拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）是求解函数在一个或多个约束条件下条件极值的方法^[6][7]，其总体求解步骤为：构造拉格朗日函数、求该函数的驻点、判断该驻点是否为极值点^[9]。拉格朗日乘数法的几何意义是：在二维情况下，目标函数的等值线曲线与约束条件的曲线能相切的切点为函数的极值点^[10]。

1753年，法国数学家、天文学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）阅读有关牛顿微积分的介绍之后，学习研究的方向便转移到数学分析上；次年，18岁的拉格朗日独自推导出求两个函数乘积的高阶求导公式；之后，他通过纯分析方法对积分的极值问题进行求解，得到莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）的肯定和支持^[11][4][12]。1755年，拉格朗日在解决复杂几何问题最值问题时正式提出拉格朗日乘数法^[3]。

拉格朗日乘数法在很多领域都具有广泛的应用价值^[3]，例如：数学领域中点到平面的距离的证明^[13]；经济学中通过控制人力和资本的数量获得常量的最优解^[14]；工程学中计算岩土工程设计验算点和可靠指标等^[15]。

拉格朗日乘数法起源于17世纪的变分法，莱昂哈德·欧拉和约瑟夫·路易斯·拉格朗日的工作奠定了变分法的理论基础^[16]。1753年，约瑟夫·路易斯·拉格朗日阅读有关牛顿微积分的介绍之后，学习研究的方向便转移到数学分析上；次年，18岁的约瑟夫·路易斯·拉格朗日取得了第一项研究成果，独自推导出了求两个函数乘积的高阶求导公式；之后他通过纯分析方法，对积分的极值问题进行了求解，该方法得到了瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的肯定和支持^[12]。1755年，约瑟夫·路易斯·拉格朗日在解决复杂几何问题最值问题时正式提出拉格朗日乘数法^[3]。

拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）是求解函数在一个或多个约束条件下条件极值的方法^[6][7]。

当求解任意有限多个自变量的多元函数，在任意有限多个约束条件下的极值问题时^[17]：

求函数满足联立方程组：的条件极值步骤是：

第一步：作拉格朗日函数；

第二步：求的驻点，即求方程组（共包含个方程）：

的解，设解是

求解过程可消去求得满足方程组的驻点

第三步：函数①只可能在这些求出的驻点处取得条件极值，由问题的实际意义，如果函数必存在条件极值，方程组又只有唯一一个驻点⑤，则该点必为所求的极值点^[17]。

设函数在区域内有定义，是的内点。若存在的一个邻域，使得对该邻域内中任一点，都有，则称为的一个极大（小）值，称为极大（小）值点，极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点^[18]。

对自变量除了限制在定义域内以外，没有其他条件限制，称这类极值为无条件极值；如果除函数定义域外，对自变量还有附加条件，称这类极值为条件极值^[19]，拉格朗日乘数法求解的就是函数的条件极值^[6][7]。

设是函数的极值点，则：若在点的偏导数存在，必有；或在点的偏导数至少有一个不存在^[9]；该条件印证了方法的第二步，即驻点可能为极值点^[17]。

是函数的驻点，在附近具有二阶连续偏导数，记，。

当正定时，是极小值点，是极小值；当负定时，是极大值点，是极大值；

当时，不是极值点，不是极值；当时，无法判断是否为极值点^[9][20]；通过该条件，可确定极值点，这是方法的第三步^[17]。

设函数沿约束曲线运动，在下图中，约束条件以蓝色的水平曲线显示，以洋红色的水平曲线显示，目标函数的等值线曲线与约束条件的曲线能相切的切点为函数极值点。从图1中可以看出，约束条件的最大值是，它出现在点，这里的目标函数曲线与约束曲线相切，当点与约束曲线不相切时，会趋向更大的值，直到点；同理，从图2中可以看出，约束条件的最小值是^[10]。

函数受制于约束，在约束局部最优值下，梯度和平行；在点处，， 称为与约束相对应的拉格朗日乘数^[7]。

假设在约束曲面上的处具有局部最大值，设是位于约束曲面上的任意参数化曲线，，设，该设置保证在时有最大值^[21]。

用向量形式的链式规则取导数，得到：；

因为是局部最大值，所以^[21]。

因此，通过垂直于约束曲面上的任何曲线，所以垂直于表面，也垂直于表面，最终会落到平行^[21]。

当求解一个约束条件下的极值问题时：设二元函数和在点的某个邻域内具有一阶连续偏导数，，作拉格朗日函数：^[5]。参数称为拉格朗日乘数^[22]，则在约束条件下，二元函数的极值点满足方程组^[5]：

证明：由确定一个连续可导的函数，将其代入得到一元函数，当二元函数在点处取极值时，一元函数在处也取得极值，于是^[5]：

对确定的函数，用隐函数求导公式得到：

代入上式后，整理得到等比关系：

令这个比值为，则有：

由于函数在点取得极值时，必有成立。所以函数在点处取得极值的必要条件为：

该方程组中的前两式的等式左边分别为函数，在点处对和的偏导数^[5]。

求函数在条件下的极值^[9]。

第一：构造拉格朗日函数：

第二：求拉格朗日函数的驻点，解方程：

由(1)-(3)得，，将其代入(4)得；

当时，记；当时，记；

第三：判断构造函数；

则：

当时，；

当时，；

所以是极小值点，极小值为；

是极大值点，极大值为^[9]。

解析几何中有关求解距离的问题，通常可以利用多元函数求解极值的方法来解决，推导点到平面的距离公式时，可以使用拉格朗日乘数法来解决初中阶段的距离问题；此外，拉格朗日乘数法还可以应用到偏微分方程中^[13]。

证明空间中任意一点到平面的距离为^[13]。

证明：设为空间中任意一点，为平面上的任意一点；该问题可以转化为求两点间的最小距离^[13]。

已知两点之间距离的平方为，其约束条件为，由拉格朗日乘数法可知，令

解方程组^[13]：

由（1）（2）（3）式得:

⑤

⑥

⑦

将结果代入④式整理得：

解得：

将此式分别带入⑤⑥⑦式中，得到为唯一驻点：

所以，

即，证毕^[13]。

定义：设为光滑的有界区域，则定义能量泛函为，记^[13]。

定理：设，如果满足条件，则存在，使得对都成立^[13]。

证明：由导数定义，对，有

，对泛函的导数为，证毕^[13]。

在经济学当中比较普遍运用的拉格朗日乘数法来优化马克思的社会扩大再生产；通过运用拉格朗日函数法，可以判定扩大再生产的目标函数最优值只能够在定义域边界点上取得，从而将获得扩大再生产的最优解析解问题，转化成目标函数在定义域边界点上的一些取值比较和判定问题，进而较容易地确定扩大再生产的最优解所处的边界点，获得最优解^[14]。在经济学领域拉格朗日乘子还可以代表利益变化率，设是函数在约束条件下的极值，则拉格朗日乘子是相对于的变化率，即^[23]。

示例：已知某厂商的生产函数，其中表示劳动力的数量，表示资本数量，表示生产量，每个劳动力与单位资本的成本分别为150元和250元，该生产商预算是50000元，怎样分配这笔钱用于雇佣劳动力及投入资本，使得产量最大^[5]。

解：依题意求函数在约束条件下的最大值。

做拉格朗日函数：

令

与方程联立方程组，求得

因此，该生产商雇佣250个劳动力并投入50个单位资本时，可获得最大产量^[5]。

运用拉格朗日乘数法计算岩土工程设计验算点和可靠指标的方法，适用于任何概率分布的相关变量，不必计算当量正态均值和方差、相关变量独立变换，也适用于功能函数为高度线性时采用当量正态化法（JC法）计算可靠指标迭代不能收敛的情况。通过建立构造函数，然后求其对各个变量的一阶偏导并与结构的功能函数联立求解出验算点坐标，之后求出可靠性指标^[15]。

示例^[15]：设可靠指标为：，具有个正态变量的极限状态方程为：，将各正态变量标准化：；为变量的均值和标准差，可靠指标标准正态空间计算的数学模型为：

③

令，③可变为在条件下函数的极值求解问题，因此根据拉格朗日乘数法可构造函数：

或

按2~4计算，为某一常数，求式④，对的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程联立：

⑤

由方程组⑤可解出和，则就是结构可靠指标为最小值时的坐标即验算点坐标，再由求解出结构的可靠指标^[15]。