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在数学中，一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根（square root）或二次方根。例如和是的平方根，记为是的平方根。如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根（arithmetic square root）。的算术平方根记为，读作“根号a”。[3]
正数有两个平方根，它们互为相反数，负数在实数系没有平方根，[3]但是在复数系中有定义。[9]一些其他的数学对象也有平方根，如矩阵。[10]
开平方最早可见于几千年前的，耶鲁大学的巴比伦藏品YBC 7289是一块泥板，制作于公元前18世纪到公元前16世纪之间，[3][4][11]包含了的平方根的计算。[12]莱因德数学纸草书（约公元前16世纪）是古埃及现存的数学文献之一，书中展示了埃及人采用反比法求平方根的过程。[13][14]
开平方运算有多种方法，如牛顿迭代法[15]、二分法[16]、几何法[17]等，同时平方根在许多领域实际问题的解决上具有重要的应用价值，如计算金融资产价格的波动率[18]、计算统计学上的条件异方差[7]等，在信号处理领域，采用平方根信息滤波估计导航卫星的运动规律参数也有更高的数值精度和稳定性。[8]
算术平方根
定义
一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根。如果，那么叫做的平方根。[3]
规定：的平方根是[3]
正数的平方根有一正一负两个，正数的算术平方根可以用表示；正数的负的平方根，可以用符号“” 表示，故正数的平方根可以用符号“”表示，读作“正、负根号a”。[3]
例如，,
运算法则
乘除法
一般地，二次根式的乘法法则是[2]
二次根式的除法法则是[2]
例如：
加减法
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式（simple stquadratic radical），再将被开方数相同的二次根式进行合并。[2]
例如：[2]
平方根的由来
耶鲁大学的巴比伦藏品YBC 7289是一块泥板，制作于公元前18世纪到公元前16世纪之间，[4]包含了的平方根的计算（精确到3个六十进制位），用现代符号的话，可以写作，式中，分号用来分开整数部分和小数部分，逗号被用来作为六十进制位的分隔号。巴比伦人为求出的值是，与正确的值相比，这个值的误差大约是。[12]莱因德数学纸草书是古埃及现存的数学文献之一，成书时间可追溯到约公元前16世纪，书中展示了埃及人采用反比法求平方根的过程。[13][14]中国的《九章算术》成书于西汉时期[19][20][21]，书中介绍了微数理论，把分数表示推向小数表示，能表达的数更加丰富与精确，提高了平方根的近似精度。[5]
开平方符号的起源
最早在古埃及人在草纸上，开平方用符号“”来表示。12世纪的欧洲人用拉丁文“方根”（radix）的第一个字母大写R(℞[注1])或正方形的边（latus）的第一个字母小写表示开平方运算。直到1637年，法国数学家勒内·笛卡尔（法语：René Descartes）在他的著作《几何学》中开始用符号表示平方根，这已经和现代数学形式一致，之后在数学中使用开平方运算均用类似的符号。[22]
复数的平方根
复数的定义：形如，(其中)的数称为复数，为虚数单位，规定[23]
实数分别称为复数的实部和虚部，记为[23]
全体复数构成的集合称为复数集，记作，即[23]
假定一个复数，使其平方等于，有[9][24]
上式等价于方程组
可解得一般解
因此，任意复数的平方根均存在，并有两个相反的值，当且仅当时这两个值相等。
若，则平方根值是实数；若，则为纯虚数。[23]除零之外，只有正数才有实的平方根，只有负数才有纯虚数的平方根。[9]
复数的算术平方根可由三角函数式来表达。[25]
如图1，复数，由一对有序实数唯一确定。建立平面直角坐标系后，复数可由平面上的点来表示。[26]
在复平面上，复数也可以用连接原点与点的向量来表示。向量的长度叫作复数的模，记作，即。[26]
若，则，则复数可以表示为
[注2]，且复数的模还可以表示为[25]
利用欧拉公式，则有
上述公式组合可得[9][26][25]
矩阵的平方根
矩阵的概念：由个数排成行列的矩形数表
称为矩阵，记作，其中称为矩阵第行，第列的元素，简称为矩阵的元。[27]
特别地，当时，矩阵或称为阶方阵，记作
若矩阵的所有元素都为零，则称该矩阵为零矩阵。记作或
若一个阶数量矩阵主对角线上的元素均为，则称该矩阵为单位矩阵，记作或
若阶方阵，满足，则称为阶对称矩阵，简称对称阵。[27]
正定矩阵：设阶对称方阵有[注3]，若对任给的维向量，有，则称为非负定阵，记为。若且的充要条件是，则称为正定阵，记为[10]
任给，必存在正交阵，使
其中为的特征根，此时方阵的秩数
若，则存在唯一的，使得，则称为的平方根。
记为：
因此，若为的平方根对称矩阵，就有， ，[10]
开平方运算
求一个数的平方根的运算，叫做开平方（extraction of square root），叫做被开方数（radicand）。正数的平方根有两个，它们互为相反数。在数学运算中，平方和开平方互为逆运算。[3]
珠算开方
筹算开方首见于《九章算术》一书。明代珠算开平方，早期用商除开平方法，即源于筹算的开平方法，计算方法与筹算基本一致。明代数学家严恭、王素文，程大位的著作已采用珠算开平方。程大位的《算法统宗》中的商除开平方，在算盘上布数为左、中、右三段，仍沿用传统的商、实、方、廉、隅等名称。[29]
《算法统宗》商除开平方第二问是：
假如今有围棋盘子共三百六十一个，问每面子若干？
答曰：每面一十九个。
原书的问题是：假如今有围棋盘子共三百六十一个，问每面子若干，即是对361进行开平方运算。
解题过程如下：
第一行，置361于盘中为实，分作二节(每二位作一节)，第一节约得初商10，置于盘左，另置10于盘右为下法；
第二行，初商10同下法10左右相乘，呼“一一除1”，在实数内减去，余实261；
第三行，下法10加倍为20，以20约余实首次二位，酌定次商为9；分别加9于商位和下位；
第四行，以次商9乘下法29，在余实内减除恰尽。得平方根19.[29]
二次插值法
已知函数在三个互异点的值为[30]
解：设
其中都是二次多项式。
当满足条件时，必能满足插值条件
设，为待定常数。
因为，从而。因此，
同理可求得
将三式代入可得
[30]
例如：利用和的平方根求
解：设，将代入上式可得
[31]
牛顿迭代法
[15]
即[15]
上述公式是求平方根的近似值的一个实用的计算格式。[15]
例如：求，取初值，按牛顿法迭代3次可得到精度为的结果，如下表：[15]
| 0 | 10 |
| 1 | 10.750000 |
| 2 | 10.723837 |
| 3 | 10.723805 |
| 4 | 10.723805 |
连分数法
平方根可以简便地用连分数的形式表示，如下表为之间非完全平方数的连分数：[32][33]
| 的连分数 | 的连分数 | ||
|---|---|---|---|
| 2 | 10 | ||
| 3 | 11 | ||
| 5 | 12 | ||
| 6 | 13 | ||
| 7 | 14 |
巴比伦方法（二分法）
巴比伦求平方根的算法简单有效：假设，就是要求得的平方根。[16]
以作为它的第一个近似值，再根据，求出，作为它的第二个近似值。
若小于，则就大于，反之亦然。因此，算术平均值是下一个应该更接近的近似值。如果始终大于，那么下一个近似值就会小于
这样就可以求出算术平均值来获取更精确的结果，这个过程可以不断地继续下去。[16][34]
几何法
问题：给定线段和，求一条长为的线段。[17]
解：在数轴取坐标为点，以为中心画线段，使得线段。再以点为圆心，为半径画半圆，过作的垂线，垂直线和圆弧交于，即为所求的长度。[35]
证明：将数轴完全移动到平面坐标系上。设，由圆的标准方程可得半径为的圆的方程表示为：[36]
且点的横坐标为，代入上面的方程式，即
解方程之后可得，即为的长度。[36]
相关概念
平方根与无理数
有理数和无理数统称实数（real number），其中无限不循环小数又叫做无理数（irrational number）。[37]
是第一个公认的无理数，它代表边长为的正方形的对角线长。[38]
欧几里得《原本几何》中证明是无理数的方法：
假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，使得，于是，
两边平方得
由是偶数，可得是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数。因此可设代入上式，得，即
所以也是偶数。这样，和都是偶数，不互质，这与假设互质矛盾。[37]
从上述证明过程中，可得出平方根与无理数之间有一定的关系：
立方根
一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根（cuberoot） 或三次方根。这就是说，如，那么叫做的立方根。例如，所以是的立方根。[3]
n次方根
一般地，如果，那么叫做 的次方根，其中，且[注4][40]
当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数。这时，的次方根用符号
表示。
当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数。
这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示，正的次方根与负的次方根可以合并写成 [40]
例如：
金融学
在金融定义里，波动率定义为资产价格的变化，通常用于度量市场的风险程度。在实际应用中，波动率可由过去价格收益率变化的标准差、期权合约中的隐含波动率等指标进行量化判断。[6]
波动率的标准定义是方差的平方根。方差的定义为：[18]
式中，为对数收益率（度量波动率时通常都使用对数收益率）；
为样本的平均收益率；
为样本规模。
为了将方差以年化的形式表示，要在原方差基础上乘以年化因子，即一年的交易周期。[18]
统计学
自回归条件异方差模型（auto regressive conditional heteroskedastic）是经济学家恩格尔（Engle R.）在1982年提出的，其基本思想为：在以前的信息集的条件下，某一时刻的残差服从正态分布，而且该正态分布的均值为零。又方差是一个随时间变化的量——条件异方差，并且这个随时间变化的方差是过去有限项残差项平方的线性组合。[7]
阶自回归条件异方程模型的结构为
式中为序列的自回归模型；是残差序列；是独立同标准正态分布的序列；
记表示时刻所有可得信息的集合，则
所以，为残差序列在时刻的条件方差。它反映了序列条件方差随时间变化的性质，即条件异方差性。[7]
信号处理
参考资料 40
- 平方根 — 术语在线
- 参考 2
- 参考 3
- 参考 4
- 参考 5
- 参考 6
- 参考 7
- 参考 8
- 参考 9
- 参考 10
- 参考 11
- 参考 12
- 参考 13
- 参考 14
- 参考 15
- 参考 16
- 参考 17
- 参考 18
- 参考 19
- 参考 20
- 参考 21
- 参考 22
- 参考 23
- 参考 24
- 参考 25
- 参考 26
- 参考 27
- 参考 28
- 参考 29
- 参考 30
- 参考 31
- 参考 32
- 参考 33
- 参考 34
- 参考 35
- 参考 36
- 参考 37
- 参考 38
- 参考 39
- 参考 40
注释
- 为了与文字相区别，人们在R上加一小撇，形成新的符号，意大利数学家斐波那契与帕乔利都用过这种符号。
- 复数 z≠0 的三角式
- 矩阵A的行与列互换，并且不改变原来行、列中各元素的顺序得到的矩阵称为A的转置矩阵，记作A'.[28]
- N*：正整数集。