自然数

自然数（英文：Natural Number）也称非负整数，即，用字母N表示由全体自然数构成的集合。自然数在数学上的严格定义基于两种等价的理论，序数理论和基数理论。

序数理论的定义基于Peano公理，指自然数集N满足归纳公理的条件：的任一子集若包含1且若包含任一元素则必包含，那么它必是整个集合。基数理论则源于集合论，是把一个数等价于它前面的元素组成的集合，则自然数集满足无穷公理：一定有这样的集合，它包含空集且集合中任一元素和它的后继均在集合中，这样的称为自然数集。^[1][4][5][6]

自然数概念的发展长久而渐进。人们在生活中萌生了数的概念，古埃及人创造了象形文字记录十进制数的方法，毕达哥拉斯学派对数字的抽象概念进行了系统的研究。进入19世纪，对数学理论的公理化严密化是重要内容，意大利数学家朱塞佩·皮亚诺和德国数学家格奥尔格·康托尔在自然数的严格定义上做出贡献。^[7][8][9]

自然数可分为奇数和偶数、素数和合数。自然数具有加法、乘法和顺序的一系列性质。最小自然数原理和最大自然数原理是自然数在数论中的重要结论。^[10]

自然数的基数性、序数性和运算是其主要的应用。除此之外，自然数对集合论、数论的构建有着无可替代的作用，对计算机技术也有一系列应用。^[11][12]

自然数的严格定义基于两种理论：意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（意大利语：Giuseppe Peano）的序数理论和德国数学家格奥尔格·康托尔（德语：Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor）的基数理论。

设是一个非空集合，满足以下条件：

（1）对每一个元素，一定有唯一的一个中的元素与之对应，这个元素记作，称为的后继元素（或后继）。

（2）有元素，它不是中任一元素的后继。

（3）中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从，一定可推出。

（4）（归纳公理）设是的一个子集合，。如果，必有，那么。

这样的集合称为自然数的集合，它的元素称为自然数。^[4]

自然数的序数理论是用集合来表示自然数。有0个元素的集合只有。有1个元素的集合有无穷多个，为表示方便，我们令，以此类推可得到：

对任意集合，称为的后继，记为或。

归纳集的定义是如果一个集合满足：，则称为归纳集。

无穷公理是说一定有这样的集合，它包含空集且集合中任一元素和它的后继均在集合中。^[13]可见，无穷公理就等价于：存在一个归纳集。故而，全体自然数的集合定义为：的元素称为自然数。^[5][6]

作为表示自然数集的符号最早是1889年朱塞佩·皮亚诺在他的《算术原理：用一种新方法的说明》（意大利语：Arithmetices principia, nova methodo exposita）中出现的，一直沿用至今。^[14]根据0是否在其中，自然数集中也有不同的写法。集内排除0的集，应上标*号或下标+号，例如或。^[2]

自然数概念的发展，是一个漫长而渐进的过程。最开始“数”的概念是作为日常生活的一部分而产生的，在不断认识事物间的差异和同一性的同时，科学和数学就慢慢诞生了出来。起初是模糊的，最多只有1、2和2以上的概念。后来人们使用了手指、脚趾、石头堆来表达和记录数字，为了方便保存，也在木棒或骨头上划下刻痕。公元前约三千年，古埃及人已经可以使用象形文字表达基于十进制的数字了。古巴比伦人发明了位置计数法，这使得他们对较大自然数的书写更为简便。古希腊毕达哥拉斯学派（英文：Pythagoras）对数字的抽象概念进行了系统的研究，他们研究了三角形数、多边形数、质数、递进数列等，自然数在这一期间得到了长足的发展，自此以后便成为了数学上的常客。^{[15][8][16][7][17]}

自然数作为名词第一次出现是1763年在威廉·爱默生（英文：William Emerson）写的《增量法》（英文：The method of increments）中。在1771年的《大英百科全书》（英文：Encyclopaedia Britannica）中收录了自然数，并被定义为数字1,2,3,4,5等。^[18]

时间来到19世纪，代数这门科学逐渐在力学、物理学以及数学本身的广泛应用，这迫使人们对代数进行更深层次的架构，提高数学基础逻辑的严密性。法国数学家亨利·庞加莱（法语：Henri Poincaré）推动了公理化的进程。自然数的现代定义应运而生。自然数的严格定义分为两类，一种是序数理论，一种是基数理论。前者是由美国哲学家查尔斯·桑德斯·皮尔斯（英文：Charles Sanders Peirce）引入，德国数学家尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金（德语：Julius Wilhelm Richard Dedekind）完善，朱塞佩·皮亚诺进一步探索得出。后者则基于集合论。1874 年，康托尔发表了第一篇关于集合论的论文《论一切实代数数的一个性质》（英文：On a characteristic property of all real algebraic numbers），标志着集合论正式诞生。一开始人们对自然数集的定义是不严密的，最终导致了罗素悖论等一众悖论的诞生。随着集合公理化的发展，悖论也随之消失，自然数集的集合论定义也重新严密了起来。基于集合论的构建大概有三种方法。一种是1908年德国数学家恩斯特·弗里德里希·费狄南·策梅洛（德语：Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo）提出的逐次构造单元集方案，一种是美籍匈牙利数学家约翰·冯·诺依曼（匈牙利语：John von Neumann）提出的较小自然数集的方案，还有一种是集合论的后继封闭下的归纳集方案。人们一般应用最后一种归纳集方案作为自然数的基数理论表达方式。^[9][19][20]

需要说明的是，以下介绍的性质中，自然数集都默认不包含0。如果包含0，也就是将皮亚诺公理的规定成0，那么只是性质的形式会略有变化。^[21]

性质1

对任意的，有

证明

中所有使得成立的元素组成的子集记作。由皮亚诺公理（2）知，所以，非空。若，即，我们来证明必有。若不然，则有，由此及皮亚诺公理（3）推出，矛盾。因此，由皮亚诺公理（4）（归纳公理）推出，证毕。^[11]

性质2

设那么必有，使得，即中每个不等于的元素必是某个元素的后继，是唯一没有后继的元素。此外，这个元素是唯一的，记作，称为的前导元素（或前导）。

证明

设集合由中所有这样的元素组成：必是某个元素的后继。因为有，所以非空。设并集。显然，。若，由的定义知，因而。由归纳公理就推出。因此，若，就必有。这就证明了性质2的前半部分。由皮亚诺公理（3）可推出性质2的后半部分。^[11]

以上两个性质的证明方法实际上就是通常所说的归纳法，它基于归纳公理。一般的归纳法可表述如下：

设是关于自然数的一种性质或命题。如果当时，成立以及由成立必可推出成立，那么对所有的都成立。

证明

设是由使成立的所有组成的集合。由条件知，且当时，必有。因此由归纳公理知归纳证明原理成立。证毕。^[11]

以上三条性质略显抽象，因为是基于皮亚诺公理定义的自然数集合这一抽象模型推出来的性质。下面便开始介绍我们熟悉的加法、乘法及顺序的性质。在这之前我们先引进集合上二元运算的概念。

二元运算：设是一个集合，它的有序对组成的集合，即乘积集合是。

从集合到集合的一个映射称为上的一个二元运算。也就是说，对任意两个元素，有序对按规律对应于中一个唯一确定的元素，记作或。二元运算称为结合的，如果对任意，有

二元运算称为交换的，如果对任意的，有。^[22]

加法的定义，在自然数集合上一定存在唯一的一个二元运算，满足条件：

（1）对任意的，有

（2）对任意的，有

我们称这个二元运算为自然数集合N上的加法运算（或加法），记作。

性质1

对任意的，有

性质2

对任意的，以下三种情形有且仅有一种成立

（1）

（2）存在，使得

（3）存在，使得

对任意的，有

证明

当时，对任意的由加法的定义得

此时加法结合律式子成立。假设式子对某个及任意的成立，那么当时，对任意的就有

即对及任意的也成立。由归纳证明原理就证明了结论。

对任意的，有

证明

先证，对任意的，有。当时，上式显然成立。假设时上式成立，则当时得

从而由归纳证明原理，上式成立。

上式成立意味着，当时对任意的成立。假设当时，对任意的成立，当时，对任意的，可得

从而也成立。所以，由归纳证明原理就得到了结论。

设，若，则

证明

先证结论当时成立。如果有，则由，所以。由皮亚诺公理（3）推出，所以时结论成立。假设当时结论成立。当时，若有，则可得到。由此及皮亚诺公理（3）知，进而由假设知，即结论对也成立。因此，由归纳证明原理就证明了所要结论。^[22][19]

乘法的定义：在自然数集合上一定存在唯一的一个二元运算，满足条件：

（1）对任意的，有

（2）对任意的，有

我们称这个二元运算为自然数集合N上的乘法运算（或乘法），记作。

对任意的，有

证明

对用归纳证明原理证明。当时，由乘法定义知结论成立。假设当时结论成立，则当时，由乘法定义及加法定义得。所以，结论也成立。证毕。

对任意，有

证明

对用归纳证明原理证明。当时，与乘法性质2相同，结论成立。假设当时结论成立，那么当时，由加法定义及乘法定义得到。所以结论也成立。证毕。

对任意的，有

证明

对用归纳证明原理证明。当时，由乘法定义得，所以结论成立。假设当时结论成立。那么当时，可得

所以结论也成立。证毕。

对任意的，有

证明

对用归纳证明原理证明。当时，由乘法定义得

所以结论成立。假设当时结论成立，那么，当时，由乘法定义及加法的交换律与结合律可得

所以结论对也成立。证毕。乘法左分配率同理可证。

对任意的，从成立可推出

证明

用反证法。若，则必有，或成立。不妨设成立，则有

而由加法性质知这是不可能的，矛盾。证毕。乘法左相消律同理可证。^[23][19]

顺序（大小）的定义：对给定的，如果存在，使得，那么称在之后（或在之前），也称大于（或小于），记作或

性质1

对任意的，以下三式有且仅有一式成立：

性质2

对任意的，有

性质3

对任意的，有，即有或成立。

性质4

由可推出

性质5

性质6

性质7

对任意的，不存在，使得。^[10]

自然数集合的任一^[注1]非空子集必有最小元素存在，即存在自然数，使对任意的，必有。

证明

考虑由所有这样的自然数组成的集合：对任意的，必有。而，所以非空。此外，若（非空，所以必有），则，所以。再由归纳公理即可推出：必有使得。下面证明这一必属于。若不然，由集合的定义知，对任意的，必有成立。从而可知对任意的，必有，因而由定义知，矛盾。取就证明了定理。^[10]

设是自然数集合的非空子集。若有上界，即存在,使得对任意的，有，那么必有，使得对任意的，有，即是M中的最大自然数。

证明

考虑由所有这样的自然数t组成的集合：对任意的，必有，由条件知，所以非空。从而中有最小自然数存在，设为。我们来证明。若不然，对任意的，必有。而，因而知存在。从而对任意的，有，所以。由此即得，这表明。但，这和的最小性矛盾。取。^[10]

能被2整除的整数称为偶数，其他整数称为奇数。比如，4是偶数、5是奇数。^[24]

自然数除1和自身之外别无约数，那么就称这个数为不可约数，也叫作素数。不是素数的数称为合数。比如，4是合数、5是素数。关于素数和合数有如下结论：

设自然数，那么一定可以表示为素数的乘积（包括本身是不可约数），即 ，其中是素数。所以，素数有无穷多个，例如1、2均是素数。^[25]

最小自然数原理不可推出归纳公理，因为大小关系是在皮亚诺公理（它包括归纳公理）的基础上引进并证明关于它的性质的，所以，在由最小自然数原理推出归纳公理时，关于“大小”的概念是未加定义的。华罗庚的《数学归纳法》和罗森（英文：Rosen K H）的《初等数论及其应用》（英文：Elementary number theory and its applications）都犯了这个错误。^[26]

事实上归纳公理和下面的非后继元素原理等价：设是的一个非空子集，则必有，使得不是中的任一元素的后继，并且当时，是中的唯一具有这样性质的元素。^[26]

归纳原理是数学归纳法（也就是归纳证明原理）的基础。最小自然数原理和第二种数学归纳法是等价的。第二种数学归纳法为：

设是关于自然数的一种性质或命题。如果

（1）当时，成立；

（2）对，若对所有的自然数，成立，则必可推出成立

那么对所有自然数成立。^[27]

设n是一个自然数。现有n个盒子和n+1个物体。无论怎样把这n+1个物体放入这n个盒子中，一定有一个盒子中被放了两个或两个以上的物体。

证明

假设结论不成立，即每个盒子中至多有一个物体，那么，这个盒子中总共有的物体个数小于等于。这和有个物体放到了这个盒子中相矛盾。证毕。

鸽巢原理是初等数论中常用的工具。^[27]

某个与自然数集对等的集合称为可数集合或可列集合，它的基数记作，读作“阿列夫零”。若一个集合的势大于可数集的势，则称它为不可数集。区间便是一个不可数集。我们称这样的集合为不可数集或不可列集，它是具有连续统的势的集合。我们记不可数集的势为，读作“阿列夫”。^[28][29]

德国数学家康托尔（德文名：Georg Ferdinand Philip Cantor）提出过连续统假设：

不存在任何一个基数使得^[30]

全体自然数的和是发散的，它的部分和是，当趋于无穷时该式是趋于无穷的。但在数学中的一些求和方法却可以让发散级数的和是有限的，比如拉马努金求和（英文：Ramanujan summation）或黎曼函数正则化（英文：Riemann zeta function regularization）。这两种方法不同于传统的无穷级数求和，而是定义了新的求和方法，由此可以得到：

限于篇幅和难度，这里只介绍一种拉马努金在笔记中的证明方法。它是不严谨的却也足以一窥数学证明的妙想，它同时也是黎曼函数正则化想法的起源。

证明

有恒等式，两边取极限就可以得到

两边同时求导可得：，将代入得。

令，它的偶数位减去自身的四倍为：

从而。证毕。^[31]

不严谨之处在于发散级数是不可作为收敛级数一般随意加减并设定数值的。严格的证明可见拉马努金和欧拉等人的书籍和论文。^[32][33]

“0”是否是自然数的争论伴随着自然数认识和研究的发展从未停息。英国数学家伯特兰·阿瑟·威廉·罗素（英文：Bertrand Arthur William Russell）在1919年的《数学哲学导论》（英文：Mathematical Philosophy）中写道：“对于当今受过教育的普通人来说，数学的明显起点是整数系列，1、2、3、4等。可能只有一个有一定数学知识的人才会想到从0开始，而不是从1开始。”英国数学家约翰·何顿·康威（英文：John Horton Conway）写到：“根据旧的命名法，‘自然数’的意思是‘正整数’。这很不幸，因为非负整数集实际上更‘自然’，因为它有更简单的性质。因此，从20世纪60年代开始，很多人（包括我）开始使用包容性意义上的‘自然数’。毕竟，对于正整数，我们有一个更好的术语‘正整数’。”^[18]

一些人提出“0”视作自然数会引来一些麻烦，比如在自然数的分类、计数上会不够简明；而一些人认为“0”视作自然数是自然数集严格的定义，“0”的问题可以通过特例等方法解决掉。在学界，通常研究数论方向的学者会排除掉0，而研究集合论方向的学者会将0考虑进来。“0”是否是自然数的争议如今也没有定论，我们应对不同的问题选择不同的集合定义即可，前提是在解决问题中定义一致。^[34][35]

其他数集均是从自然数集拓展而来。自然数集加入负整数就成了整数集，用字母Z表示。整数集加入分数就成了有理数集，用字母Q表示。有理数集加入无理数就成了实数集，用字母R表示。实数集加入复数就成了复数集，用字母C表示。^[2][3]

自然数可作数列排列。从1加到的数列累加和为：。^[36]

研究自然数的问题是数论之始，自然数本身就是数论的概念，对自然数集的研究是数论的基本内容，比如自然数集上的加法和乘法定义。自然数为整数、整除、同余等概念奠定了基础，比如整数集是由自然数集加入负整数扩展而来的。^[25][3]

对自然数严密的定义推动了集合论的发展。集合论中也有不少概念和自然数有关，比如自然数集的势是等。^[28][29]

自然数最简单的应用就是计数，比如这里有四个苹果。其次也有定序的作用，比如这是第四个苹果。

自然数编码可用于遗传算法的优化等方面。比如针对并行测试任务调度复杂难以优化的问题，可以提出一种基于自然数遗传算法的任务调度优化算法。这种算法将并行测试任务调度转化为对串行测试任务序列的搜索，并引进自然数编码遗传算法搜索最优解或近似最优解，提高了搜索的效率。^[12][37]