应用
作为柯西收敛准则的应用之一，我们可以用来证明实数的确界原理。
确界原理：非空有上（下）界数集，必有上（下）确界。
证明：先证非空有上界数集必有上确界。
设S是一个非空有上界的数集，且b是其一个上界。则由S的非空性及实数的有序性可知，必定存在一个实数a，使得a小于S中的某个元素，即a不是S的上界。
把闭区间二等分，考虑闭区间中点，如果 是S的上界，则令；否则令。
重复此步骤，即如果某个闭区间中点 是S的上界，则令，否则令。这样一来得到了一系列闭区间，满足
①
②
并且由闭区间的构造方式可知，对任意自然数n，a都不是S的上界，而b都是S的上界。
下证收敛。
由极限的定义，根据②可知， ，使得当时，。
并且对任意正整数n和p，根据①可知，
于是当
令，即可得到{a}是一个柯西序列，由柯西收敛准则知{a}收敛。
设，由②得。
下证r是S的上确界。
∵b是S的上界
∴对S中的任一元素x，都有
由极限的保序性逆定理可知x≤r，即r是S的上界。
又取任意r’<r，由 及极限保序性可知，存在正整数N，当时，就有a>r'。
∵a不是S的上界
∴r‘不是S的上界
即比r小的数不再是S的上界。根据上确界的定义，r是S的上确界，即非空有上界的数集必有上确界。
其次，再来证明非空有下界数集必有下确界。
设B是一个非空有下界的数集，A是B的所有下界组成的数集。
根据下界的定义， ，都有。换句话说，B中的所有元素都是A的上界，A是一个非空有上界数集。由于已证得非空有上界数集必有上确界，所以A有上确界，记该上确界为r。
下证r也是B的下确界。
显然，这是因为如果，那么r一定是B中的最小值（根据上确界的定义），即对任意B中的元素b，都有。根据下界的定义，r也是B的一个下界，这样一来，与假设矛盾。
又取任意，所以，即比r大的数不再是B的下界。根据下确界的定义，r是B的下确界，即非空有下界数集必有下确界。
数项级数
数项级数的柯西收敛准则
数项级数 收敛的充要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当时，有
证明
设数项级数 的部分和为S，根据级数收敛的定义，收敛当且仅当 收敛。
显然，对于确定的n来说，S都有唯一一个确定的数值，这样一来{S}就是一个数列。故考虑用数列的柯西收敛准则来证明。
∵
∴由数列的柯西收敛准则可知，数项级数的柯西收敛准则也成立。
函数
考虑到数列是特殊的函数（即定义域为正整数集），可以猜想，函数的敛散性也应当有类似的结论，这就是接下来要说的函数的柯西收敛准则。
函数的柯西收敛准则
（1）时的准则
收敛的充要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当时，有
（2）时的准则
收敛的充要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正数X，使得当|x|>X，|x|>X时，有
x、x是f(x)的定义区间上任意两个实数。
以上准则针对单侧极限依然有效。
该准则的充要条件又称为（函数的）柯西条件，换句话说，函数收敛当且仅当函数满足柯西条件。
证明
必要性
（1） 时的准则
设，则，当时，有
那么，
（2） 时的准则
设，则，当时，有
那么，
充分性
由于函数极限和数列极限可以通过归结原则联系起来，所以要证明函数收敛，可以转化为证明数列收敛。而数列收敛的柯西准则上面已经证明了，所以把已知条件转化为求数列极限是证明的重心。
归结原则（或称海涅定理）：设f(x)在x的某个去心邻域（或|x|大于某个正数时）有定义，那么（或）的充要条件是，对在x的某个去心邻域内的 任意收敛于x并且满足x≠x的数列{x}（或绝对值大于某个正数的 任意发散到无穷大的数列{x}），都有数列{f(x)}收敛到A，即
这个原则在这里不证明，只需要注意的是定理中的“任意”二字。另外，如果函数极限是单侧极限，则相应的任意数列都是单调数列（右极限对应任意单调递减数列，左极限对应任意单调递增数列）。
（1） 时的准则
设{x}是x的某个去心邻域内的任意收敛到x并且的数列，由数列极限的定义， （注意这里的δ就是柯西条件的δ），当时，有
而由 可知，
换句话说，当时，有
这也就是数列的柯西收敛准则，由柯西收敛准则可知数列{f(x)}收敛。又因为{x}的任意性，得到任意{x}的极限都相等。于是根据归结原则，f(x)收敛。
（2时的准则
设{x}是绝对值大于某个正数的任意发散到无穷大的数列，由数列发散到无穷大的定义， （注意这里的X就是柯西条件的X），当时，有
而由 可知，
换句话说，当时，有
这也就是数列的柯西收敛准则，由柯西收敛准则可知数列{f(x)}收敛。又因为{x}的任意性，得到任意{x}的极限都相等。于是根据归结原则，f(x)收敛。
反常积分
反常积分分为两种，一种是积分区间含有无穷大的反常积分（又叫做无穷限的反常积分），另一种是被积函数为无界函数的反常积分（又叫做无界函数的反常积分、瑕积分）。因此相应的柯西收敛准则有两种，两种准则的描述有些区别，但都可以根据函数的柯西收敛准则来证明。
反常积分的柯西收敛准则
（1）无穷限的反常积分
无穷限的反常积分 收敛的充要条件是，对于任意给定的正数ε，总存在正数X，使得当时，有
无穷限的反常积分 收敛的充要条件是，对于任意给定的正数ε，总存在正数X，使得当时，有
前提是闭区间。
（2）瑕积分
瑕积分 收敛的充要条件是，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当时，有
其中是f(x)的瑕点。
瑕积分 收敛的充要条件是，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当时，有
其中是f(x)的瑕点。
前提是闭区间
证明
（1）无穷限的反常积分
设。由无穷限反常积分收敛的定义可知，收敛，当且仅当 收敛。
于是根据函数的柯西收敛准则，收敛的充要条件是，对于任意，总存在，使得当时，有
由定积分的性质可知， 。
把上述过程综合起来，就得到 收敛的充要条件是：对于任意，总存在，使得当时，有
由此得证无穷限反常积分的柯西收敛准则。
同理可证。
（2）瑕积分
设。由瑕积分收敛的定义可知，收敛（是瑕点），当且仅当 收敛。
于是根据函数的柯西收敛准则，收敛的充要条件是，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当时，有
由定积分的性质可知， 。
把上述过程综合起来，就得到（是瑕点）收敛的充要条件是，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当时，有
但是等价于令，即得到，由此得证瑕积分的柯西收敛准则。
（是瑕点）同理可证。
项级数
定义
所谓函数列指的是，具有相同定义域的一列函数f(x)，f(x)，f(x)，……所构成的集合{f(x)}，可以简写成{f}。
而函数项级数，则是由这无穷多个函数相加所构成的级数
关于函数列和函数项级数收敛的定义，又有如下几种：
设x为定义域上的某一点，那么f(x)是某个具体的常数，因此函数列{f(x)}（或函数项级数）就转化为一个数列（或数项级数）。如果当n趋于无穷大时，这个数列（或数项级数）的极限存在，则称函数列{f(x)}（或函数项级数）在处收敛，而把x称作函数列{f}（或函数项级数）的收敛点。
并把所有收敛点构成的集合称为收敛域。显然，收敛域是定义域的一个子集。
（2）极限函数与和函数
对于收敛域内任意一个数x，函数列（或函数项级数）成为一收敛的数列（或数项级数），因而有确定的函数值y（或和s）。通过这种对应关系，在收敛域上就定义了一个函数列的极限函数（或函数项级数的和函数），写作f(x)（或s(x)），并有：
（或，s(x)是函数项级数前n项的部分和）
注：显然函数项级数前n项的部分和s(x)所构成的集合{s(x)}同样是一个函数列，并且
利用语言，可以精确地定义极限函数：
根据（2）中极限函数的定义，我们可以知道函数列{f}具有极限函数的充要条件是：对任意ε>0，总存在正整数N，使得当时，有。通常这个N不仅与ε有关，也与自变量x有关，就算ε不变，当x发生改变时，N也会随之改变。但是，如果某一函数列能找到这样一个正整数N，它只与ε有关，而对定义域（或其某个子集）上的任意一点x这个N都适用。即对任何x∈D（D是函数列的定义域或其某个子集），只要时，就有|f(x)-f(x)|<ε。对于函数列的这种性质我们给它一个专门的名词，这就是下面要介绍的一致收敛。
设D是函数列{f}的定义域（或其某个子集），f是D上有定义的函数。如果对任意ε>0，总存在某一正整数N，使得当时，对一切，都有，则称函数列{f}在D上 一致收敛于f。
又设是函数项级数 的部分和函数列，若{s(x)}在D上一致收敛于s(x)，则称函数项级数 在D上一致收敛于s(x)。
显然，函数列在某个数集上即使处处都收敛（又叫逐点收敛），也不一定在该数集上一致收敛。但在数集上一致收敛时，必定在该数集上逐点收敛。逐点收敛和一致收敛的关系可以参考函数连续和一致连续的关系。
函数列和函数项级数的柯西收敛准则
（1）函数列的柯西收敛准则
函数列 在D上 一致收敛的充要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当时，对一切，有
（2）函数项级数的柯西收敛准则
函数项级数 在D上 一致收敛的充要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当时，对一切，有
证明
（1）函数列的柯西收敛准则
必要性
设，则，当时，对任意，有
那么，
充分性
由于对确定的为某一确定的数列，因此根据数列的柯西收敛准则，当x取遍D上的每一点时，函数列{f}总收敛，设其极限函数为f。
现只需要证明，{f}一致收敛于f。
事实上，由于已证得，根据极限的定义，对任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当时，有
于是，当时，
这里的ε和N都是柯西条件中的，即N只和ε有关，而对一切都适用。
因此根据一致收敛的定义，{f}一致收敛于f。
（2）函数项级数的柯西收敛准则
根据函数项级数一致收敛的定义，我们只需要证明部分和函数列{s(x)}在D上一致收敛于s(x)。显然，{s(x)}一致收敛于s(x)的充要条件即是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当时，对一切，有
那么，函数项级数 一致收敛的充要条件亦即是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当时，对一切，有