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余弦定理（cosine theorem）是勾股定理的推广，它描述了任意三角形中三条边和一个角的余弦之间的关系。[3]若a，b，c分别表示中角A，角B，角C的对边，则余弦定理可表述为：[1]
[1]
对余弦定理的研究可追溯到公元前3世纪欧几里得的《几何原本》，但最初它只是以几何定理的身份出现。直到16世纪，法国数学家韦达（F.viete）首次写出了三角形式的余弦定理。[2]但17-18世纪，对余弦定理的应用不多，直到19-20世纪，余弦定理才得到广泛应用。[2]余弦定理的证明方法有多种，如直角坐标系法、比较面积法、向量法等，也可利用勾股定理、托勒密定理、正弦定理和射影定理等推导。[6][7]
在解三角形问题中，若已知三边，或者已知两边及其夹角，可使用余弦定理求其余元素。[8]还可运用余弦相似性度量，即通过两个向量夹角的余弦值来评估两个个体间的相似度。[4]最常见的应用就是计算文本相似度，[4]如文章、简历等。[9]
定义
角的余弦是指直角三角形中，该角的邻边和斜边的比值。余弦定理（cosine theorem），亦称第二余弦定理，[1]描述了三角形中三条边和一个角的余弦之间的关系：在任意三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦积的二倍。[3]若a，b，c分别表示中角A，角B，角C的对边，则余弦定理可表述为：[1]
[1]
由上述公式可知勾股定理[注1]是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广，[3]是把直角三角形中各边平方的关系推广到任意三角形中而得到的。[1]余弦定理还可以用以下形式表达：[1]
[1]
在解三角形问题中，若已知三边，或者已知两边及其夹角，可使用余弦定理求其余元素。[8]
简史
余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，在诞生之初，它只是以几何定理的身份出现。直到16世纪，才出现三角形式。17-18世纪，尽管三角形式偶有出现，但人们主要运用韦达定理来解“已知三边求各角”问题，用正切定理来解“已知两边及其夹角求第三边”问题。19世纪，韦达定理逐渐被抛弃，三角形式的余弦定理逐渐占上风。到了20世纪，韦达定理销声匿迹，三角形式的余弦定理得到广泛应用。[2]
公元前3世纪-公元2世纪
公元前3世纪，欧几里得在《几何原本》卷二分别给出钝角三角形和锐角三角形三边之间的关系（图1、图2）：。[2]
公元2世纪，古希腊天文学家托勒密（C.Ptolemy）在其《天文大成》中利用欧几里得的几何命题解决了“已知三角形三边求角”的问题，虽然他并未明确提出余弦定理，但根据托勒密定理能证明余弦定理。[2]
公元16-18世纪
1593年，法国数学家韦达（F.viete，1540-1603）首次将欧几里得的几何命题写成三角形式（比例式），此外韦达还证明了余弦定理的另一种几何形式，并由此得到韦达定理[注2]：[2]（图3，将代入即可得到三角形式）。之后韦达定理被德国数学家毕蒂克斯（B.Pitiscus，1561-1613）在其《三角学》（1595）中用来解不等边三角形的“边边边”问题。[2]
在17-18世纪26种三角学著作中，只有荷兰数学家斯内尔（W.Snell，1591-1626）的《三角形论》，意大利数学家卡瓦列里（B.Cavalieri，1598-1647）的《平面与球面三角学》、英国数学家爱默生（W.Emerson，1701-1782）的《三角学基础》以及意大利数学家卡诺里（M.Cagnoli，1743-1816）的《平面与球面三角形》给出了三角形式的余弦定理。其中，斯内尔、卡瓦列里、爱默生和韦达一样，直接根据欧几里得的几何命题导出比例式，而卡诺里则利用欧几里得的证法得到如今的形式。但在此时期，人们还是主要运用韦达定理来解“已知三边求各角”问题，用正切定理来解“已知两边及其夹角求第三边”问题。[2]
公元19-20世纪
在19世纪的68种三角学著作中，有51种仅给出三角形式的余弦定理而不涉及几何形式；8种仅采用韦达定理，另9种同时使用了两种形式。韦达定理在19世纪逐渐退出历史舞台，三角形式的余弦定理逐渐一统天下，但利用欧几里得命题或欧几里得的几何方法来推导后者，依然是19世纪绝大多数三角学教材的选择。而在考察的1900-1955年间出版的48种教材中，已完全看不到韦达定理的影子。[2]
证明
直角坐标证法
如图4，以点A为原点，建立直角坐标系，因为AB=c，所以B的坐标为（c，0），则点Ｃ的坐标为，则：[7]
，即。[7]
比较面积证法
如图5，可得，整理得。[7]
平面向量证法
如图6，设，那么，因此，[8][8]
。[8]
勾股定理证法
正弦定理证法
由正弦定理，可得：[6]
[6]
[6]
[6]
。[6]
射影定理证法
由三角形射影定理，可得：[6]
[6]
，可得：。[6]
两角和的正弦证法
两角和的余弦证法
在，过点C作CD垂直于AB，垂足为D，设。[7]
如图8，当为锐角时：[7]
[7]
，整理得[7]。[7]
如图9，当为钝角时：[7][7]
，整理得[7]。[7]
托勒密定理证法
如图10，过C作CD平行AB，交的外接圆于Ｄ，则。分别过C、D作AB的垂线，垂足分别为E、F，则，故。由托勒密定理[注3]可得，[7]，即，整理可得。[7]
复数证法
平面直角坐标系
平面直角坐标系（rectangular coordinates in plane），因是17世纪笛卡儿（Descartes，R.）首先系统提出的，因此又称为平面笛卡儿直角坐标系，是创立解析几何的基础。如图12，在平面上过一定点О作两条互相垂直的轴x和y，在每条轴上取相同的长度单位，这样就在平面上建立了一个直角坐标系，记为xOy。点О称为坐标系的原点，轴x（通常是水平的）称为横轴或x轴，轴y称为纵轴或y轴，合称坐标轴。平面上任一点M的位置便可以这样来确定：由M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是M1，M2，设M1在x轴上的坐标为x，M2在y轴上的坐标为y，则M相对于坐标系的位置就可以用有序实数对（x，y）来确定。（x，y）称为点M的平面直角坐标，x和y分别称为点M的横坐标和纵坐标。[1]通过坐标系的建立，把平面上的点和有序实数对联系起来，从而把平面上点的几何问题转化为其坐标的代数问题，为用代数方法研究几何问题开辟了道路。[1]
余弦函数
余弦函数是六个基本三角函数中的一种，常写作。[1]在坐标法定义中；[1]在锐角三角函数中。[1]
余弦曲线（cosine curve），指余弦函数在区间内的图象。余弦函数及其图象有如下性质：[1]
函数的定义域为，值域为[-1，1]，图形在两直线y=-1和y=1围成的带形区域（含边界）内向左右两侧周期性地无限延伸。[1]函数有极值：。[1]
余弦函数是偶函数，是以2T为周期的周期函数。[1]单调性：在区间单调递增，在区间单调递减。[1]
类似理论
余弦定理是解三角形的理论根据，此外正弦定理和射影定理也可用于解三角形。其中余弦定理和正弦定理刻划了三角形6个基本元素中4个元素之间的基本关系；而射影定理刻划了三角形6个基本元素中5个元素之间的基本关系。这三个定理之间是相互等价的，即。[10]
正弦定理
射影定理
角形的射影定理（projection theorem of a triangle），简称射影定理，亦称第一余弦定理，指三角形的任一边长等于另两边在该边上射影的和，若a，b，c分别表示中角A，B，C的对边，则三角形的射影定理可表述为：[1]
[1]
由于上面三式都联系着三角形内角的余弦，所以称第一余弦定理，而把通常的余弦定理称为第二余弦定理。[1]
勾股定理
勾股定理（Pythagoras theorem）是初等几何的著名定理之一，直角三角形两直角边上正方形面积的和等于斜边上的正方形面积（如图13），即如果直角三角形两直角边的长度为a和b，斜边长度为c，那么a2+b2=c2。中国古代称直角三角形的直角边为勾股，斜边为弦，故此定理称为勾股定理，或勾股弦定理。数学史上普遍认为最先证明这个定理的是毕达哥拉斯（Pythagoras），所以，很多数学书上把此定理称为毕达哥拉斯定理。[1]
托勒密定理
托勒密定理（Ptolemy theorem）[1]是古希腊数学家托勒密（Ptolemy，90-168）从依巴谷（Hipparchus，约190B.C-125B.C）的书中摘出并完善的[7]关于圆内接四边形的边和对角线的关系的定理，即圆内接四边形两组对边乘积之和等于对角线的乘积。这个定理的逆命题也成立，因而可作为判定四边形内接于圆的一种方法（如图14）。此定理可推广，对于一般四边形ABCD，有：。[1]
相关变式
可以将余弦定理的一边转化为两个平方数的和，而这两个平方和与正弦定理与射影定理有着密切联系。[11]
变式1：。[11]
证明：[11]
[11]
[11]
[11]
。[11]
变式2：，证明方法类似于变式1。[11]
正、余弦定理互推：在变式1中，是射影定理的一部分，而是正弦定理两式交叉相乘并相减的一部分。由此证明了，在射影定理成立的条件下，正、余弦定理可以互推。[11]
余弦定理+射影定理⟹正弦定理：证明：利用变式1，，由射影定理并且两边平方得。结合两式子，相减得，即，同理可证正弦定理的其他两个关系式。[11]
正弦定理+射影定理⟹余弦定理：证明：由射影定理得，正弦定理得，两式相加得，利用变式1即证明了余弦定理。[11]
相关推论
推论1：。[11]
证明：根据射影定理和变式1，且。[11]
得到。[11]
已知，则两边去平方，得。[11]分析这个不等式，发现其也可以用排序不等式证明。在三角形中，大边对大角，若，余弦函数在上单调递减，所以，于是。[11]
推论2：若，则。[11]
证明：[11]
，所以。[11]
推论3：。[11]
证明：由正弦定理，代入推论1得，[11]
[11]
。[11]
推论4：。[11]
证明：由推论2，，，三式相加得。[11]
四边形余弦定理
可将余弦定理从三角形推向多边形。如，对于平面四边形ABCD，可得：[12]（*）（其中角B-C是AB与BC交角）。[12]
证明：连接AC，在中，[12]
在中，[12]
①+②得[12]
将③与欲求证式（*）比较，只需证明[12]
而这只需证明，该式左边是线段AC在CD上射影，右边是BC在CD上射影加上AB在AC上射影，二者恰好相等。于是（*）成立，三角形余弦定理对四边形推广成功。[12]
四面体余弦定理
把三角形类比于四面体，把三角形的边类比于四面体的面，三角形的角类比于四面体的二面角。从形式上，可以将三角形的余弦定理推广到四面体，得到：[12]
（**）（其中SA表示顶点A所对面，cos<AD>表示以AD为棱的二面角，其他类推）。[12]
证明：根据射影定理，在四面体ABCD中：[12]
[12]
[12]
[12]
[12]
将，即可得（**）。[12]
高维余弦定理
球面余弦定理
以O为球心，R为半径的球面上有点A和点B，其中，球面线段AB是以О为圆心，R为半径的劣弧AB，点A和点B的距离为该劣弧的长度。根据以上定义，可得出：S=θR（其中，S为点A和点B在球面上的距离，θ为OA和OB的夹角，R为球面半径）。[13]
球面上的余弦定理：在半径为R的球上任取不共线的三点A，B，C，将它们顺次连接得到一个球面三角形，其三边分别称为a、b、c，三个内角分别称为，则有。[13]
证明：是分别和OA，OB，OC方向相同的单位向量，为了表示，需要求出a和b在c点的切线方向。设单位向量分别是这两个方向上的单位向量，可求出：[13]
[13]
则[13]
整理得。[13]
高维球面余弦定理
对于二维的球面来说，其余弦定理为[13]
如果令R趋近于无穷大[13]
运用洛必达法则[注4]，可得出[13]
则。[13]
从该式可发现这就是二维平面的余弦定理，这说明平面是半径趋近于无穷大的球面，平面余弦定理其实是球面余弦定理的特殊情况。类似地，n维空间的余弦定理也应该是n维球面余弦定理的特殊情况，余弦定理对于空间的维度和曲率有着特殊的意义，因而它可以被推广到任意维度包括分数维以及任意曲面上，结合这两种理论，甚至可以推导出任意维度，任意曲率的空间中的余弦定理。[13]
解三角形
在任意三角形中，有3条边和3个角6个元素，已知三角形的3个元素，其中至少有一元素是边，求出其他未知元素的过程叫作解斜三角形（或解任意三角形）。在余弦定理的表达式中，有a，b，c三条边和一个角总计4个元素，用方程的观点易知，已知其中3个元素，就能求出余下的第4个元素。因此，利用余弦定理，可以解决以下三类三角形问题：[3]
（1）已知三角形的三边，求其他元素；[8]
举例：已知的三边，求的三个内角。[8]
解：根据余弦定理，可得：[8]
，[8]
利用计算器计算可得。由三角形内角和定理可得：。[8]
（2）已知三角形的两边及其夹角，求其他元素。[8]
举例：已知中，，求三角形的其他元素。[8]
解：根据余弦定理，可得：[8]
，故[8]
由，可得[8]
由，可得[8]
也可由三角形内角和定理得：。[8]
（3）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角。[3]
在已知两边一对角的条件下，利用余弦定理求第三边的过程中，出现了关于第三边为未知数的一元二次方程，方程根的情况决定了第三边解的情况。如：方程没有实数根，即第三边不存在，就是说三角形无解；方程有一正根、一负根，即有一第三边，就是说三角形有一解；方程有二不等的正根，即第三边有两种情形，就是说三角形有二解。[3]
举例：在中，a，b，c为角A，角B，角C的对边，若求角A、角C和边c。[15]
解：由余弦定理，得[15]
当时，由余弦定理可得；当时，由余弦定理可得。[15]
余弦相似性度量
余弦相似度，也称余弦距离，是用向量空间中两个向量夹角的余弦值作为衡量两个个体间差异的大小的度量，用以评估它们之间的相似度。[4]余弦值落于区间[-1，1]，余弦值越接近1，表明夹角越接近0°，也就是两个向量越相似。[16]当两个向量的方向完全相反时，余弦取最小值-1。[5]
假设向量则可得：
将两个向量拓展到n维空间[5]，，则这两个向量夹角余弦的计算公式如下：[16]
。[16]
余弦距离是在欧氏距离的基础上提出的，相比欧氏距离，余弦距离更加注重两个向量在方向上的差异，而非距离或长度上的差异。[5]欧氏距离能够体现个体数值特征的绝对差异，所以更多地用于需要从维度的数值大小中体现差异的分析，比如使用用户行为指标来分析用户价值的相似度或差异。余弦距离更多地从方向上区分差异，而对绝对数值不敏感，更多用来区分用户兴趣的相似度和差异。[4]余弦距离最常见的应用就是计算文本相似度。将两个文本根据它们的数值，建立两个向量，计算这两个向量的余弦值，就可以知道两个文本在统计学方法中的相似度情况。[4]如可利用余弦距离来比较文章、简历等文本的相似性从而对其分类，[9]此外，余弦距离还可应用在如钢种相似度评估等多维数据的比较中。[16]
文本相似度计算示例：[17]步骤：中文分词→列出所有词构成词集→计算两个短句的词频TF（term frequency）→TF向量化，即生成每个句子的文档向量x和y→代入计算余弦距离。[17]
参考资料 17
- 参考 1
- 参考 2
- 参考 3
- 参考 4
- 参考 5
- 参考 6
- 参考 7
- 参考 8
- 参考 9
- 参考 10
- 参考 11
- 参考 12
- 参考 13
- L’H?pital’s rule — Britannica
- 参考 15
- 参考 16
- 参考 17
注释
- 勾股定理：即如果直角三角形两直角边的长度为a和b，斜边长度为c，那么a2+b2=c2，中国古代称直角三角形的直角边为勾股，斜边为弦，故此定理称为勾股定理，或勾股弦定理。[1]
- 韦达定理：三角形底边与两腰之和的比等于两腰之差与底边被高线所分的两条线段之差的比。[2]
- 托勒密定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
- 洛必达法则：是在微积分领域求解未定式值的一种方法。该方法指出，在满足一定条件下，对于未定式值求解问题，可以先对分子和分母分别求导后再求极限来求解。洛必达法则是确定未定式值的常用手段。[14]