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韦达定理（英文：Vieta theorem）描述的是一元二次方程中根和系数之间的关系，即一元二次方程的两根之和等于它的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于它的常数项除以二次项系数所得的商。[2][3]
对于一个一元二次方程，记两个根分别为，韦达定理可以使用以下数学关系表示。[2]
，[2]
在欧洲，韦达定理是由法国数学家弗朗索瓦·韦达（Francois Viete）首先发现而得名。韦达定理不单适用于一元二次方程，还能推广至更一般的一元n次方程。韦达定理在方程根的求解、圆锥曲线和三角恒等式等具有广泛的应用。[1][4][5][6]
历史
公元 300 年，中国数学家赵爽编著的《周髀算经》中已有发现类似韦达定理的根与系数的关系的记载，并通过文字描述了求解一元二次方程的根的一般方法，与韦达定理的差别在于没有字母化的求根公式。[4]
16世纪，法国数学家弗朗索瓦·韦达（Francois Viete）发现了代数方程的根与系数之间的关系，将其推广到高次方程，并在其著作《论方程的识别与订正》正式发表，后来人们把这个关系称为韦达定理。[1][4][5]
有趣的是, 16 世纪已经发现的韦达定理需要代数基本定理（实系数的一元n次方程一定有n个根）才能得证，而后者直到1799 年才由德国数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Carolus Fridericus Gauss）首次做出实质性的论证。[5]
定义
一元二次方程的两根之和等于它的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于它的常数项除以二次项系数所得的商。根与系数的这种关系，叫做韦达定理。[2]
对于一个一元二次方程，记两个根分别为，韦达定理可以使用以下数学关系表示。[2]
韦达定理它描述了一元二次方程的根与系数之间的联系。需要说明的是，无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间的关系均满足韦达定理。[2]
对于二次项系数为 1的简化形式的一元二次方程，韦达定理有更简洁的表达形式：一元二次方程的两根之和等于它的一次项系数的相反数；两根之积等于它的常数项。[2]
方法一
方法二
方法三
利用几何证明。[7]
设a>0，b<0，c>0，并且。如下图，以为斜边，为一条直角边作，再以点O为原点，OA所在直线为戈轴建立平面直角坐标系，则点A的坐标为以点A为圆心，线段AB为半径作，与轴相交于点C和点D。[7]
设点C和点D的坐标分别为和，则，在中，由勾股定理得，化简得，即是一元二次方程的一个根。[7]
同样的，，在中，由勾股定理得化简得，即是一元二次方程的一个根。[7]
推广
韦达定理不仅适用于一元二次方程根与系数的关系，还可以描述一元三次以及更高次方程根与系数的关系。[6]
一元三次方程
一元n次方程
更一般的情况，对于一元n次方程为方程的n个根，则它们满足以下关系：[6]
韦达定理的逆定理
如果有两个数，它们满足以下关系：[2]
则为一元二次方程的根。[2]
上述定理称为韦达定理的逆定理。[2]
证明如下：
首先将改写为以下形式：[2]
将代入有：[2]
将分别代入上述等式的两端，可得：[2]
因此，为根，亦同理，定理得证。[2]
在方程中的应用
韦达定理在方程的根的相关问题中具有重要的运用。例如，可以判断方程的根是否为正解，对于一元二次方程，已知其中一个根，可以快速求出另外一个根。利用韦达定理的逆定理可以从根反推出原方程，或者求解原方程中存在的未知参数等。[8]
例如， 已知一个一元二次方程的两根分别是 和求出这个方程。[8]
求解过程如下：
构造一元二次方程，由韦达定理有：[8]
故该方程为：[8]
在三角恒等式的应用
应用韦达定理，可以求解三角恒等式中的一些证明和计算问题。[9][10]
例如，证明以下三角恒等式成立。[9]
证明过程：
根据倍角公式可得式（1）：[9]
如果成立，则式（1）可改写为以下高次方程，记为式（2）。[9]
其中为式（2）的解，由于式（2）的解的个数为8，也就是存在8个使得上述假设成立，解得：[9]
令，对式（2）进行改写可得到式（3）：[9]
容易得到式（3）的8个根为：[9]
继续令，对式（3）进行改写可得到式（4）：[9]
容易得到式（4）的4个根为：[9]
由韦达定理，4个根之和为三次项系数与四次项系数之比的相反数，据此可得到式（5）：[9]
将待回式（5），原恒等式得证。[9]
在圆锥曲线中的应用
运用代数方法解决几何问题是解析几何的核心思想，圆锥曲线问题经常转化为一元二次方程的求解或证明，因此韦达定理在圆锥曲线中也具有重要的应用。[11][12]
例如， 在右图中，椭圆曲线一个焦点为，相对应的准线为，过焦点 的直线交椭圆于 A，B 两点，C 是圆上的任一点直线 CA，CB 分别与准线交于M，N 两点，求证以线段 MN 为直径的圆必过焦点。[11]
证明过程如下：
记，直线AB的方程为，联立
，可得。[11]
由韦达定理可得：[11]
结合可得，[11]
。
直线CA的方程可表示为：[11]
为了求解点M的坐标，令，代回直线CA的方程可得：[11]
因此点M的坐标为：[11]
同理，点N的坐标为：[11]
则直线FM和FN的方向向量分别为：[11]
结合，可得[11]
，命题得证。[11]
解析几何中的应用
利用韦达定理，可以求解解析几何中的一些运用，比如求解直线方程。[13]
如已知直线经过点和求直线的方程。[13]
根据解析几何的知识，设直线的方程为，则直线经过点A和B可以列出如下两个方程：
[13]
将上述两个方程联立，消去参数b，可得:
k=1[13]
将k=1代入其中一个方程，可得b=1。因此，直线的方程为y=x+1。[13]
接下来，我们用韦达定理来验证一下刚才的结果。由于直线经过点和，因此直线可以写成这样的形式：
[13]
[13]
将上述两个方程展开后消元，即可得到：
y=x+1，这和之前求得的结果一致。[13]
从上述例子中，我们可以发现，利用韦达定理可以简单快捷地求解直线的方程，特别是对于已知直线经过某些点的情况，应用韦达定理可以更快速地得到直线的解析表达式。[13]
参考资料 13
- 参考 1
- 参考 2
- 参考 3
- 参考 4
- 参考 5
- 参考 6
- https://d.wanfangdata.com.cn/Periodical/ChlQZXJpb2RpY2FsQ0hJTmV3UzIwMjMwNDI2EhN6eHN4enotY3piMjAxODA2MDExGghhM3hyaGdieA%3D%3D
- 参考 8
- 参考 9
- 参考 10
- 参考 11
- 参考 12
- https://d.wanfangdata.com.cn/Periodical/ChlQZXJpb2RpY2FsQ0hJTmV3UzIwMjMwNDI2Eg9zenN6eGIyMDAzMDIwNzQaCHd3N3Y0bTQ1