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圆锥曲线是指由圆锥与平面相交所产生的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。[3]
圆锥曲线经历了论证几何、解析几何、射影理论、线代理论等多方面的研究，形成了多种定义。目前使用的主要是第一定义和第二定义（统一定义）。[3]
根据统一定义有，给定离心率（动点P到定点与定直线的距离之比），当时，曲线轨迹为椭圆；时，轨迹为抛物线；时，轨迹为双曲线。[5]
圆锥曲线应用广泛。宇宙中天体的运动轨迹是圆锥曲线，根据圆锥曲线性质可推算天体运动。每种圆锥曲线拥有独特的光学性质，应用于探照灯、手电筒等器件的设计中。圆锥曲线还可用于机械零件设计和位置定位等。[4][6][7][8]
古代起源
圆锥曲线的发现和研究可能源于制作日晷的工作过程。在机械钟表发明之前, 人们通过测量同一物体在阳光下影子的变化来确定太阳的运行情况, 从而得到精确的时间，并根据这一原理制作出日晷。圆锥曲线起源的另一说法是在解著名的三大尺规作图问题 (化圆为方、倍立方和三等分角) 时发现的。[9]
公元前四世纪，古希腊几何学家梅内克繆斯（Menaechmus）最早给圆锥曲线命名，并利用抛物线解决了“立方倍积问题”。令一个平面垂直于顶角分别是锐角、直角和钝角的圆锥的母线，截得的边线即是圆锥曲线。[3]
阿波罗尼斯（Apollonius）第一个依据同一个圆锥的截面来研究圆锥曲线理论，也是首先发现双曲线有两支的人。其著作《圆锥曲线论》较系统地研究了圆锥曲线的性质。阿波罗尼斯从几何直观上给出了圆锥曲线静态的原始定义：用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。在《圆锥曲线论》中圆锥曲线也称为“圆锥截线”。严格来讲，得到的交线除了圆、椭圆、双曲线和抛物线外，还包括三种退化情形（一条直线、一个点和两条相交直线）。[2]
近代发现
直到16世纪，人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线，也是自然界物体运动的普遍形式。17世纪初，开普勒（Galilei Kepler）发现行星绕太阳运动轨迹是椭圆，伽利略（Galileo Galilei）确定抛物线轨道是抛物线等。[10]
解析几何
解析几何以论证几何为基础，利用坐标系通过“几何问题→代数问题→求解→反演”的方式将几何代数化，还可由已知的代数结果发现新的几何性质。解析几何的创始人笛卡儿和费马重现了圆锥曲线的理论，此后论证几何的研究方法被逐渐摈弃。[3]
沃利斯（John Wallis）在《论圆锥曲线》中，第一次用方程分别定义了椭圆、抛物线和双曲线。[11]
牛顿 （Newton） 在他所著的《光学》 (1704) 中推证了圆锥曲线的切线和曲率问题及其在光学中的应用。[3]
洛必达在他的《圆锥曲线解析论》（1720） 中采用第一定义推导出椭圆的标准方程，同时也给出了焦点-准线定义及其统一方程。[12]
1745年欧拉发表《分析引论》，给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述：在笛卡尔平面上，二元二次方程的图象是圆锥曲线，这个二次方程包含了圆、椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形。欧拉还建立极坐标系等坐标系，并研究圆锥曲线在各坐标系间的转换，引进了曲线的参数方程。[3]
射影几何
射影几何与解析几何几乎同一时期产生，射影几何研究几何图形在投影变换下保持不变的性质。[3]
创立者德萨格（Desargues）首先将射影几何思想用于研究圆锥曲线，考察它的射影性质，使圆锥曲线理论获得了新发展。他在其著作《试论锥面截一平面所得结果的初稿》中将圆锥曲线直观定义为圆在平面上的投影，由此将圆的性质推到任一类圆锥曲线上。德萨格通过投影和截景提供了统一处理圆锥曲线的简便方法。[13]
早期的射影几何学家追求纯粹的综合法处理问题，解析几何的发展促使后来的数学家用代数的方法研究这一学科，获得了许多新的圆锥曲线射影性质。沿着这一方向人们开始寻求几何图形在不同坐标系下保持不变的那些性质并促成了对代数不变量的研究，这属于代数几何的范畴。[3]
线性代数
线性代数产生于17、18世纪，在19世纪获得辉煌成就。它通过向量、矩阵和行列式大大简化了几何的证明和计算，使得许多几何内容被包含在其中。简言之，几何所研究的只是在线性变换下仍保持不变的坐标之间的关系, 即线性变换的不变量理论。线性代数中的重要内容——二次型理论就是研究线性空间中的几何图形在不同坐标基下的矩阵表示。[3]
1826年柯西在其著作中给出结论：当方程是标准型（只含平方项）时，二次曲线（面）用二次项的符号来进行分类。西尔维斯特在1852年给出了n个变量的二次型的惯性定律。该定律说明方程通过不同变换化简成标准型时总是得到同样数目的正项和负项，即保持惯性指数不变。[3]
定义
一个平面与圆锥面相交，也可以说是“用一个平面去截圆锥面”，这个平面就称为截平面，它们的交线又称为截线。用一个平面去截一个圆锥面，所得截线的形态与截平面的位置有关。[14]
从欧氏几何到解析几何，再到射影几何和线性代数中的二次型理论，圆锥曲线的定义经历了原始定义、平面上动点的轨迹定义、射影定义、标准方程定义、焦点-准线定义、代数方程的统一定义以及通过二次型的惯性指数进行分类研究的变化过程。[3]
圆锥曲线的表述方式也经历了由几何静态的直观描述→几何动态的度量性质描述→射影性质的描述→代数方程的形式描述的变化过程。而研究方法从欧氏几何的纯几何综合法→射影几何的方法→以坐标为媒介的解析法→线性代数二次型的正交变换法，经历了由繁到简，定性研究到定量研究，再到形式研究的变化。[3]
目前主要的有第一定义（椭圆和双曲线拥有）和第二定义。[15]
第一定义
第一定义分别对不同的圆锥曲线进行了描述。[15]
（1）椭圆：平面内与两个定点F1、F2距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。[15]（2）双曲线：平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值为常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。这两定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。[15]第二定义（统一定义）
圆锥曲线的第二定义也称为统一定义。[3]
给定一点O，一直线l以及一非负实常数，则到O的距离与l距离之比为e的动点P的轨迹是圆锥曲线。称为离心率，显然，而圆锥曲线的轨迹与性质随的变化而变化：[5]
统一方程
以焦点O为原点，过O与相应准线l垂直的直线为x轴，建立直角坐标系（如右图）。设圆锥曲线离心率为，O到准线l的距离为，则准线方程为。由圆锥曲线统一定义得曲线方程：[5]
在直角坐标系中，四种曲线都是一元二次方程，所以又称二次曲线。其一般二次曲线方程为：[5]
下面讨论曲线方程的分类。设：
其中，当时，曲线为椭圆形；当时，曲线为双曲线形；当时，曲线为抛物线形。根据判别式的不同，还包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形。详见下表：[5]
圆锥曲线在极坐标系等其他坐标系下也存在统一方程，可以通过其他坐标系与直角坐标系间的坐标转换推得。[5]
性质
射影几何的观点认为椭圆、抛物线和双曲线与无穷远直线分别有零个交点、一个交点和两个交点”及“双曲线、椭圆各有唯一中心且为有穷远点，而抛物线的中心为无穷远点，由此得到三种曲线的互变规律。因此，如果在一种曲线上存在某一性质，那么根据演变规律，能够找到它们在另外两种曲线上的相关性质。以下讨论圆锥曲线的共同性质与不同性质。[16]
共同性质
（1）焦点弦中点到焦点相应准线的距离性质：
设AB是离心率为的圆锥曲线的焦点弦，若弦长，则AB中点M到焦点相应准线的距离。[17]
（2）线段关系式取最小值性质：
设圆锥曲线C的离心率为，焦点F对应的准线为l，A为C内一定点，P为C上一动点，点A到准线l的距离为，则的最小值为。[17]
（3）焦点弦被焦点所分两段长的倒数和性质：
设AB为过圆锥曲线的一个焦点F的一条弦，为F到其相应准线的距离，为圆锥曲线的离心率，则。[17]
（4）焦点弦及其中垂线性质：
圆锥曲线C的离心率为，AB为过焦点F而不垂直于曲线C的对称轴的弦，且线段AB的中垂线交曲线C过焦点的对称轴于R，则。[17]
（5）四点共圆性质：
AB为过圆锥曲线C的焦点F的弦，AB的中垂线交曲线C过焦点的对称轴于R，直线RF交曲线C的焦点F相应的准线于点K，则A、K、B、R四点共圆。[17]
椭圆
平面内到两个定点F1、F2距离之和等于常数2a（2a＞｜F1F2｜）的动点P的轨迹叫做椭圆，即｜PF1｜+｜PF2｜=2a。椭圆有以下性质：[5]
| 定义 | ||
| 图形 |  |  |
| 方程 | ||
| 焦点 | ||
| 范围 | ， | ， |
| 对称性 | 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 | |
| 顶点坐标 | ， ， | ， ， |
| 焦点坐标 | ， | ， |
| a，b，c关系及几何意义 |  | |
| 离心率 | ||
| 通径 | （过焦点且与长轴垂直的弦AB被称为椭圆的通径） | |
| 焦准距 | (焦点F到相应准线的距离) | |
| 焦半径 | ， （设点P（x,y）为椭圆上任意一点，得其焦半径、） | |
| 弦长 | （设P1（x1，y1）P2（x2，y2）为弦的两个端点，直线P1P2斜率为k） | |
| 切线方程 | ||
| 光学性质 | 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上 |  |
| 参考来源：[5] | ||
双曲线
抛物线
平面上到一个定点F与到一条定直线l（定点不在定直线上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。抛物线有以下性质：[5]
| 标准方程 | ||||
| 图形 |  |  |  |  |
| 顶点 | ||||
| 焦点 | ||||
| 对称轴 | x轴 | y轴 | ||
| 准线 | ||||
| 离心率 | ||||
| 通径 | （过焦点与对称轴垂直的弦AB被称为双曲线的通径） | |||
| 焦准距 | （焦点F到相应准线的距离） | |||
| 弦长 | 与椭圆中的弦长公式相同 | |||
| 切线方程 | （抛物线上的一点P（x0，y0）处的切线方程） | |||
| 光学性质 | 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的对称轴 |  | ||
| 参考来源：[5] | ||||
坐标变换
在不同的坐标系下，曲线的方程具有不同的形式。坐标变换的中心问题就是探讨当坐标系变化时，曲线方程的变化规律。坐标变换中出现不变量，反映了曲线固有的（与坐标系的选择无关的）性质。因此，坐标变换的目的，一是简化曲线方程从而研究曲线性质，二是把特定坐标系中曲线方程的研究成果向一般的坐标系推广。[18]
坐标变换分两种情况：轴的平移（只改变原点位置而不改变轴的方向）和轴的旋转（只改变轴的方向而不改变原点位置）。[19]
掌握坐标变换要注意以下几点：[18]
（1）熟练掌握移轴化简二次方程的方法：待定系数法和配方法。[18]
待定系数法是将平移公式代入须化简的二次方程，消去一次项，确定、的值，之后化简二次方程，研究曲线性质。[18]
配方法是将二次方程配方，确定平移公式，之后化简方程，研究曲线性质。配方法较简便，但是需要不断思考。[18]
（2）会用坐标平移求非标准位置的二次曲线方程，可结合待定系数法使用。[18]
（3）掌握对称轴平行于坐标轴的圆锥曲线的方程与性质。对称轴平行于坐标轴，中心（抛物线为顶点）在的圆锥曲线一般形式为：[18]
圆：
椭圆：
双曲线：
抛物线：
其中，，，。从变量代换角度看，将、看成标准方程中的、，结合原有标准方程的结论，可推导出坐标变换后曲线方程的性质。如中心在处椭圆焦点为F1、F2，准线为。[18]
（4）二元二次方程参数变化时能够进行分类讨论。[18]
轨迹问题
一个二元方程叫做曲线C的方程，必须具备两个条件：[18]
（1）曲线C上任意一点的坐标都是方程的解。[18]
（2）以方程的任意一组解为坐标的点都在曲线C上。[18]
由以上条件可知，圆锥曲线及其他曲线轨迹应具有完备性和纯粹性。完备性指求出的轨迹方程必须包含所有符合条件的点。纯粹性指轨迹方程不能包含不符合条件的点，防止扩大轨迹方程中变量的取值范围。求轨迹方程的常用方法包括：直接法、定义法、代入法（相关点法）、参数法、交轨法、代换法和极坐标法等。[18]
与直线位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系即为直线与圆锥曲线的公共点个数问题，实际也是直线与圆锥曲线组成的方程组是否有实数解和实数解个数的问题。直线与圆锥曲线位置关系分为相离、相切和相交。推导如下：[20]
设直线l：，圆锥曲线C：。联立并消去得方程，令，则[20]
（1）等价于l与C无公共点（相离）。[20]
（2）等价于l与C有一个公共点（相切）。[20]
（3）等价于l与C有两个公共点（相交）。[20]
二次曲面
二次曲面是三维欧几里得空间里坐标、、之间的二次方程（系数a、b、c等为实数，且二次项系数不全为零）表示的曲线。[21]
阿基米德、阿波罗尼斯、海伦等人研究过抛物镜面的反射问题，这是早期对一些特殊二次曲面的研究。部分特殊的二次曲面由圆锥曲线绕轴旋转而产生。[21]
1731年法国数学家克莱罗给出某些二次曲面的求积公式，并指出、、的齐次方程表示顶点在原点上的一个锥面。[21]
1748年欧拉在他的《无穷分析引论》中研究了三个变量的一般二次方程，得到六种二次曲面：锥面、柱面、椭球面、单叶和双叶双曲面、双曲抛物面以及抛物柱面。他主张按方程的次数将二次曲面分类，认为次数是线性变换下的不变量。[21]
1842年瑞士数学家施泰纳用射影几何构造了直纹二次曲面理论。时至今日，二次曲面理论成为解析几何学的重要组成部分。[21]
圆锥曲线绕轴旋转所得部分曲面如下表：[22]
蝴蝶问题
蝴蝶定理（Butterfly Theorem）是古典欧氏平面几何的最精彩的结论之一。这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形像一只蝴蝶。2001、2003、2010年高考曾多次以蝴蝶问题为背景命题。[23]
天文物体运动
宇宙中天体的运动轨迹是圆锥曲线。行星绕太阳运动轨道是椭圆，彗星运动轨道分为椭圆、双曲线和抛物线三种。[8]
对于宇宙飞船，其飞行速度等于第一宇宙速度时轨道是一个圆，介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间时轨道是椭圆。等于第二宇宙速度时是抛物线，大于第二宇宙速度时是双曲线的一支。根据圆锥曲线性质即可推算天体或飞船的运动轨迹。[8]
光学性质应用
在光学上，如果把光源放在抛物镜的焦点F处，那么射出的光线经抛物镜反射即可变成平行的光线。汽车前照灯、探照灯、手电筒就是根据这一原理设计。根据光路可逆性，平行光经抛物线反射后集中于焦点，太阳灶由此设计而来。[8]
从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆反射后会交于另一个焦点上。电影放映机聚光灯泡反射镜面的部分曲面由椭圆绕长轴旋转而成，可以使片门处获得最强光线。[8]
从双曲线的一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线反向延长将汇聚到另一焦点上。双曲线的应用包含双曲线型反射镜面灯泡等。[8]
生产生活应用
参考资料 23
- 圆锥曲线 — 术语在线
- 参考 2
- 参考 3
- 参考 4
- 参考 5
- 参考 6
- 参考 7
- 参考 8
- 参考 9
- 参考 10
- 参考 11
- 参考 12
- 参考 13
- 参考 14
- 参考 15
- 参考 16
- 参考 17
- 参考 18
- 参考 19
- 参考 20
- 参考 21
- 参考 22
- 参考 23