蝴蝶定理

1815年W.G.霍纳证明的定理

蝴蝶定理

蝴蝶定理（英文：Butterfly Theorem），是一道著名的平面几何题目，因为定理的几何图形形状像蝴蝶，所以用蝴蝶来命名。蝴蝶定理的几何表述为：设是过圆的任意一条弦的中点，是过点的两条弦，连接分别交于两点，那么有[1][5]蝴蝶定理的历史由来已久，早在公元约1247年，中国数学家秦九韶（1202-1261）所完成的《数书九章》中，就已经对蝴蝶定理命题的证明方法有所陈述。[6][7]蝴蝶定理作为一个征求初等几何学证明的问题，最早是刊登于1815年英国伦敦出版的数学科普刊物《先生日记》上，同时刊登了蝴蝶定理的两个证明，第一个是英国著名的数学家W.G.霍纳（英文：W.G. Horer 1786-1837）的解法，另一个解法由英国数学家泰勒（英文：Richard Taylor）给出。[1][5][8]后来，蝴蝶定理出现了许多的证明方法，如梅涅劳斯证法[4][8]、斯特温面积证法[4]、射影几何证法[5]和解析几何证法[9][10]等。

蝴蝶定理（英文：Butterfly Theorem），是一道著名的平面几何题目，因为定理的几何图形形状像蝴蝶，所以用蝴蝶来命名。蝴蝶定理的几何表述为：设是过圆的任意一条弦的中点，是过点的两条弦，连接分别交于两点，那么有[2][6]

蝴蝶定理的历史由来已久，早在公元约1247年，中国数学家秦九韶（1202-1261）所完成的《数书九章》中，就已经对蝴蝶定理命题的证明方法有所陈述。[7][8]蝴蝶定理作为一个征求初等几何学证明的问题，最早是刊登于1815年英国伦敦出版的数学科普刊物《先生日记》上，同时刊登了蝴蝶定理的两个证明，第一个是英国著名的数学家W.G.霍纳（英文：W.G. Horer 1786-1837）的解法，另一个解法由英国数学家泰勒（英文：Richard Taylor）给出。[2][6][9]后来，蝴蝶定理出现了许多的证明方法，如梅涅劳斯证法[5][9]、斯特温面积证法[5]、射影几何证法[6]和解析几何证法[10][11]等。

蝴蝶定理在圆外[3]、直线对上[11]、四边形[12]和圆锥曲线中也同样成立，[13][14]此外，将它推广到维欧式空间，对于二次曲面，结论依然有效。[15]它还可以使复杂问题简单化，应用于平面几何和解析几何等各种问题的求解中。[3][4]

定义

定义：如图1，是过圆的任意一条弦的中点，和是过点的两条弦，连接分别交于两点，则[2][6]

图1
图1

简史

蝴蝶定理的历史由来已久，是几何学史中一个有名的定理。早在公元约1247年，中国数学家秦九韶所完成的《数书九章》中，就已经有叙述蝴蝶定理命题的证明方法。[7][8]蝴蝶定理作为一个征求初等几何学证明的问题，最早是刊登于1815年英国伦敦出版的数学科普刊物《先生日记》上，同时刊登了蝴蝶定理的两个证明，第一个是英国数学家霍纳的解法，另一个解法由英国数学家泰勒给出。[2][6][9]而蝴蝶定理这一名称首次是出现在《美国数学月刊》1944 年2月发表的问题解答中，因为问题的图示形状与蝴蝶的翅膀相似，所以命名为蝴蝶定理，随后这个名称被一直保持下来。[16]

大自然中美丽的蝴蝶
大自然中美丽的蝴蝶

霍纳证法

如图，作于于。连接，则分别为弦的中点。[5]

易知为这两个相似三角形对应边上的中线，所以，则

又四点共圆，四点共圆，有

由此得，所以[5]

蝴蝶定理（霍纳证法）
蝴蝶定理（霍纳证法）

泰勒证法

如图，过作圆与原圆交于点。连接交大圆于。因为，所以[5]

因为，，因此等于

于是，所以

由于在的垂直平分线上，得

连接，由

可知，则

所以，由，得证[5]

蝴蝶定理（泰勒证法）
蝴蝶定理（泰勒证法）

梅涅劳斯定理证法

如图，考虑被直线所截，有[5][9]

考虑被直线所截，有

相乘可得

由梅涅劳斯定理，有，所以

即

于是

则

所以，因此有[5][9]

蝴蝶定理（梅涅劳斯定理证法）
蝴蝶定理（梅涅劳斯定理证法）

斯特温面积证法

设，又设的面积为

，而，则有

[5]

即

可得

由相交弦定理有：[注1][17]

所以有

即，因为都为正，所以，即[5]

蝴蝶定理（斯特温面积证法）
蝴蝶定理（斯特温面积证法）

射影几何证法

线束的交比：设是圆周上四个定点，为圆周上任意一点，则是常数，即为直线

的交比。[18]

如图，

由得，[6]

蝴蝶定理（射影几何证法）
蝴蝶定理（射影几何证法）

解析几何

证明：如图，取为原点，弦为轴，视圆为单位圆，建立直角坐标系，各有关点坐标记为各自斜率为，则圆方程为，直线的方程为，直线的方程为[10][11]

将两直线方程分别代入圆方程可得

设与圆交点坐标为，同理设与圆交点坐标为，其横坐标各应满足与

从及韦达定理有[注2][19]

，可得

由于共线，得

由共线，同样可得

由式变形得

比较式可得，即[10][11]

蝴蝶定理（解析几何证法）
蝴蝶定理（解析几何证法）

坎迪定理

过圆弦上任意一点，作两条弦。连接如果它们与分别交于，且，则[11][20]

该定理的证明方法与蝴蝶定理的斯特温证法类似，运用了三角形的面积公式和相交弦定理的方法，并可得出蝴蝶定理是坎迪定理的一种特殊情况，即将定理条件改为，可得出[11]

坎迪定理图示
坎迪定理图示

梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理：设分别是的三边或其延长线上的点，若三点共线，则[注3][21]

梅涅劳斯定理在内容和证明方法上有着对称性，统一性的数学美，定理的结论是三个有向线段分比的连乘积。通过梅涅劳斯定理可以证明蝴蝶定理。[5][11][22]

角元形式的梅涅劳斯定理
角元形式的梅涅劳斯定理

牛顿定理

圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形的对角线的交点重合。[23]

在射影平面上，牛顿定理与蝴蝶定理的一个射影变形是等价的。[24]

牛顿定理图示
牛顿定理图示

圆外蝴蝶定理

如图，是圆外一直线，且，是垂足，直线上有，过分别向圆作割线，联结并延长分别交于，则[3]

圆外蝴蝶定理
圆外蝴蝶定理

直线对上的蝴蝶定理

如图，若过两直线间的线段的中点，任引两直线间的两条线段和，点在同一直线上。

连接分别交于，则[11]

直线对上的蝴蝶定理
直线对上的蝴蝶定理

四边形蝴蝶定理

已知四边形的对角线经过另一对角线的中点。过作两直线分别与交于

，与交于。连接分别与交于，那么有[12][25]

四边形蝴蝶定理
四边形蝴蝶定理

圆锥曲线的蝴蝶定理

如果将圆经过压缩变换变为椭圆，圆中的蝴蝶定理在椭圆中仍然成立。[10][11][26][27]

如下图3，由蝴蝶定理可知

如下图4，假设过四点的任一条非退化的二次曲线（例如：椭圆、抛物线和双曲线）与直线分别交于，由蝴蝶定理可知[26][27]

图3 图4
图3 图4

如果不是圆锥曲线中的椭圆，应用仿射变换同样可以证明椭圆中的蝴蝶定理成立。[14]

如图5，任一条非退化的二次曲线的弦的中点为，过任作两条直线与二次曲线交于 四点。过四点的任一条二次曲线与直线分别相交于

则有[13][26][28]

图5
图5

椭圆中的蝴蝶定理可以推广至任意圆锥曲线：设为圆锥曲线的弦的中点，过任作两弦，过的任一圆锥曲线与交于，则[29]

推论图示
推论图示

相关推广

蝴蝶定理的新的推广形式与新的证明方法，一直倍受关注，利用距离几何方法将蝴蝶定理推广到维空间，对于一般二次超曲面，定理仍然成立。[15]

在实维欧氏空间，设为任一点的坐标向量，其中表转置。

为阶实对称矩阵，为常向量，为实数。则一般二次超曲面可记为

，其中

且阶实对称矩阵的秩大于

又设为中过点的超弦。若超直线分别交（或其延长线）于点与，则称为内接于的过点的蝶片。

再设为中的个点，坐标向量分别为且仿射无关，即线性无关，则闭凸包称为中维单形，

称为单形的顶点集；

类似地，称为的维子单形。[15]

高维蝴蝶定理：

设是维欧氏空间中的二次超曲面，为内接于的过点的蝶片且时，。若，则，且当诸蝶片不共维超平面时，有维子单形与的体积相等。[15]

推论

设维超平面截二次超曲面所得的超曲面具有对称中心，是中过的超弦，且设与的交点为，

则[15]

平面几何

四边形蝴蝶定理的应用

如图7，三点在同一条直线上，线段与平行四边形的边交于点，如果的面积为平方厘米，求的面积。[30]

解：连接，因为，由梯形蝴蝶定理可得

又因为，可得[30]

图7
图7

解析几何

蝴蝶定理在解圆锥曲线题中的应用

如图6，已知椭圆 ，点分别为椭圆的左、右顶点，点为椭圆的上顶点，点为椭圆的左焦点。设过点的动直线交椭圆于两点，点在轴上方。点分别为直线与轴的交点，求的值。[4]

解：过点作直线垂直轴交椭圆于两点，交直线于点，交直线于点

设直线的方程为

由，即题意所求值转化为

由椭圆上的蝴蝶定理可知：

1.当直线的斜率不存在时，由，

得

2.当直线的斜率存在时，设直线的解析式为，

则，联立方程和，

得，由韦达定理可知

因为 在椭圆上，所以，

得

上两式可解得，所以

综上所述，[4]

图6
图6

参考资料 30

  1. 参考 1
  2. 参考 2
  3. 参考 3
  4. 参考 4
  5. 参考 5
  6. 参考 6
  7. 参考 7
  8. 参考 8
  9. 参考 9
  10. 参考 10
  11. 参考 11
  12. 参考 12
  13. 参考 13
  14. 参考 14
  15. 参考 15
  16. 参考 16
  17. 参考 17
  18. 参考 18
  19. 参考 19
  20. 参考 20
  21. 参考 21
  22. 参考 22
  23. 参考 23
  24. 参考 24
  25. 参考 25
  26. 参考 26
  27. 参考 27
  28. 参考 28
  29. 参考 29
  30. 参考 30

注释

  1. 相交弦定理：圆内相交两弦，一条弦被交点所分成两线段的乘积必等于另一条弦被交点所分成两线段的乘积。
  2. 韦达定理：一元二次方程的两个根的和，等于它的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两个根的积，等于它的常数项除以二次项系数所得的商。
  3. 考虑线段的有向性，所以值为负数。
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