充分必要条件

充分必要条件（英文：Necessary and Sufficient Condition），^[1]又称为充要条件，是指描述一定语言符号所指概念范畴所必需的集合特征。^[7]从集合角度理解，若A={x丨p（x）} ， B={x丨q（x）}，则A=B，即p是q的充分必要条件；^[2]从逻辑学角度理解，当命题“若P则Q”为真时，P称为Q的充分条件，Q称为P的必要条件。因此：当命题“若P则Q”与“若Q则P”皆为真时，P是Q的充分必要条件，同时，Q也是P的充分必要条件。当命题“若P则Q”为真，而“若Q则P”为假时，称P是Q的充分不必要条件，Q是P的必要不充分条件，反之亦然。^[2]

公元前6世纪，古希腊思想家巴门尼德（Parmenniddes，公元前6世纪后期）及其弟子芝诺（Zeno，公元前5世纪）就在“归谬法”中提出了逻辑论证的基本原则。^[8]受到这一思想的影响，古希腊哲学家和科学家亚里士多德在他的著作《形而上学》中，提到了“必需的”相关定义和概念。^[3]古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，提到了一些充分必要条件的理论。^[4]

数学中有许多充分必要条件的示例，生活和工程中充要条件也很常见。^[5][6]

用、分别表示两个命题。如果命题成立，可以推出命题成立，即，那么叫做的充分条件，叫做的必要条件（也就是说，为了使成立，具备条件就足够了）；如果既有，又有，那么既是的充分条件，又是的必要条件，这个时候就说，是的充分必要条件，简称充要条件。^[2]

记法	A={x丨p（x）} B={x丨q（x）}
关系	AB	BA	A=B	AB且BA
图标
结论	p是q的充分不必要条件	p是q的必要不充分条件	p是q的充分必要条件	p是q的既不充分也不必要条件

若由条件能推出结论，则条件叫做结论的充分条件；^[2]

若由结论能推出条件，则条件叫做结论的必要条件；^[2]

若条件与结论能互相推出，则条件叫做结论的充分必要条件；^[2]

若条件与结论互相不能推出，则既不是充分条件也不是必要条件 ；^[2]

即：当命题“若P则Q”为真时，P称为Q的充分条件，Q称为P的必要条件。因此：^[2]

当命题“若P则Q”与“若Q则P”皆为真时，P是Q的充分必要条件，同时，Q也是P的充分必要条件。^[2]当命题“若P则Q”为真，而“若Q则P”为假时，称P是Q的充分不必要条件，Q是P的必要不充分条件，反之亦然。^[2]

充分条件：pq^[9]

充分条件指的是有两个分别为p、q的事物情况，如果有p，就必然有q，而没有p是否有q不能确定，这种情况下，p就是q的充分条件。^[10][9]例如：“停电”对“电灯不亮”来说，就是一个充分条件。因为只要“停电”就必然会产生“电灯不亮”；但是不“停电”，是否产生“电灯不亮”是不能确定的。^[9]

必要条件：qp^[11]

必要条件指的是有两个分别为p、q的事物情况，如果没有p，则必然没有q；如果有p，则不一定有q，p就是q的必要条件。或者是说q可以推导出p，而 p不能推导出q。^[10][11]例如：“认识26个英文字母”对“看得懂英文”来说，就是一个必要条件。因为不“认识26个英文字母”必然不能“看得懂英文”；但是“认识26个英文字母”，不一定“看得懂英文”。^[11]

充分不必要条件指的是有两个分别为p、q的事物情况，如果有事物情况p，则必然有事物情况q；如果有事物情况q不一定有事物情况p，p就是q的充分而不必要的条件，即充分不必要条件。^[12]

必要不充分条件指的是有两个分别为p、q的事物情况，如果有事物情况q，则必然有事物情况p；如果有事物情况p不一定有事物情况q，p就是q的必要不充分条件。^[12]

肯定式就是大前提是假言判断，小前提肯定着大前提中作为条件的判断的真实性，结论则肯定着大前提中作为结果的判断的真实性。换言之，在肯定形式中，小前提和结论分别地把大前提中所表现的原因和结果都肯定下来了。肯定式的公式为：^[13]

如果P，那么 q。P（大前提）；q （结 论）。^[13]

肯定式充分条件的假言推理的规则是：只能由肯定前件而肯定后件；不能由否定前件而否定后件。^[13]

否定式是大前提是假言判断，而小前提否定了大前提中作为结果的后件判断的真实性，从而结论也就否定了大前提中作为条件的前件的真实性。否定形式的公式为：^[13]

如果 P，那么 q。不q（大前提）；因此不P（小前提）（结 论）。^[13]

否定式充分条件的假言推理的规则是：只能由否定后件而否定前件；不能由肯定后件而肯定前件。^[13]

必要条件的假言推理的大前提是必要条件的假言判断，它的前件是后件的必要条件，后件是前件的充分条件。肯定式的公式为：^[13]

只有P，才q（大前提）；q（小前提）；因此P（结 论）。^[13]

肯定式必要条件假言推理的规则：只能由肯定后件而肯定前件；不能由肯定前件而肯定后件。^[13]

必要条件假言推理的否定式就是：小前提否定了大前提的前件，结论则否定了大前提的后件。否定式的公式为：^[13]

只有P，则 q（大前提）；不P（小前提）；因此，不q（结 论）。^[13]

否定式必要条件假言推理的规则是：只能由否定前件而否定后件；不能由否定后件而否定前件。^[13]

充分必要条件的假言推理是大前提的前件和后件互为充分和必要条件。这种假言推理的逻辑关系很简单，只要肯定前件和后件，就能肯定后件和前件；只要否定前件和后件，就能否定后件和前件。因此，充分必要条件的假言推理，有四个正确式：^[13]

（1）如果P，那么Q；因为，P；因此，Q。^[13]

（2）如果不P，那么不Q；因为，不P；因此，不Q。^[13]

（3）如果P，那么Q；因为，Q；因此，p。^[13]

（4）如果不P，那么不Q；因为，不Q；因此，不P。^[13]

充分和必要条件的假言推理可以用两个假言前提来表述，一个前提表示充分条件，一个前件表示必要条件，小前提肯定或否定任何一个前提或后件，结论就肯定或否定相应的后件或前件。^[13]

在逻辑学中，真值表是显示一个或多个复合命题真值的图表，它可以用来检验论证的有效性。真值表如下：^[14]

在公元前6世纪，古希腊思想家们已经开始研究逻辑推理的概念，活跃的国家政治生活鼓励人们开展讨论和发展辩论的技巧。如伊利亚学派的巴门尼德（Parmenniddes，公元前6世纪后期）及其弟子芝诺（Zeno，公元前5世纪）的著作详细地描述了各种辩论技巧，如“归谬法（reductio and absurdum）—假定要证明的命题不成立从而引出矛盾；否定后件律（modus tollens）—先证明若A正确，则B也正确，然后证明B不正确，结论是A也不正确。”^[8]

古希腊哲学家和科学家亚里士多德在他的著作《形而上学》中，描述了充分条件和必要条件的定义和概念。^[3]亚里士多德认为，逻辑论证应建立在三段论（syllogism）的基础上，三段论指的是由所陈述的事情，必定可得出另外的某些结论的论证过程。^[8]

公元前3世纪的斯多克斯学派(the Stoics) 对数学证明中实际应用的基本论证形式进行过详细的分析，其中以克里斯帕斯（Chrysippus）的分析最为细致。这种逻辑形式不是以亚里士多德的三段论为基础，而是以命题为基础的。克里斯帕斯提出了假言推理、否定后件率、假言三段论及选言三段论。^[8]古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，^[15]提到了一些充分必要条件的理论。^[4]

在很多数学题的解析中会用到充分必要条件，如向量形式的角平分线、^[16]函数图像关于点对称的的问题、^[6]三点共线、导函数的奇偶性、^[17]一类一元二次方程根的应用、^[18]等差数列的应用等。^[19]

例题：函数y=f（x）的图像关于点M（m，n）对称的充要条件是函数y=（f（x）+m）-n为奇函数。^[6]

证明：不妨设 m>0，n>0。将函数y=f（x）的图象向左平移m个单位，再向下平移n个单位，就得到函数y=（fx+m）-n的图象。由此可知，函数y=f（x）的图象关于点M（m，n）对称的充要条件就是y=（fx+m）-n的图象关于原点对称，即y=（fx+m）-n为奇函数。^[6]

在科学研究中，充分必要条件也经常被使用到。科学家们通过实验、观察及数算，探讨事物之间的因果关系。通过确定充要条件，科学家可以更好地理解和解释现象，并为进一步的研究提供指导，如在运载火箭纵向动态特征分析方面。由于火箭的运动具有纵向渐进稳定性，反之只要有一个正实部或一对共轭复根的实部为正，运动参数将随时间的增加而无限地偏离其未扰动的值。故火箭纵向运动是不稳定的。所以，特征方程式的各个根具有负的实部是火箭具有纵向渐进稳定性的充要条件。^[5]

充要条件在生活中通常用“当且仅当……，则……；需要且只需要”来表示。如：“当且仅当脑死亡，则人死亡”。意味着，“脑死亡”是“人死亡”的充要条件。^[20]