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一元二次方程（quadratic equation with one unknown）指的是仅含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。形如：，其中为常数。[1][9][10]是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。[1][9][11]
一元二次方程的历史可以追溯到公元前2250年的古巴比伦和3000年前的古埃及[12]。希腊时代的欧几里得和丢番图也研究了二次方程[4][5]。印度数学家婆罗摩笈多和阿拉伯数学家阿尔·花拉子米给出了二次项系数为1的求根公式[3]。中国古代的著作《九章算术》和《周髌算经》也有关于一元二次方程的内容[3]。印度数学家拜斯卡拉给出了正负两根的求根公式[2]。意大利数学家斐波那契系统性介绍了方程理论，而法国数学家韦达和笛卡尔对一元二次方程进行了补充[7]。一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、图像法、求根公式法、因式分解法、计算机法。[13][14][15][16][17]
一元二次方程在数学问题求解中具有重要的应用。[18]例如根据一元二次方程的计算和计算黄金分割比等等[19][20]，也可以解决生活问题。[8]
发展简史
一元二次方程的历史可以追溯到公元前2250年的古巴比伦，古巴比伦人将此类的代数问题刻在泥板上，用以解决矩形面积问题[12]。在发现于卡呼恩（Kahun）的两份古埃及纸草书上也出现了用试位法求解二次方程的问题。公元前300年前后，数学家欧几里得（Euclid）所著的《几何原本》（Euclid’s Elements）中卷II命题5[4]、命题6[4]以及卷VI命题12、命题13的内容可以被视为二次方程的几何解[21][22]。继欧几里得之后，丢番图（Diophantus）在他的著作《算术》（Arithmetica）中提出了许多二次方程或可归结为二次方程的问题。不过，丢番图在求解二次方程时通常只取一个根，如果方程有两个正根，他会选择较大的一个。[5]中国古代也很早就有对一元二次方程研究的记载。例如，秦汉时期的数学著作《九章算术》中，提出了一种“开带从平方”法求解一元二次方程。同时期的另一部著作《周髀算经》已经给出了一元二次方程的公式化解法[3][2]。
公元7世纪和9世纪时，印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta)和阿拉伯数学家阿尔·花拉子米（Al - Khwarizmi）先后给出了二次项系数为1的方程的求根公式，但只给出了正根部分。[3][2]公元1150年，印度数学家拜斯卡拉（Bhaskara Acharya）对一元二次方程方程的一般形式进行研究，同时给出了正负两个根的求根公式，与现代求根公式是一致的。[3][2]十三世纪，斐波那契（Fibonacci）在其著作《计算之书》（Liber Abaci）中系统介绍了印度－阿拉伯数码，二次和三次方程以及不定方程理论[7]。随着欧洲人在代数学领域的深入研究，包括一元二次方程在内的数学知识进一步向前发展。法国数学家韦达（F.Vieta）解释了一元二次方程根与系数的关系[23][24]。1637年，笛卡儿（RenéDescartes）完成了对韦达代数符号的改进。[25]
定义
只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。例如：（）[26][9]。为常数。[1][9][10]是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。[1][9][11]通过等式性质化简而成为一元二次方程的整式方程也属于一元二次方程。例如：[27][26] （）+（）+（），（）
基本条件
条件一：它是一个等式；[26][9]
条件二：等式中只含有一个未知数；[26][9]
条件三：等式中未知数的最高次数为2；[26][9]
条件四：等式中未知数的二次项系数不能为0。[26][9]
二次函数
一般地，形如(为常数，且)的函数叫做二次函数，其中是自变量。[28]二次函数与轴的交点为一元二次方程的根。若一元二次函数图像与轴有两个交点，有两个相等的实数根，则方程有两个不同的实数根。若函数图像与轴只有一个交点，则方程有两个相等的实数根。若函数图像与轴没有交点，则方程没有实数根。[29]
根的性质
一元二次方程（）可以简化为，根的性质也可简化为两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。即，。[24]
图像性质
关于的一元二次方程（）可以通过二次函数来表示。二次函数可通过配方法化简成（）²+的形式，，。[17]即（）²+。由表达式可知的对称轴为，顶点坐标为。[17]
对于二次函数（），[29]
当时，与轴有两个交点，如上图1所示[29]。
当时，与轴有一个交点，如上图2所示[29]。
当时，图像与轴没有交点，如上图3所示[29]。
如果。当时，随的增大而增大。当时，随的增大而减小。如上图4所示。[30]
如果。当时，随的增大而减小。当时，随的增大而增大。如上图5所示。[30]
直接开平方法
配方法
对不能直接开平方的一元二次方程，在方程两边同时加一次项系数一半的平方，通过降次将一元二次方程转化为两个一元一次方程，再完全开平方。[9][31][15]
例如（系数化为1并移项）[32]
（）²＝（）²（配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方）[32]
（）²＝（）²（整理）[32]
（开方）[32]
（整理）[32]
（整理）[32]
∴[32]
当时[15]
方程为[15]
[15] （移项）
[15]（配方，方程两边同时加一次项系数一半的平方）
[15]（整理）
[15]（完全开平方）
[15]。
图像法
关于x的一元二次方程可以通过做出二次函数（）²来解决。一元二次方程（）的根就是它所对应的二次函数函数值为0时，自变量x的值。即二次函数图像与x轴交点的横坐标。例如当＝（）²。可知此二次函数图像的对称轴为，顶点为（）。当。所以其图像如下所示，与横坐标的交点为（-1，0）和（-7，0）。则为方程的根。[33]
求根公式法
解一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法[16]
推导过程
任何一元二次方程都可以写成（）的形式，通过配方法解此方程[16]。
（移项）[16]
（二次项系数化为一）[16]
（）²＝+（）²（配方）[16]
方程K：（）²＝（整理）[16]
。式子的值有以下三种情况[16]
（1），。由K得，方程有两个不等的实数根[16]，[16]
（2），。由K可知，方程有两个相等的实数根，。[16]
（3），。由K可知，（)²<0，因此方程无解。[16]
例如。[16]
，∴（）[16]
根的判别式
求根公式法在复数域的推广
一元二次方程，当时，该方程在实数域无解。但在复数域有解，通过虚数（虚数单位），一元二次方程总有两个根。[34]
实数根：（）[34]
虚数根：（）[34]
一般来说，三次方程可化为一个一次方程和一个二次方程，例如三次方程[34]
可化为（）（）[34]
，[34]
解得：这样方程恰好有3个根。[34]
韦达定理
一元二次方程的根是由系数确定的，两根之和等于它的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于它的常数项除以二次项系数所得的商。[9][35][24]
假设一元二次方程的两个根分别为。[24]
由求根公式可得
（），（）[16]
∴[24]，[24]。
因式分解法解方程
根据韦达定理找出两根关系，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形状，再使这两个一次式分别等于0。从而实现降次，这种方法叫做因式分解法。而这两个一次方程的解即为原方程的两个解。[13]
例如根据两根关系 ，。[13]
∴（）（）＝0[13]
[13]
计算机法
用计算机解一元二次方程，程序中用disc代表；p表示；q表示；p+q表示；p-q表示，先计算 disc 的值，以减少以后的重复计算。在计算过程中，若，则输出方程无实根（This equation hasn't real roots）。若disc≥0，则求出方程两个实根＝p+q；p-q；再输出方程两个根[36]。
一元n次方程
对于一元n次方程为方程的n个根，则它们满足以下关系：[37]
分式方程
无理方程
解方程 。[39]
解无理方程常用的方法是将原方程变为有理方程求解。[39]
解: 原方程可变为[39]
[39]
两边平方可得[39]
[39]
整理可得，[39]
解得。[39]
黄金分割比
黄金分割比在数学、美学等领域都有广泛应用。它可以通过从一个大矩形中裁去一个正方形来得到。这个大矩形的主要特点是，当从中裁去一个正方形后，所剩下的小矩形仍保持着原先大矩形的形状，也就是长宽比相等。这个长宽比被称为黄金分割比，通常用希腊字母φ（phi）表示，其值约为0.61803398875。[19]
如上图所示，假设矩形的长为，宽为1（长宽比为），切去一个正方形后，剩下的小矩形长为1，宽为，大小矩形的长宽比相等，因此有[19]
[19]
上述方程可整理为一个一元二次方程，即[19]
[19]
求解该方程可得：[19]
[19]
即为黄金分割比，满足该长宽比的矩形也称为黄金矩形。[19][40]
实际问题
收费问题： 一城市出租车的收费标准如下表，一人打车去某公司办事，停车后，打出的电子收费单为“里程11公里，应收 29.1元请付29元”求基本价()[41]
| 里程（km） | |||
|---|---|---|---|
| 单价（元） |
解：由题可得
()[41]
[41]
∴（）（）=0[41]
[41]
∵[41]
∴[41]
答：出租车的基本价为每千米10元[41]
疾病传播问题：要舍去不合题意的负数根。例如：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患上流感。求每轮传染中平均一个人传染给几个人。[8]
设每轮平均一个人传染x人，[8]
可列方程（）＝121，[8]
[8]
[8]（不合题意，舍去）
∴[8]
增长率问题：年前生产1吨药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨药品的成本是3000。求该药品成本的年平均下降率。设药品成本的年平均下降率为，则一年后药品成本为（）元，[42]
两年后药品成本为（）²元，[42]
于是有（）²[42]
解的（不合题意，舍去）[42]
参考资料 42
- 一元二次方程 — 术语在线
- 参考 2
- 参考 3
- 参考 4
- 参考 5
- 参考 6
- 参考 7
- 参考 8
- 参考 9
- 参考 10
- 参考 11
- 参考 12
- 参考 13
- 参考 14
- 参考 15
- 参考 16
- 参考 17
- 参考 18
- 参考 19
- 参考 20
- 参考 21
- 参考 22
- 参考 23
- 参考 24
- 参考 25
- 参考 26
- 参考 27
- 参考 28
- 参考 29
- 参考 30
- 参考 31
- 参考 32
- 参考 33
- 参考 34
- 参考 35
- 参考 36
- 参考 37
- 参考 38
- 参考 39
- 参考 40
- 参考 41
- 参考 42