因式分解

多项式的因式分解（英文：factorization），是将多项式（整式）分解为若干个整式的乘积的形式，它是代数学的基本课题，在求解广泛类型的方程、不等式和方程组等应用中具有重要的作用。^[1][6][7][8]

多项式的因式分解是一种重要的恒等变形，通过多项式的因式分解，可以将一个复杂的多项式化成几个简单的组成成分，从而将比较复杂的问题化成比较简单的问题。^[7][9][10]

古希腊时期，人们就已经开始研究因式分解，并利用它来解决实际问题。例如，欧几里得（英文：Euclid）在其著作《图形的分割》 中, 运用因式分解, 从几何学的角度研究了三角形和四边形的面积关系。^[3]

在上图中,左半图是一个底边长为 2 , 高为 3 的三角形，右半图是一个边长为 2 的正方形减去一个边长为 1 的正方形剩下的图形，这两个图形面积是相等的，其原理可以从平方差公式来解释。^[3]此外，欧几里得还研究了质数的问题，他使用反证法证明了质数的个数是无限的。^[2]

公元9世纪，波斯数学家阿尔·花拉子密（英文：Al - Khwarizmi）在研究一次方程的求解时也运用到因式分解 。他在其著作《代数学》(Ilm al-jabr wa'lmukabala)中提出使用合并同类项的方法简化一次方程的求解。^[4][11]

近代以来，求解代数方程及求其根的分布是古典代数学研究的核心问题。让代数方程的求解更加简便，成为人们深入研究因式分解的初衷。1605年，法国数学家弗朗索瓦·韦达（法文：François Viète）在其著作中《论方程的整理和修改》（De aequationum recognitione etemendatione）中, 首先给出代数方程的多项式因式分解方法, 并证得所有三次和三次以上的一元 多项式在实数范围内皆可因式分解。^[5]

1629年，荷兰数学家阿尔伯特∙吉拉德(英文：Albert Girard) 在其发表的论文《代数中的新发现》中提出：“n次多项式有n个根”，这被称为代数的基本定理。之后，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（英文：Leonhard Euler） 、德国数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯 (英文：Johann Carl Friedrich Gauss）先后对该定理进行研究并给出证明。 运用代数定理可以将每个次数高于1的复系数多项式在复数域上唯一地分解成一次因式的乘积。^[5]

1631年，英国数学家托马斯·哈里奥特（英语：Thomas Harriot）在其出版的《实用分析术》(Artis Analyticae Praxis) 中讨论了应用因式分解法求解代数方程。具体来说，若，则， 从而；也就是说，是方程的一个根。^[5]

1637年，勒内·笛卡尔（法文：René Descartes）在其《几何学》中，首次使用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解，并最早给出因式分解定理。现今待定系数法已成为多项式因式分解的有力工具。^[5]

因式分解是对多项式的一种变形，是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式。对多项式进行因式分解是一种基本的技巧，在求解广泛类型的方程、不等式和方程组等应用中具有重要的作用。例如，在求解二次方程中，因式分解是非常重要的手段。^[7][8]

因式分解是整式乘法的逆运算，以下面的平方差恒等式为例，由左向右为整式乘法，而从右向左即为对右端多项式的因式分解。^[6]

从定义可以看到，因式分解的对象为多项式，因式分解的结果必须是整式的积的形式，否则不能称为因式分解。^[6]

因式分解的结果与数域密切相关，例如，在实数域和复数域对多项式会得到不同的结果。^[12]

（实数域）

（复数域）

提取公因式法、运用公式法和分组分解法是对多项式进行因式分解的三种基本方法，除此之外，针对特殊类型的多项式，还有十字相乘法等方法。^[9]

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法称为提取公因式法。提公因式法是最基本的一种方法，形式为：^[13][9]

在运用提取公因式法时，最好找到各项的最高公因式，即次数最高和系数最大的公因式，如果系数存在非整数，则仅考虑提取系数最大的公因式。例如，多项式各项的最高公因式为，则提取公因式后的因式分解结果为：^[13]

根据因式分解的意义，运用常见的乘法公式的逆运算，可以很方便对某些多项式分解因式。这种分解因式的方法称为运用公式法。^[9]

例如，运用完全平方公式可以对以下多项式进行因式分解。^[14]

当一个多项式的各项没有公因式时，可以把该多项式的各项适当分组，从而使这个多项式得以分解，这种方法称为称为分组分解法，其基本原则是每个分组中存在公因式，选取的公因式不同，分组结果也有所区别。^[9][15]

例如，对进行因式分解。^[15]

如果选取作为公因式，则分解结果为：^[15]

如果以多个公因式来分组, 则分解结果为：^[15]

十字相乘法是对二次三项式分解因式最常用的方法，其形式为：^[9]

如果二次项系数能够分解成的乘积, 常数项能够分解成的乘积，并且按以下方法交叉相乘再相加后正好等于一次项系数 ，^[9]

即，那么：

^[9]

例如，对二次三项式进行因式分解。

二次项系数为6，常数项为-15，由于，将拆分项交叉相乘再相加恰好为常数项-1。^[9]

因此，该多项式的分解结果为：。^[9]

列出一个含有待定系数的恒等式，再利用多项式的恒等定理，比较恒等式两边各对应项的系数，求出待定系数的值，从而实现对原多项式因式分解的方法，称为待定系数法。^[16]

多项式的恒等定理的内容为：两个多项式恒成立当且仅当对应各项的系数相等，即：。

例如，应用待定系数法对进行因式分解。^[16]

原式为二次多项式，如果可以分解，则应该为两个一次因式，再根据两个二次项可以初步列出两个一次项分别为：和。^[16]

列出多项式恒等式：^[16]

将右侧展开：^[16]

根据多项式的恒等定理，可列出含待定系数的方程组：^[16]

解得

代回恒等式，即：^[16]

多项式的有理根指的是方程中在形式上可以表示为即约分数的的解，其中及均为整数， 且最大公约数为1。对于高于4次的有理数系数的方程，尽管没有一般的求根公式。但如果其系数均为有理数，且仅需要求出有理根，该问题的求解方法已经比较完善。^[17][18]

是数域上的两个多项式，如果既是的因式， 又是的因式，则称为与 的一个公因式。公因式的概念可以推广到有限多个多项式。^[19]

如果是与 的一个公因式，并且与的任意一个公因式均是的因式，则称是与 的最大公因式。最大公因式的概念同样可以推广到有限多个多项式。^[19]

是数域上的一个多项式，若在数域上只有平凡因式（非零常数以及本身的非零常数倍），称为数域上的不可约多项式，否则为可约多项式。从该定义可以看出，一个多项式是否可约，与定义的数域密切相关。例如，多项式在实数域是不可约的，但在复数域是可约的，即：。^[19][20]

一元n次多项式f(x)含有因式x-a的充分必要条件是f(a)=0，该定理被称为因式定理，这是笛卡儿在《几何学》一书中提出的。^[21]

数域上的任何一个非常数多项式都可以分解为数域上有限个不可约的多项式的乘积，并且这个分解式是唯一的。该定理为多项式的因式分解提供了理论依据。^[19][20][22]

因式分解在求解和证明恒等变换问题中非常重要。^[23]例如：

设，证明。

证明过程如下：^[23]

依题意，有：

两边平方可得：

整理可得：

两边再平方可得：

整理可得：

对上式因式分解有：

因此：

使用因式分解的方法可以解方程。例如，在解一元二次方程时，经常用到十字相乘法和拆项分组法等。因式分解法在解高次方程时也有所运用。^[24]例如：

解方程

求解过程如下：^[24]

使用十字相乘法对等式左端进行因式分解，可得：

故方程的解为

在三角变换问题中，经常涉及到同角的几个基本等式与和差化积的公式的使用，因式分解经常用于三角变换问题中。^[25]例如：

化简：

下面是求解该问题的一种方法，该方法运用了因式分解。^[25]

求公因式和求公倍式是因式分解的一个重要应用，公因式和公倍式是和分式的运算紧密相关联的。^[26]例如：

求及 的最高公因式。

求解过程如下：^[26]

对两式进行因式分解可得：

故所求的最高公因式为。

因式分解在分式的计算和化简中具有非常重要的作用。^[27]例如：

化简分式

求解过程如下：^[27]