对称矩阵

对称矩阵（英文：Symmetric Matrices）简称对称阵，是指数域中满足矩阵A与其转置矩阵A'相等的n阶方阵。对称矩阵可分为实对称矩阵和反对称矩阵等。^[1][2][9]

代数在欧几里得（希腊文：Ευκλειδης）的《几何原本》中便已基本形成。而矩阵和行列式都起源于线性方程组，此后又独立出来独自发展。矩阵一词由英国数学家西尔维斯特（英文：Sylveter）在1850年首先提出，该词源于拉丁语，意为“一排数”。此后，矩阵理论得到迅速发展，英国数学家凯莱（英文：Cayley A.）定义了对称阵、转置阵等概念。之后克莱伯施（德文：Clebsch）、布克海姆（德文：Buchheim）等证明了对称矩阵的特征根性质。^[3][10][11]

对称矩阵具有以下性质：对称矩阵的和、差仍为对称矩阵；数与对称矩阵的积为对称矩阵等。^[7][8]与对称矩阵相关的概念有正方矩阵、埃尔米矩阵等。另外，在复数域上加以推广，能得到相应的复对称矩阵，它与实对称矩阵有不同的性质。^[9][12][13]对称矩阵在图书情报、经济学、地理学领域有广泛运用。例如：在经济规律建立数学模型中状态空间模型时，就运用到了对称模型。^[4][5][6]

给定域中个数，其中将它们排成矩形表，称为矩阵，记作，其中称为矩阵第行第列的元素，简称为矩阵的元。^[1][14]

一般情况下，我们用大写字母表示矩阵，为了表明矩阵的行数和列数，可用表示，或记作或.^[1]

数域上满足^[注1]，即 ，的阶方阵称为对称矩阵，简称对称阵。^[1][2][15]

中国古籍《九章算术》一书中就存在类似矩阵的概念。矩阵一词由英国数学家西尔维斯特（Sylveter）在1850年首先提出，该词源于拉丁语，意为“一排数”。由于有行列式的成果作为基础，因此在1850年前后，矩阵理论得到迅速发展。英国数学家凯莱（Cayley）是矩阵论的创立者，他在1858年发表的《《矩阵论的研究报告》中定义了对称矩阵的概念。克莱伯施（德文：Clebsch）、布克海姆（德文：Buchheim）等证明了对称矩阵的特征根性质。十九世纪末，德国数学家弗罗贝尼乌斯（德语：Frobenius）得到了对称矩阵可用合同变换化为同秩的对角矩阵的结果。^[3][10][11]

设矩阵为对称矩阵，对称矩阵具有以下性质^[7][8]：

对称矩阵的元素满足：；对称矩阵的和、差仍为对称矩阵；数与对称矩阵的积为对称矩阵；

注意：两个对称矩阵的乘积不--定是对称矩阵。例如，对称矩阵

与

的乘积却不是对称矩阵。^[7][8]

实对称矩阵（real symmetric matrix） 一种对称矩阵。指欧氏空间的对称变换在标准正交基下的矩阵。即元素全是实数的对称矩阵。^[2]

反对称矩阵（Skew-symmetric matrix），一个矩阵如果满足，那么称是反对称矩阵。为满足反对称性，主对角线上的元素必定等于零，即反对称矩阵的元素具有形式：.^[9]

当阶实矩阵满足，称为对称矩阵；满足时，称为反对称矩阵，有以下性质^[12]：

对（全体阶矩阵的集合），则为对称矩阵。而为反对称矩阵；可逆实对称矩阵A的逆矩阵亦是实对称阵。即当;实对称矩阵的特征值为实数（更一般地厄尔密特矩阵的特征值为实数）；任意实对称矩阵，一定存在一个正交矩阵使得任一对称矩阵为对角阵，更一般地：恒可等同于某一对角矩阵；两对称矩阵的乘积为对称矩阵的充要条件是这两矩阵可交换；两反对称矩阵的积是对称矩阵的充分必要条件是这两矩阵可交换；两反对称矩阵的积是反对称矩阵的充要条件是；任意一个方阵都可分解为一个对称与一个反对称矩阵之和。即；如果为可逆的反对称矩阵，则也为反对称矩阵，不存在奇数阶的可逆反对称矩阵；如果为阶矩阵，则

1） 是反对称矩阵的充要条件是，有

2）是对称矩阵，且对，有那么^[12]

又称交叉对称矩阵或斜对称矩阵，有时也简称为矩阵，定义为^[9]

如果阶矩阵是对称的并且是次对称^[注2]的，则一定是中心对称的。^[16]

主对角线以外的元素全为零的阶方阵称为对角矩阵即.^[17]

对角矩阵都是对称矩阵。^[13]

设为阶方阵，如果存在数和维非零列向量，使得成立，则数称为方阵的特征向量，非零列向量称为对应于特征值的特征向量。^[18]对于实对称矩阵特征值，有以下定理^[15]：

实对称矩阵的特征值都是实数。^[15]

证明：设为实对称矩阵，为在复数域上的任一特征值，我们只需证明，其中是的共轭复数。是属于的特征向量，故有，两端取共轭，有，由共轭复数的运算性质知。两端取转置得。

注意到和，上式成为

两端右乘，得

所以

又因为，故有

从而有，即是实数。^[15]

实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的。^[15]

证明：设是的不同特征值，分别为的属于特征值的特征向量。于是

在上面第一式两边左乘，得

注意到

由于，所以，即正交。^[15]

设阶方阵为对称矩阵，则存在阶正交矩阵^[注3]，使为对角阵^[15]

证明：对矩阵的阶数使用数学归纳法。

当时，一阶矩阵已是对角矩阵，结论显然成立。

假设对任意的阶实对称矩阵，结论成立。下面证明：对阶实对称矩阵，结论也成立。

设是的一个特征值，是的属于的一个实特征向量。由于也是的属于的特征向量，故不妨设是单位向量。记是以为第一列的任一阶正交矩阵，把分块为，其中为矩阵，则

注意到及与的各列向量都正交，所以

其中，为阶实对称矩阵，根据归纳法假设，对于，存在阶正交矩阵，使得

令，不难验证仍是正交矩阵，并且

记，则上面的结果表明为对角矩阵，由数学归纳法原理，对任意的阶实对称矩阵，定理的结论成立。^[15]

简称方阵，对于矩阵或，当时，则称为上的阶方阵。^[19]任意一个方阵都可分解为一个对称与一个反对称矩阵之和。^[12]

一个正方矩阵称为埃尔米矩阵，若，其中。换言之，埃尔米矩阵是一种复共轭对称函数。^[9]

形式地规定的一个平方根为，称为虚数单位。对实数，形如的数称为复数，全体复数组成的集合记为。^[20]对称矩阵亦可以推广到复数域中，即为复对称矩阵。^[21]

复对称矩阵（complex symmetric matrix），指的阶复矩阵，任何阶复矩阵相似于复对称矩阵。任何复对称矩阵正交相似于对称矩阵，称为复对称矩阵的标准形。^[21]

复对称矩阵与实对称矩阵的显著区别之一是不一定能对角化。如，矩阵是不可能对角化的。事实上，如果存在非奇异矩阵^[注4]和对角矩阵，使得，那么，推出，从而矛盾。^[23]

针对图书馆读者借阅行为数据利用率低、对读者图书借阅行为分析不准确的问题，采用基于相似系数矩阵的聚类算法，对图书馆读者借阅行为实施分析，采用Jaccard相似系数度量高维度图书馆读者借阅数据的相似度，对高维度读者借阅数据进行聚类分析，解决图书馆读者借阅数据维度高的问题。构建聚类算法时塑造了新的对称矩阵，当新的对称矩阵中的所有元素都大于初始阈值时，说明数据聚类过程结束，聚类算法的构建实现图书馆读者借阅行为数据的有效分类，针对读者设计个性化专属图书推荐服务。^[4]

作为描述经济规律的一种手段，数学模型有助于寻求对系统进行预测或最优控制方案。数学模型就是描述经济系统的特性和基本变化规律的数学表达式。在建立数学模型中状态空间模型时，其一个特殊情况就运用到了对称模型。^[5]

测绘工作中广泛存在着规模相当庞大的对称矩阵。上世纪50年代，摄影测量领域就有人提出解析空中三角测量，尤其是光束法区域网解析空中三角测量，其整体平差计算量极大，其改化后的法方程系数矩阵达阶数量级，是一直受人关注的甚大规模对称矩阵。近年来辅助空中三角测量技术得到了长足发展，这些发展对甚大规模对称矩阵的运算和管理提出了更的要求。^[6]