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欧拉公式(英文：Euler's formula)，是瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（英文：Leonhard Euler）于1748年发表的数学公式，欧拉公式指出，对于任何实数x[注1]，有：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，和分别是三角函数余弦和正弦；当x = π时，欧拉公式可重写为或，后者也被称为欧拉恒等式。[2][5][1][6]
欧拉公式将三角函数的定义域扩大到复数，建立了复数域中三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位。[4]欧拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。[3]
基本概念
在复数域中，指数函数和三角函数可以通过以下简单的等式联系起来。[1]
其中是自然对数的底，是-1的平方根。[1]
由该公式可以推出
这两个式子也称为欧拉公式。[1]
此外，令，可得，这个公式被称为欧拉恒等式。[1]
相关概念
除了复数域的欧拉公式，数学家欧拉在其他领域也发表了多个类型的欧拉公式。[7]
三角形的欧拉公式
多面体的欧拉公式
关于多面体的欧拉公式，是指[7][9]
其中 是一个多面体的顶点数，是棱数，是面数。欧拉公式揭示了空间凸多面体的顶点、棱和面之间的关系，用于几何图像分类等研究中。[9]
分式的欧拉公式
分式的欧拉公式指的是下面的式子。[7]
历史
在1740 年，欧拉在运用级数求解同一个微分方程，分别得出了（指数形式）和（三角形式）两个不同形式的解，这两个同一方程的解应相等，从而发现了复数的指数形式与三角形式的关系。[7]1748 年，欧拉发表了下面的公式，这被称为欧拉公式。[7][10]
采用极限
利用分析中极限的方法可以对欧拉公式进行证明。[11]
由极限可得，[11]
对于复数而言，其幅角为：，则有：[11]
由棣莫弗公式（英文：De Moivre's formula）得:[11]
对上式的两端取极限，有：[11]
下面求解上述等式的右端的两个极限，再相乘。[11]
令，则当时，，因此[11]
再令，可得和，当时，，因此:[11]
故。
至此，两个极限求解完成，代回等式有：[11]
令，可得
由可得，[6]
以为未知数，即有：[6]
采用幂指数
首先构造以下复数项级数。[1]
式中，是一个复数，其实部和虚部分别为，均为实常数或者实函数。则的模为。[1]
实部的和可以表示为：[1]
虚部的和可以表示为：[1]
如果所有的模构成的级数收敛，则称复数项级数绝对收敛。[1]
且该级数的和为，即：[1][12]
由于，也可表示为：[1][12]
当时，，则[1][12]
用替换，即为欧拉公式。[1][12]
采用极坐标
对于以下公式，如果能够证明，则欧拉公式得证。[13]
上式两端同时求导，可得：[13]
用代替并整理可得：[13]
为了使得上述等式成立，必须有实部和虚部同时为0，[13]
解得。[13]
也就是说：为一常数，，为常数。[13]
又，可得，，代入，欧拉公式得证。[13]
几何解释
欧拉公式具有直观的几何解释。在如右图图所示的坐标系上画出一个单位圆，其中横轴为实轴，纵轴为虚轴。对于实数“1”而言，可以在实数轴上可以用一个单位向量表示。现对其逆时针旋转弧度，则实数“1”变为纯虚数“”，依次类推，每旋转一周能得到“的循环。若实数单位向量保持长度不变，旋转角度，其轨迹为该坐标系上的单位圆，且则所得向量即为:[14]
因此，代表实单位向量逆时针旋转角度后所得到的向量。因此当旋转了弧度时，自然有即，。[14]
用于复数域三角式值的计算
利用欧拉公式可以计算复数域内三角函数值。[6]
用于高次幂三角式值的计算
利用欧拉公式可以将转换为的线性组合，在求解定积分时更加简便。[15]
用于信号分析处理
参考资料 18
- 参考 1
- Euler’s formula — britannica
- 参考 3
- 参考 4
- 参考 5
- 参考 6
- 参考 7
- 参考 8
- 参考 9
- 参考 10
- 参考 11
- 参考 12
- 参考 13
- 参考 14
- 参考 15
- 参考 16
- 参考 17
- 参考 18
注释
- 如果x是复数，该公式仍然有效