三角恒等式

含有三角函数且对任意角都成立的等式

三角恒等式

三角恒等式（英文名：trigonometric identities）[0]，指含有三角函数且对任意角都成立的等式。[26] 三角恒等式的历史可以追溯到托勒密（Ptolemy of Alexandris）于公元二世纪所著的书《天文学大成》。[2]托勒密的《斜截面》（Sections Angulares）(该书在他死后于1615年出版)推动了三角恒等式的进一步发展。[27]到了14-16世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主要研究内容，其中包括三角恒等式的建立和推导。后来，法国数学家韦达（François Viète）把解平面三角形和斜三角形的公式汇集在一起，并且把这些恒等式表示成代数形式。[28]

三角恒等式（英文名：trigonometric identities）[1]，指含有三角函数且对任意角都成立的等式。[27]

三角恒等式的历史可以追溯到托勒密（Ptolemy of Alexandris）于公元二世纪所著的书《天文学大成》。[3]托勒密的《斜截面》（Sections Angulares）(该书在他死后于1615年出版)推动了三角恒等式的进一步发展。[28]到了14-16世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主要研究内容，其中包括三角恒等式的建立和推导。后来，法国数学家韦达（François Viète）把解平面三角形和斜三角形的公式汇集在一起，并且把这些恒等式表示成代数形式。[29]

三角恒等式包括基础三角恒等式[11]、两角和差公式[12]、倍角公式[30][31][32]、积化和差公式[14]、和差化积公式[13]、万能公式[15]、降幂公式[16]、诱导公式[17]、三角级数[24]等。[33]它可以应用于求解不定积分和几何问题，使复杂的的问题简单化。[6][7]同时，三角恒等式还常应用于研究物理中的简谐振动。[8]

定义

三角恒等式，含有三角函数且对任意角都成立的等式称为三角恒等式。[27]恒等式对于任何的值都成立。这种等式就是三角恒等式。[34]

一般地，如果函数有相同的定义域，且在定义域内的任何取值都相等，同时，有一个为三角式，就称是无条件三角恒等式，例如，。如果只在一定条件下成立，则为条件三角恒等式，例如，当时， 。[35][5]

注：本文所有三角恒等式统一用、、、表示三角函数的自变量。

简史

三角恒等式的历史可以追溯到托勒密（Ptolemy of Alexandris）于公元二世纪所著的书《天文学大成》，书中包含了两角和差公式、二倍角公式。[3]随后托勒密还建立了很多三角恒等式，如两角差恒等式以及用和表示和的恒等式，其中后一个写在他所著的《斜截面》（该书在他死后于1615年出版）一书中。[28]到了14-16世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主要研究内容，其中包括三角恒等式的建立和推导。[2]后来，法国数学家韦达（François Viète）在他著于1591年并出版于1615年的《论方程的整理与修正》（De Aequationum Recognitioneet Emendatione）一书中，提出了用一个三角恒等式解出不可约三次方程，该方法后来一直为人们所用。从而避免使用卡丹的公式，这丰富了三角恒等式的应用。[36]同时，他把解平面三角形和斜三角形的公式汇集在一起，并且把这些恒等式表示成代数形式。[29]

韦达
韦达

基础三角恒等式

[11][37]

两角和差

[12]

和差化积

[13]

积化和差

[14]

二倍角公式

[38][30]

三倍角公式

[39][31]

n倍角公式

根据棣莫弗定理得到用复数表示的n倍角公式：

[32]

也可以表示为：[40]

[40]

半角公式

[41]

辅助角公式

辅助角公式逆用了两角和的正弦公式，主要作用是化角为函数来研究三角函数的性质，公式如下：

。[42]

万能公式

[38][15][43]

降幂公式

[16]

式中为正整数。

诱导公式

由于正割、余割与余切分别是余弦、正弦与正切的倒数，根据三角函数相互转化的关系可以得到正割、余割与余切函数的诱导公式。[44]

角（为任意的整数）的恒等式：[17][45]

角的恒等式：[18][46]

角的恒等式：[19][47][46]

角的恒等式：[20][46]

角的恒等式：[21][46]

角的恒等式：[48][22][46]

角的恒等式：[23][46]

角的恒等式：[46]

角的恒等式：[46]

口诀：奇变偶不变，符号看象限。[18]

三角函数级数

[24][49]

反三角函数级数

[25][50][51]

傅里叶级数

根据三角函数系的正交性，将三角级数逐项积分可得欧拉——傅里叶公式，公式如下：

由欧拉——傅里叶公式算出的系数叫做函数的傅里叶系数，以为系数作出的三角级数叫做函数的傅里叶级数。[26]

途径

证明三角恒等式通常有三种途径：

（1）从恒等式的任意端（如左端或右端）出发，进行变换，（通常选取表达式比较复杂的那一端），使它等于等式的另一端（右端或左端）。

（2）从恒等式的两边同时进行变换，证明两边式子都与同一个式子恒等。

（3）先假定等式成立，对等式做适当的变换，或化简而得到一个新的关系式，再证明新式恒等，从而原恒等式得证。[52]

举例

下面，提供利用两角和公式证明倍角公式：

，

当时，有。

，

当时，有。

因此，。

又因为，，

因此，。

即，

因此，。

又因为，

因此，。

因此，。[53]

应用基础三角恒等式

例题： 化简。[54]

解答：

。[54]

应用两角和差公式

例题： 证明正弦函数与余弦函数的叠加是一个简谐函数。

角频率相同的正弦函数和余弦函数的叠加是一个简谐函数，即

。

其中，都是与自变量无关的常数。[55]

解答： 根据两角和公式得，

。

将两边各自平方并开方，得

。

将两式相除，得

。[55]

应用降幂公式

例题： 计算下列不定积分：。[6]

解答： 由凑微分法有 ,

利用降幂公式可将分母转化为,

。[6]

应用诱导公式

三角恒等式还可以用在几何证明上，在证明过程中，把各种几何量借助于三角函数表示出来后，要证明的结论就体现成一个三角恒等式，于是解决这个问题的关键就是证明一个适当的三角恒等式。[7]

例题： 求证，若两弦、垂直相交于、、是、中点，则。[7]

解答： 设半径为1，可如图标出，

因为,

所以，。[7]

三角方法证几何题
三角方法证几何题

应用级数公式

例题： 某角的弧长等于它的半径，计算它的余弦值到小数点后四位。[56]

解答： 由三角函数级数可知，;

由题意可知，;

故有，

。[56]

参考资料 56

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