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平方差公式（Formula for the difference of square[3]），两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，表达式是a²-b²=(a+b)(a-b)。[1][2][7]
平方差公式最早可追溯到公元前17世纪的古巴比伦时期，当时这一类二次问题的解决在许多出土的泥版文物中得到了确凿的证据。[10][11]随后，古希腊、中国和印度的数学家从不同角度对平方差公式进行了应用、证明和演化。[12][13][14][15]最终，这一公式在公元16世纪由法国数学家韦达以现代符号的形式表达，呈现出今天所熟知的形式。[16]平方差公式还有三角函数形式以及向量形式，将二次方进行推广，可得到n次方差的公式。平方根公式作为代数学基本公式之一，在多项式因式分解和表达式简化、分母有理化等问题的解决中具有广泛的应用价值。[9][13][17][18][19]
定义
根据整式的乘法分配律和单项式的运算法则，把一个多项式里的每一项乘以另一个多项式里的每一项，再把所得的积相加。[20]
字母表达式：[1][2][7]
文字表达式：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。[1][2]
方程问题
平方差公式的发展历史最早可以溯源到公元前17世纪的古巴比伦时期，古巴比伦人在泥版上记载了用“和差术”对二元二次方程进行求解，将二元问题转化为一元问题。[10][11]在已发现的泥版里，发现了大量二元方程问题及解法。例如：古巴比伦数学泥版VAT8389涉及到二元一次方程和,古巴比伦人将设为,设为,得到,解得,得到,。这里已知两数的和或差，将这两数表示为半和与半差的和或差，实现二元未知数转换为一元未知数的换元，即为“和差术”。[10][21]
到公元3世纪亚历山大时期，古希腊数学家丢番图（Diophantus II.VIII）在《算术》一书第1卷第27题中，运用古巴比伦人的“和差术”，来进一步求解二元二次方程，他的做法是通过已知两数之和与两数之积来求解这两个数，作为平方差公式的经典应用。[21][22][23]
公元12世纪，印度数学家婆什迦罗（Bhaskara）在《莉拉沃蒂》中证明了诸多丢番图问题实例，给出平方算法，运用了平方差公式的另一种形式：。[12][24]
几何问题
公元前4世纪，古希腊数学家欧几里得（希腊语：Ευκλείδης）在《几何原本》第二卷命题5中，“如果把一条线段截成相等和不相等的线段，则由两个不相等的线段所构成的矩形面积与两个截点之间的线段上的正方形的面积之和等于原来线段一半上的正方形的面积。”[15][25]并用几何语言说明了平方差公式的等价形式。用现代符号语言表示为。[26]
公元前2世纪，古希腊数学家芝诺多鲁斯（Zenodorus）在《论等周图形》中证明了命题：“在边数相同的等周多边形中，等边且等角的多边形面积最大。”将平方差公式运用在等周问题中。[27][28]
在中国古代数学中，平方差主要应用于求解直角三角形。最早出现在《九章算术》中，对直角三角形的勾、股和弦进行证明。[14]公元3世纪，赵爽在注解《周髀算经》时，运用“面积割补法”对平方差公式进行了几何证明，提出“勾股圆方图”，引入“勾实之矩”的概念，因为其面积于以勾为边的正方形面积（即勾实）相等，因此称为“勾实之矩”。以勾矩之实=勾的平方，得到“弦的平方-勾矩之实=股的平方”解释并证明了勾股定理。[29][30][31]
公式的标准表达
直到公元16世纪，法国数学家“代数学之父”弗朗索瓦·韦达（法语：François Viète）引入了一种既简单又有效的约定，用元音字母来代表代数中被假设是未知或未定的量，用辅音字母来代表被假设是已知或给定的量或数，创立了符号代数，用现代符号对方程步骤进行推理，并将此类推理称作“分析术”（analyticart）。[16][32]他著有《分析方法入门》《论方程的识别与订正》等多部著作，推进了代数学与方程论的发展，平方差公式也得以用字母表示。[33][34]
代数证明
几何证明
两个平方的差表示为平面内两个正方形面积的差。[19][37][38]
第一种
将一个边长为的正方形，划分无阴影部分和有阴影部分。[5]
无阴影部分：边长为的正方形
有阴影部分：长为短为的矩形和长为短为的矩形
图中最大的正方形面积为,无阴影的正方形面积为,图中阴影部分代表两个正方形面积之差，即。
同时，阴影部分的面积可以通过将两个矩形的面积相加得到:,因式分解为。
所以得到，。[19][37]
第二种
将一个边长为的正方形，划分无阴影部分和有阴影部分。[5]
无阴影部分：边长为的正方形
有阴影部分：边长为正方形减去边长为的正方形
图中最大的正方形面积为,无阴影的正方形面积为,得到有阴影部分的面积为。将有阴影部分分割为两个矩形，分割后较大的矩形长为短为，较小的矩形短为长为。由于两个矩形的长和短都是，因此将较小的矩形旋转后拼接至较大的矩形右侧，形成一个新的矩形。这个新矩形的面积为。由于新矩形是对有阴影部分图形的重新拼接，它的面积和原始有阴影部分图形相同。[37][38][40]
所以，。
计算
或 [1]
示例：
计算
确定和的值：，代入公式：计算和：，得到结果，将与相乘 :[35][41]
三角平方差公式
向量平方差公式
立方差公式
两个n次方的差
以立方差公式为例，可进一步推广至两个n次方的差的公式表达，可归纳整理为下式。[18]
[45]
多项式因式分解和表达式简化
一般的平方差公式可用于对包含第一部分的平方减去第二部分的平方的多项式因式分解。[46]
例如可用平方差代替整数相乘，分解如下[46]
[1]
例如可分解如下[47]
例如可分解如下
分母有理化
共轭复根的求解
参考资料 51
- 参考 1
- 参考 2
- THE DIFFERENCE OF TWO SQUARES — The Math Page
- 参考 4
- 参考 5
- 参考 6
- 参考 7
- 参考 8
- 参考 9
- 参考 10
- 参考 11
- 参考 12
- 参考 13
- 参考 14
- 参考 15
- 参考 16
- 参考 17
- 参考 18
- 参考 19
- 参考 20
- 参考 21
- 参考 22
- 参考 23
- 参考 24
- 参考 25
- 参考 26
- ZENODORUS — Encyclopedia
- 参考 28
- 【文言文翻译】勾股方圆图注 — 壹读
- 参考 30
- 参考 31
- 参考 32
- 参考 33
- 参考 34
- Difference of Squares – Explanation & Examples — Story of mathematics
- Difference of squares intro — Khanacademy
- Geometric Proof of the Difference of Squares: a2 — b2 — https://medium.com/
- 参考 38
- 参考 39
- Visual representations of the difference of two squares — Mathematics for Teaching
- 参考 41
- Section 5.1: Verifying Trigonometric Identities — lumenlearning
- 参考 43
- 参考 44
- Difference of Two Powers — Proof wiki
- 参考 46
- 参考 47
- MULTIPLYING AND DIVIDING RADICALS — The math page
- 参考 49
- 参考 50
- Complex or imaginary numbers — The math page