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二倍角公式（英文名：Formulas for double angles）[1]，是数学三角函数中常用的一组公式，指以角α的三角函数来表示其二倍角2α的三角函数的公式。二倍角公式包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式、正切二倍角公式、余切二倍角公式、正割二倍角公式及余割二倍角公式。正弦二倍角公式和余弦二倍角公式对任意角均成立，其他形式的二倍角公式的α取值需使等式两边同时有意义。[5]
公元前2世纪，喜帕恰斯（Hipparchus,(R)）在对三角学的研究中发现了和差角公式，其后由托勒密（Ptolemy）明确给出。公元980年和1150年左右，阿布·瓦法（Abul-Wefa）和婆什伽罗第二（BhāskaraⅡ）也都分别提出过类似的公式。约翰第一·伯努利（Johann Bernoulli）给出了两角和差的全部三角公式。二倍角公式作为和角公式的一种特殊形式，被应用至今。[6][5]
二倍角公式可由两角和的公式推导得出，并可推广到三倍角公式及多倍角公式。与二倍角公式有关的还有降幂公式和半角公式。[5]二倍角公式可应用在大地测量学[2]、光学[3]、地震学[4]等领域，例如，二倍角公式可应用在子午线弧长正反解过程中，提高计算效率。[2]
公式内容
正弦二倍角公式和余弦二倍角公式对任意角均成立，其他形式的二倍角公式的取值需使等式两边同时有意义。[5]
正弦二倍角公式：[5]；
余弦二倍角公式：[5]；
正切二倍角公式：[5]（且，）[7]；
余切二倍角公式：[8]（且 ，）[5]；
正割二倍角公式：（，）；[5]
余割二倍角公式：（，）。[5]
简史
二倍角公式是三角学中古老的定理之一，起源于和差角公式的发现。古代埃及人和希腊人在生活和生产实践中，已经认识到了三角形各个元素具有的各种关系。公元前2世纪，希腊罗德岛的喜帕恰斯（Hipparchus,(R)）曾作出第一个与目前使用的三角函数表相仿的弦表，揭示了圆弧与圆弦在量值上的对应关系。他在对三角学的研究中发现了和差角公式，其后由托勒密（Ptolemy）明确给出。公元980年和1150年左右，阿布·瓦法（Abul-Wefa）和婆什伽罗第二（BhāskaraⅡ）也都分别提出过类似的公式。约翰第一·伯努利（Johann Bernoulli）给出了两角和差的全部三角公式。二倍角公式作为和角公式的一种特殊形式，被应用至今。[6][5]
证明
正弦形式
在两角和的正弦公式里，设，就得到二倍角的正弦公式：
。[9][10]
余弦形式
在两角和的余弦公式里，设，就得到二倍角的余弦公式：
[9][10]
正切形式
在两角和的正切公式里，设，就得到二倍角的正切公式：
。[9][10]
上述等式需同时满足、有意义且，可求得定义域为且，。[7]
余切形式
在两角和的余切公式里，设，就得到二倍角的余切公式：
。[7][5]
上述等式需同时满足、有意义且，可求得定义域为且，。[5]
正割形式
由余弦二倍角公式可推导出正割二倍角公式：[5]
形式一：
其中最后一步等式的分子替换可利用推导得出：[5]
即由，即。[5]
上述等式需同时满足、、有意义，且，可求得定义域为，。[5]
形式二
上述等式需同时满足、、有意义，且，可求得定义域为，。[5]
余割形式
降幂公式
[5]；
[5]。
半角公式
；[5]
；[5]
。[5]
根号前的正负号依所在的象限而定。[5]
应用例题
例1 已知且，求，，的值。[10]
解：因为，且在第四象限，所以：
，
，
，
从而：
，
。[10]
例2 用二倍角公式求下列各式的值：[11]
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
解:
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。[11]
例3 求证。[12]
证明：左边==右边。证毕。[12]
三倍角公式
；[5]
；[5]
。[5]
多倍角公式
[5]
[5]
大地测量学
二倍角公式可应用在子午线弧长正反解过程中。某学者为了分析不同表达式在计算效率方面的影响，给出了子午线弧长的3种表达形式，将其展开系数改写为第三扁率的表达形式，并对不同形式的子午线弧长的截断误差进行计算分析，选取合适的项数，给出展开式的实用公式。结果表明，基于表示的子午线弧长，其系数在分数形式上看起来位数更少，形式更简单，更便于推广使用；当正解精度为毫米时，展开式只需保留前4项即可满足精度，当反解精度为0.0001”时，展开式只需保留前4项即可满足精度；对于3种表达形式，二倍角形式计算效率最高。[2]
光学
二倍角公式可应用于光学领域。通过引入二倍角公式，可以改进传统的方位失调角传递方法，扩大基于正弦波磁光调制的方位传递系统的传递范围并提高传递精度。这一改进基于分析当前方位失调角传递原理，利用二倍角公式来扩大失调角的传递范围。仿真结果显示，失调角的理论传递范围明显扩大，精度较高。实际的失调角可在-64～64°传递，传递误差在10”以内。该方法可为大范围、高精度传递空间方位失调角提供参考。[3]
地震学
参考资料 12
- 参考 1
- 参考 2
- 参考 3
- 参考 4
- 参考 5
- History — Australian Government Department of Education,
- 参考 7
- 参考 9
- 参考 10
- 参考 11
- 参考 12