拉格朗日方程

拉格朗日方程（Lagrange equation），因数学物理学家约瑟夫·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736~1813）而命名，是分析力学的重要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相当于牛顿力学中的牛顿第二定律。^[3][2]拉格朗日方程有两类，常用的是第二类拉格朗日方程，方程的一般形式为。^[4][5]

1788年，拉格朗日通过总结、归纳前人的经验，实现了将全部力学都统一在一个普适的原理方法之下的目标，并出版了《分析力学》一书。在书中，他推出了拉格朗日方程。^[2]拉格朗日方程是解决具有理想的完整约束^[注1]的质点系统动力学问题的基本方程，通常用来研究复杂的非自由质点系统动力学问题。^[7]

拉格朗日方程在物理学的其他领域有许多应用，如：哈密顿力学的提出、广义动量在拉格朗日的表述、应用于几何光学的拉式不变量以及费曼（Richard Feynman，1918~1988）^[注2]用经典拉格朗日量提出的路径积分方法等。^{[8][9][10][11]}因此，拉格朗日方程的建立奠定了分析力学基础，描述了力学系统的动力学规律，通过用一个公式去表现尽量多的事项，把力学理论简化成为普遍公式，实现了力学理论的巨大飞跃。^[12]

形如的方程称为拉格朗日方程。它属于可就或解出的方程。^[5]若有个独立变量，则可以有个拉格朗日方程，它是广义坐标的二阶微分方程，可表示为。如果广义力是保守力，它可以由某一个势能函数导出，即，则拉格朗日方程可简化成，式中：为系统的动能，表示与广义坐标对应的广义力^[注3]，是拉格朗日量，为广义坐标，是时间的函数，为广义速度。^[14][15]

1687年，艾萨克·牛顿（Isaac Newton，1643~1727)^[注4]出版《自然哲学的数学原理》，总结出了物体运动的三个基本定律，创立了经典力学的理论体系。但是，Newton主要研究自由质点的运动规律。1743年，达朗贝尔，J.le R.（Jean Le Rond d'Alembert，1717~1783)^[注5]在出版的《动力学》中，将牛顿运动定律推广到受约束物体的运动规律，即著名的d'Alembert原理；后来，莱布尼兹（Leibniz,G.W.1646~1716）提出“活力”“作用形式”等参量并用之为运动的度量，把视点转向了运动自身，并选了一些与参考系没有直接关联的标量来描述运动。^[3][2]

之后，拉格朗日想要提出一种力学理论与解法，使问题能化归为一些普适的公式，并在对这些公式简单推导后，就得出解决问题所需的全部方程，从而实现将全部力学都统一在一个普适的原理方法之下的目标。^[2]于是在1761年，拉格朗日在发表的论文《可解不同动力学问题的方法——追前法之应用》中，探讨了用最小作用量原理进行力学分析之可能性，并将莱昂哈德·欧拉（德语：Leonhard Euler, 1707年4月15日～1783年9月18日）^[注6]于1744年发表的，质点在有心力场中的变分方程推广到一般情况，该论文也为他以后的一系列文章奠定了基础；拉格朗日在1764年发表的《月球的天平动研究》中，对达伦贝尔原理作了变分运算，并指出“这方法可将物体的全部运动规律归纳到它的平衡规律中去，从而有可能将动力学归入静力学”。^[3][2]

1788年，拉格朗日吸收、发展了欧拉，达朗贝尔等人的研究成果，并将自己所写的一系列论文成果集中出版于《分析力学》一书中，在书中，拉格朗日提出了虚功原理、动力学普遍方程和Lagrange方程，创立了分析力学的理论体系，使经典力学进入第二个发展阶段——Lagran力学。^[3][2]

假设存在一颗珠子在线上滑动，或者一颗摆动的简单摆。如果将每个大物体（珠子、摆轮）视为一个质点，使用牛顿力学计算质点的运动将需要求解随时间变化的约束力，以使这个质点保持受限运动（线对珠子施加的反作用力，或简单摆杆的张力）。对于相同的问题，使用拉格朗日力学时，我们观察质点可能采取的路径，并选择一组完全描述质点可能运动的方便的独立广义坐标。这种选择消除了约束力进入结果方程组的需要。由于我们并不直接计算给定时刻约束^[注7]对质点的影响，方程较少。对于各种物理系统，如果一个大物体的大小和形状可以忽略不计，将其视为质点是一个有用的简化。对于具有质量的个质点系统，每个质点都有一个位置矢量，表示为。笛卡尔坐标通常足够，因此，等。在三维空间中，每个位置矢量需要三个坐标来唯一定义点的位置，因此有个坐标来唯一定义系统的构型。这些都是空间中特定的点，用于定位粒子；空间中的一般点写为。每个粒子的速度是粒子沿其运动路径移动的速度，并且是其位置的时间导数，因此。^[4][18][19]

牛顿第二定律是，而拉格朗日力学使用系统中的能量而不是力。拉格朗日力学的核心量是拉格朗日量，它总结了整个系统的动力学。总的来说，拉格朗日量有能量单位，但没有所有物理系统的单一表达式。任何产生符合物理定律的正确运动方程的函数都可以视为拉格朗日量。在没有电磁场的情况下，粒子系统的非相对论性拉格朗日量由式和系统的潜在能量反映了粒子之间的相互作用能量，即一个粒子由于所有其他粒子和其他外部影响而具有的能量。对于保守力（如牛顿引力），它只与粒子的位置矢量有关，所以为0。对于那些可以从适当势能导出的非保守力（如电磁势能），速度也会出现。如果有外部场或随时间变化的外部驱动力，势能将随时间变化。^[4][18][19]

一个或多个粒子可以各自受到一个或多个约束，每个约束都有一个方程来描述。每个方程都可以适用于任何粒子。如果粒子受约束，则在任何时刻，受约束粒子的坐标都是链接在一起的，而不是独立的。约束方程决定了粒子可以移动的允许路径，而不是它们的位置或它们在每个时刻的移动速度。非完整约束的三个例子是：当约束方程不可积时，当约束不等式时，或者具有复杂的非保守力（如摩擦力）时，非完整约束需要特殊处理，人们可能不得不恢复到牛顿力学，或使用其他方法。如果动能或约束方程或两者都因时间依赖的约束或外部影响而明确地依赖于时间，拉格朗日函数是显式时间依赖的。如果势能和动能都不随时间变化，那么拉格朗日函数是显时间独立的。在任何情况下，拉格朗日函数总是通过广义坐标具有隐式时间依赖性。^[4][18][19]

设一系统由个质点组成，各质点的笛卡儿坐标为系统受到个非完整约束(1)，式中为各质点坐标和时间的函数，或为常数。此外，系统还受到个完整约束(2)，对求导，有(3)，亦可写成(4)，式中约束(1)式和(2)式在虚位移上所加的条件分别为(5)和(6)，将这些条件与达朗贝尔-拉格朗日原理结合起来考虑，且引入未定乘子作推理可以得到

式中为未定乘子，方程组（7）为拉格朗日的第一类方程。方程组中是作用于质点上主动力在轴上投影，则分别是非完整约束和完整约京加在质点上的约束力在轴上投影，对轴和轴上的量亦可作类似的解释。式(7) 有个运动微分方程，可结合(1)、(2)中个约束方程求解，它们总共包含个未知坐标和个未定乘子^[19]

考虑一个个质点组成的完整系统，自由度为，广义坐标为。由于系统是完整的，因此这个广义坐标的等时变分即广义虚位移也是完全独立的。于是由达朗贝尔-拉格朗日原理在广义坐标下的表达式（8）为（9），可得到（10），（10）式即为拉格朗日第二类方程，式中为系统用各广义坐标和各广义速度所表示的系统动能；为对应于的的广义力。^[19]

在拉格朗日量中，位置坐标和速度分量都是自变量，拉格朗日量的导数根据通常的微分规则分别取（例如相对于粒子2的速度分量的偏导数，由定义，只是；不需要使用笨拙的链规则或总导数来将速度分量与相应的坐标）相关联。在每个约束方程中，一个坐标是多余的，因为它是根据其他坐标确定的。因此，独立坐标的数量为。我们可以将每个位置向量转换为一组通用的个广义坐标，方便地写成元组，通过表示每个位置向量，从而将位置坐标表示为广义坐标和时间的函数，向量是系统配置空间中的一个点，广义坐标的时间导数称为广义速度，对于每个粒子，其速度矢量的变换，即其位置相对于时间的总导数为，给定，如果位置向量由于时变约束而显式依赖于时间，则广义坐标中的动能取决于广义速度、广义坐标和时间，因此。有了这些定义，将拉格朗日方程代入拉格朗日量可得到系统的运动方程。与牛顿力学相比，方程的数量有所减少，从广义坐标中的到耦合的二阶微分方程。这些方程根本不包括约束力，只需要考虑非约束力。^[4][18][19]

虽然运动方程包括偏导数，但偏导数的结果仍然是粒子位置坐标中的常微分方程。表示为的总时间导数通常涉及隐式微分。这两个方程在拉格朗日方程中都是线性的，但在坐标中通常是非线性耦合方程。^[4][18][19]

在分析力学里，有三种方法可以导引出拉格朗日方程。最原始的方法是使用达朗贝尔原理导引出拉格朗日方程；更进阶层面，可以从哈密顿原理推导出拉格朗日方程；最简明地，可以借用数学变分法的欧拉-拉格朗日方程来推导。^[19][20][21]

设定函数和:

，其中，是自变量。

若取得局部平稳值，则在区间内，欧拉-拉格朗日方程成立:

在后续的推导过程中，需注意到：变分运算和微分运算差不多，的变分；对变分的时候，与无关；和可以直接交换顺序，即；的变分满足关系：

因此的变分可表示为：

由变分法基本引理可知，要想让，只能是括号里面的项为0，即。

现在，执行下述变换：设定独立变量为时间、设定函数、设定泛函为拉格朗日量，则可得到拉格朗日方程，

为了满足变换的正确性，广义坐标必须互相独立，所以，系统必须是完整系统。又拉格朗日量是动能减去位势，而位势必须是广义位势。所以，系统必须是单演系统。^[21][2][22]

达朗贝尔原理表明：对于任何物理系统，所有惯性力或施加的外力，经过符合约束条件的虚位移，所作的虚功的总和为零。即：

（1）

其中为惯性力，,为粒子所受外力，为符合系统约束的虚位移。

设粒子的位置为广义坐标与时间的函数：（2）

则虚位移可以表示为：（3），粒子的速度可表示为：（4）

取速度对于广义速度的偏微分：（5）首先转化方程（1）的加速度项。将方程（3）代入：（6）

应用乘积法则：（7）

注意到的参数为，而速度的参数为，所以，（8）

,（9）

因此，以下关系式成立:（10）

将方程(5)与(10)代入，加速度项成为：

（11），

代入动能表达式(12)

则加速度项与动能的关系为：(13)

然后转换方程(1)的外力项代入方程(3)得：（14）

其中是广义力：（15），将方程(13)与(14)代入方程(1)可得：（16）

假设所有的广义坐标都相互独立，则所有的广义坐标的虚位移也都相互独立。由于这些虚位移都是任意设定的，只有满足下述方程，才能使方程(16)成立：（17）

这系统的广义力与广义位势之间的关系式为：（18）

代入得：（19）

定义拉格朗日量为动能与势能之差，可得拉格朗日方程：

设一系统由个质点组成，各质点的笛卡儿坐标为，系统受到个非完整约束，

式中为各质点坐标和时间的函数，或为常数。此外，系统还受到个完整约束：

对求导后，结合达朗贝尔-拉格朗日原理，引入未定乘子，即可得到拉格朗日第一类方程：

^[19][4][23]

力学体系的运动规律的最一般的形式可以由所谓最小作用量原理(或者哈密顿原理)给出。根据这一原理，每一力学体系由一定的函数来描述其特性，而体系的运动满足下面的条件。假定在和的时刻，体系占有两个确定的位置，这两个位置分别有两组坐标值决定。这时，体系在两个位置之间按照使积分有最小可能值的方式运动。函数叫做该体系的拉格朗日函数，而积分（1）则叫做作用量。^[20]

现在来推导确定积分（1）最小值的微分方程。为了简化公式书写，假定体系只有一个自由度，这样一来，应该决定的只有一个函数了。^[20]

假定正巧是使有极小值的函数。那么，以形如（2）的函数代换时，就增大，其中，是在从到整个时间间隔内都很小的函数（它叫做函数的变分）。既然当和时，所有用于比较的函数（2）应该有相同的值，因而应该有（3），以代所引起的的变化由差决定。这个差按和（在被积分式子内）指数的展开式是从一级项开始的，这些项的总和等于零是为极小值的必要条件。这总和叫做积分的第一变分（或通常简称为变分）。因此，最小作用量原理可以写成（4），或者进行变分后为：。^[20]

再对第二项实行分部积分，并注意到，得到(5)。但由于条件（3），式中第一项消失，所以，当取任意值的时候，剩下的积分应该等于零。这只有在被积分的式子恒等于零的情况下才是可能的。因此，得到方程。^[20]

当具有几个自由度时，在最小作用量原理中应被独立地变分个不同的函数。显然，这时我们将得到个方程(6)，式（6）就是要找的微分方程。^[20]

拉格朗日函数是力学体系的一个特性函数，具有可加性、等价性以及其他特性。^[24]此外，拉格朗日函数还具有其他性质，如：非唯一性；^[25][26]点变换下的不变性与守恒性，如能量守恒、动量守恒和角动量守恒；^[27][28]能量函数为常数；^[28]朗道的力学相似性；^[29]相互作用和规范对称性和奇异拉格朗日量等。^[30][31]

拉格朗日函数是力学体系的一个特性函数，表征着约束、运动状态和相互作用等性质。^[24]

对于完整约束，在关系中，引用独立的广义坐标就可以去掉虚位移，对于非完整约束，即使采用独立的广义坐标，广义虚位移还是不独立的，不可简单地去掉，这时需要运用拉格朗日乘子法^[注8]。考虑到代入（1）并经整理后，即得，但该拉格朗日方程是只有完整约束的力学系统的动力学方程，如果主动力全是势力（保守力）的情况下，则广义力可用势能表示为，于是，拉格朗日方程可改写成

定义，它为广义坐标和广义速度和时间的函数，这完全能确定力学状态，而表征了力学体系的相互作用。由此看来，拉格朗日函数是表征着约束、运动状态和相互作用的一个特性函数。^[24]

假定力学系统由和两部份组成，并且每一部份都是封闭的，因而有各自的拉格朗日函数和，如果这两个部份之间的距离分开得很远，以至它们之间的相互作用可以忽略不计时，整个体系的拉格朗日函数可表示为：。^[24]

可加性的实质是和两个部份的相互作用势可以忽略不计，所以两个无相互作用部份任一部份的运动方程，都不应包含属于另一部份的量。此外，拉格朗日函数的可加性，更为重要的是表现为由它所推出的能量可加性，动量可加性，动量矩可加性和质量可加性等。^[24]

两个拉格朗日函数和，如果仅相差一个坐标与时间的函数对时间的全微商，则这两个拉格朗日函数等价即：。^[24]

将拉格朗日函数乘以任意常数c后，并不改变运动方程的形式

即函数乘以任意常数，可归结为选择质量量度单位的改变，但是当量度单位改变时，不同粒子的质量间的比例关系并没有改变，因此，粒子的质量才具有实在的物理意义。^[24]

拉格朗日函数并不存在任意的不确定性

由于和等价，而是任意的，常数也是任意的，因此我们常说具有任意性。但是，若将，这虽不影响各个部分的拉格朗日方程，但整个系统的运动方程却将改变。因此，拉格朗日函数的可加性消除了这种任意的不确定性，于是只能有。这一特性在研究力学的相似时将有十分重要的意义。^[24]

非唯一性是指，质点拉格朗日函数不是唯一的，而是存在任意多个等效的拉格朗日函数，这个结论可以推广到其他复杂的力学系统。^[25]即同一力学体系可以用不同的拉格朗日函数描述。^[26]

对于一组特定的运动方程，拉格朗日方程并没有唯一的选择。指向给定运动方程的广义坐标。因此，如果是一个适当的拉格朗日方程，是可微函数和时间的任意广义坐标，那么也是得到了相同运动方程的拉格朗日函数，除了按照这个处方构造的拉格朗日函数外，通常还可以找到其他的拉格朗日函数。等式一直是构造保守系统拉格朗日函数的合适方法，它并不提供唯一适合给定系统的拉格朗日函数。^[23]

在点变换下具有不变性与守恒性，如拉格朗日系统在Lie点变换下的共形不变性，可通过Lie对称性找到确定方程中的共形因子。该共形因子也就是系统的共形不变性，同时也是Lie对称性的充分必要条件。当共形不变性满足一定条件时，也可导致相应的守恒量。^[27]

如果力场是对于点1和点2之间任何物理上可能的路径功​是相同的，那么力(和系统)就是保守的。保守系统的另一种描述是通过想象粒子被一条可能的路径从点1带到点2，然后被另一条路径返回到点1来得到的。在特定路径上的独立性意味着围绕这样一个闭合电路所做的功是零，也就是。物理学上很清楚的表示，如果存在摩擦力或其他耗散力，系统就不可能保守，因为由摩擦引起的总是正的，积分不可能消失。根据一个众所周知的向量分析定理，与质点所经过的物理路径无关的充分必要条件是，是某个位置标量函数的梯度：。

其中被称为势能，或者说势能。的存在可以通过一个简单的论证直观地推断出来。如果与端点1和2之间的积分路径无关，那么可以用仅取决于端点位置的量的变化来表示。这个量可以用来表示，因此对于微分路径长度，我们有一个关系式，或，这个关系式等价于。在中，我们可以把空间中的任何数量常数加到而不影响结果。因此，拉格朗日方程具有点变换下的不变性。^[32]

由于时间的均匀性，封闭系统的拉格朗日函数将不直接依赖时间，则有，

用来代替，则可得

这个量是体系的一个运动积分，在封闭体系的运动期间内保持不变，且被称为体系的能量。换言之，假若拉格朗日量显性地与时间无关，则能量函数是个常数。^[28]

由拉格朗日函数以时间均匀性、空间均匀性和空间各向同性的性质，能导出能量守恒、动量守恒和角动量守恒。能量守恒是指于不论在封闭系统，还是对于处在不变的外场（不依赖于时间）之中，体系的能量都是守恒的；动量守恒是指当封闭体系作为一个整体在空间平行移动时，它的力学性质不变，即当矢径有一个无穷小的移动时，和对应的拉氏函数不变；角动量守恒是指当封闭体系整体在空间以任意方式转动时，体系的力学性质不变。^[28]

朗道的力学相似性是指拉格朗日函数乘以任意常数不会改变运动方程。在一些重要情况下，利用这一点，无需实际求解运动方程就可以得到有关运动性质的一些有用结论。^[29]

相互作用和规范对称性是指，在规范场理论下，它要求所采用的拉格朗日量具有特殊的规范对称性。重要的是，这种对称性的要求“自然”导致相互作用的引入，因此，人们把这种理论称为相互作用的规范理论，规范性也成了理论合理性的一个重要标志。^[30]

经典力学的教科书处理通常假设拉格朗日量是非奇异的；也就是说，拉格朗日量关于速度的二阶导数矩阵是可逆的。该假设确保：(i)拉格朗日方程可以求解作为坐标和速度函数的加速度，(ii)可以反转共轭动量的定义以求解作为坐标和动量函数的速度。然而，这个假设是不必要的限制——存在具有奇异拉格朗日量的有趣的经典动力系统。^[31]

在应用第二类拉格朗日方程处理无初速释放动力学问题时，设个质点的质点系，完整双面定常约束，自由度为，广义坐标为，则第i个质点的位置矢可表示为：

其速度为

系统的动能为

系统的动能可表示为（1）

代入第二类拉格朗日方程，得（2）

其中，为相应于广义坐标的广义力。^[33]

对无速释放的动力学问题，当，，，其中为初瞬时的广义加速度，为系统初始位置时的动能广义速度二次项的系数，为系统初始位置时对应的广义力，式（2）成为（3），即为所要求的公式。^[33]

为了便于记忆和应用式(3)，假想系统初瞬时的广义速度分别为，，此时系统的动能为（4），其中，为系统在初始位置时动能广义速度二次项系数。

=

显然，因此式（3）可形象地记忆为把初瞬时的形式动能式（4）代入第二类拉式方程得到。^[33]

例

均质细杆的质量，长度，均质等边三角形薄板的质量为，对垂直板面的质心的回转半径；柔绳的质量不计。若系统于图示位置无初速度释放（边处于水平位置，如下图所示），不计较铰jiǎo链摩擦，试求杆和三角板薄板的角加速度。^[33]

解：这是单自由度系统，取广义坐标为。三角形薄板的转角为，如下图所示：

由点的速度条件，得

系统的动能为

下面求初瞬时的广义力。给系统一虚位移，则

，显然。^[33]

拉格朗日方程在物理学的其他领域有许多应用，如：利用含多余广义坐标的拉格朗日方程，可以求解得到一类平面双线摆的微幅振动频率的显式计算公式，相比较于传统的拉格朗日乘子法，该方法更适合于对动力系统的动力学行为进行定性分析；^[34]哈密顿（W.R.Hamiton，1805-1865）在拉格朗日方法基础上，对系统动力学特征进行更深入研究之后提出哈密顿力学；^[8]拉格朗日的表述可以用广义动量来表示。^[9]拉格朗日方程还可以应用于几何光学，如给出了物空间和像空间在近轴区的各共轭量间关系的拉式不变量，用于研究折射面成像的拉格朗日－亥姆霍兹不变量等；^[10]在量子物理范畴，可应用于量子场论中场方程的建立；^[35]在流体力学中，可基于拉格朗日粒子方法追踪运动界面。^[36]

1948年，费曼将最小作用量原理应用到量子力学中, 提出了费曼路径积分方法，该方法是费曼从路径积分和经典作用量的角度来处理问题，将时间分割为许多小时间段，以经典拉格朗日量作为相位的传播算子，将所有到达的路径贡献叠加能得到波函数。^[11]

已知，有势力可由标量函数表示，且是坐标和时间的函数，现考虑另一类有势力，它的势函数不仅是坐标和时间的函数，而且还与速度有关。那么对于只受对应普通势和广义势的有势力作用的体系，其方程仍取的形式，但这时的拉氏函数为。如果中不显含时间，存在以下形式的广义能量积分：此时体系称之为广义保守体系。^[37]

瑞利耗散函数，在广义坐标中，与阻尼力存在对应的广义力，那么，对于既有有势力作用，又有阻尼力作用的理想、完整体系，拉格朗日方程为，于是要想确定体系的运动方程，得预先确定两个标量函数，而，于是瑞利耗散函数可解释为：等于阻尼力引起体系能量耗散率的相关数量关系。^[37]

设拉格朗日函数为，作用量为。非相对论力学的运动方程由最小作用原理，即极值条件确定。根据狭义相对论的相对性原理，作用量应是不变的量，即（式1），（式2）是固有时间间隔，，因此必须是不变量。与粒子运动状态有关的量是四维速度、电磁场张量或四维势直接与运动速度有关，与粒子在外场受力有关，有这些量构成的洛伦兹不变量只可能是。

设（式3），

所以（式4），

将（式1）做展开，第一项（式5），

取，得（式6），

如果无外场，（式3）为，其中，是与速度有关的项，（式6）为自由电磁场的拉格朗日函数。当时，只取展开式的前两项，它退化为，又拉氏函数中，常数项没有意义，因为它对运动方程无贡献，只须取拉氏函数为，常数可以取为电荷，由（式3）可知：它恰是时的静电场的势能。因此最后得到的拉格朗日函数为（式7）。当时，（式7）退化为非相对论的拉格朗日函数：。^[38]

拉格朗日方程的建立奠定了分析力学基础，标志着从牛顿力学借用图形和运用形象思维处理力学问题的几何方法向不用图形而运用概括性的抽象思维处理力学间题的分析方法过渡的完成，实现了力学理论的巨大飞跃。数学家哈密顿把它称为“科学的诗篇”，马赫评价它把分析力学提到了发展的最高阶段。从历史上看，拉格朗日方程更为重要的是，首次显示了能守恒是方程的必然结果，并就此可以推导出最小作用原理。^[12]

拉格朗日方程作为自然界中能量系统普适性方程之一，既吸收了动能定理引进能量函数的优点，又继承了广义坐标中质系动力学微分方程组的全部优点，成为动力学分析中被广泛应用的重要理论基础，在宏观世界和微观世界都得到了有效应用。^[39][40]