正弦定理

正弦定理（英文：law of sines）指的是三角形中各边长和它所对的角的正弦^[注1]的比值相等，且比值为该三角形外接圆的直径。对于，如果为的外接圆半径，则正弦定理的数学表达式为：^[6]

其中，为三角形的三个角，为三个角的对边。^[6]

正弦定理刻画了三角形六个基本元素中四个元素的关系，是解三角形的基本根据之一，在解三角形中具有重要的应用。^[1][2][7]

早期人们对三角学的研究是处于天文学发展的需要。10世纪时，波斯天文学家阿布尔·威发（Abu al-Wafa' al-Buzjani）在精编三角函数表用于天文台工作之余，首先发现了平面和球面三角形的正弦定理，并发表在其天文学著作《天文学大全》。^[4][3]

13世纪时，波斯天文学家纳西尔丁(Nasir ad-Din, al-Tusi）在其著作《横截线原理书》中，首次对正弦定理进行了陈述。《横截线原理书》是数学史上流传至今最早的三角学专著，自此三角学开始脱离天文学，成为数学的一个独立分支。^[4][3][8][9]

在欧洲，1464 年，德国数学家雷格蒙塔努斯(J.Regiomontanus)完成了著作《论各种三角形》，这是欧洲第一部三角学专著，在该专著中讲述一般三角形的正弦定理并给出了证明。^[4]

角的正弦是指直角三角形中，该角的对边和斜边的比值。正弦定理描述的是任意三角形中三条边与对应角的正弦之间存在这样一个关系：在一个三角形中,各边长和它所对的角的正弦的比值相等，且比值为该三角形的外接圆的直径。^[6][10]

如右图所示，中，所对的边分别为，则有：^[6][10]

（为的外接圆半径）

在解三角形问题中，若已知两角和一边，或者已知两边和其中一边所对的角，可使用正弦定理求其余的元素。^[5]

如图所示, 在中, 不妨假设， 以较长的边为半径， 分别以点为圆心作两段弧，分别交于两点, 交的延长线于点，过点 分别作垂线。^[11]

在和 中，有^[11]

也就是：

同理，，定理得证。^[11]

由三角形的面积公式可知以下等式成立：^[11]

即：

显然，。

同理有，定理得证。^[11]

如图所示, 作的外接圆圆，连接,,取线段中点，连接，由三角形边长的垂直平分线过外接圆圆心可知，。在中，，则有：^[11]

也就是：。

同理，可证和，定理得证。^[11]

如图所示, 作 的外接圆圆， 过 点作圆 的直径, 则 ，由直径所对应的角是圆周角可得. 于是，在中, 有：^[11]

因为同弦对应的圆周角相等，所以. 故。

同理，可证和，定理得证。^[11]

中，所对的边分别为，为的外接圆半径，则由正弦定理可推出^[12]

(1)

(2)

(3)

(4)^[12]

证明：根据(1)可以得到

所以

同理可证^[12]

(5)

证明：根据(1)可以得到

所以.^[12]

在中，如果以三个角的正弦值作为三条边，可构成一个新的三角形，记为，则有以下结论成立。^[13]

(1)以为边可作成一个三角形。

证明：

容易知道，并且有

同理可得：定理得证。^[13]

(2)由正弦定理可知，新三角形与原三角形是相似的，即。

(3)由于，即和的三个角对应相等： 。

(4) 的正弦定理可表示为：，由于，因此也就是说，的外接圆的直径为 1。

(5) 由的面积公式可得到的面积为：。^[13]

已知锐角, 以为边可作成一个三角形。如右图所示，如果分别以为顶点，为半径画圆，则此三圆必交于的垂心。^[13]

证明：

在中,

，

因此，

同理，

因此，

上式也被称为第一类正弦定理。

在中，分别为三条边，由推论1可知，

即，定理得证。^[13]

锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于外接圆的直径与内切圆的直径之和。^[13]

证明:

设的垂心为，则有：

由上式可得：

即

结合可知：

，定理得证。^[13]

如右图所示，设锐角的垂心到三角形三边的距离分别为，则有：^[13]

证明：

锐角中，四点共圆。

由图可知，

即。

同理，

故，定理得证。^[13]

一般地，的三个角及其所对的边，称为三角形的六个基本元素。已知三角形六个基本元素中的几个，求其他元素的过程叫做解三角形。^[12]

正弦定理应用于解三角形主要有以下两种情形：

(1) 已知两角和任意边，求其余两边和一角

举例：在中，已知，求(保留两个有效数字)

因为所以

^[12]

(2) 已知两边与其中一边的对角，求其余两角和第三边

举例：在中，已知求(精确到)和(保留两位有效数字)

已知，所以，因此也是锐角。因为

所以

所以^[12]

柔软轻绳的一端固定，其中间某点拴一重物，用手拉住绳的另一端，初始时，垂直且被拉直，与之间的夹角为.现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角不变，在由垂直被拉到水平的过程中，探究和上张力的变化。^[14]

除正交分解法^[注2]之外，此问题还可通过正弦定理解决。设将拉到与竖直方向的夹角为，点受力图如图所示。^[14]

由三角形内角和可得，.可以得到力的三角形如图所示^[14]

由正弦定理可以得到.

化简公式可以得到

因为不变，所以保持不变。从增大到过程中，一直在增大，所以增大。因为，在从增大到过程中，先从一个钝角减小到，再从减小为锐角，而是最大的正弦值，所以先增大后减小，因此先增大后减小。^[14]

渐进成形技术是一种通过局部变形的累积产生整体变形的无模成形技术。^[15]周六如^[16]认为数控渐进成形中材料厚度变化遵循正弦定理，成形极限和厚度有很大关系。通过比较板料厚度的差异，并与正弦定理的预测值进行对比，分析正弦定理的适用范围和精确性，以求增强对渐进成形过程中板料壁厚变化的控制，提高板料的成形极限与成形能力，从而加工出高质量的钣bǎn金零件。^[15]

正弦定理、余弦定理和射影定理是解三角形的三个基本定理。正弦定理和余弦定理刻画的是6个基本元素中4个基本元素的关系，射影定理刻画的是6个基本元素中5个基本元素的关系，这三个定理是互相等价的。^[7][6][17]三面角正弦定理描述了三面角的三个面角和三个二面角的关系。^[18]球面三角形的正弦定理描述了顶点不在同一大圆的球面上的三角形角的正弦关系。^[19]

余弦定理描述的是三角形的三条边与某个角的关系，其数学表达式为：^[17]

在解三角形问题中，应用余弦定理可以在已知两边及其夹角时求出第三边，已知三边长度，应用余弦定理可以求出三个角。应用余弦定理求得的边和角是唯一的。^[17]

射影定理描述的是三角形的三条边与某两个角的关系，即三角形的某一边等于另外两边在该边上的投影之和，其数学表达式为：^[19]

^[19]

若三面角的三个面角分别为它们所对的二面角分别为，如图，分别为分别为，则有

^[18]

除了在平面几何中，在球面三角学中也有对应的正弦定理，称为球面三角正弦定理。^[19][20]

在球面三角学中，球面上两个大圆弧相交构成的角称为球面角，大圆弧称为球面角的边，大圆弧的交点称为球面角的顶点。^[21]

在球面上不在同一大圆上的三个点用三条大圆劣弧联结起来所围成的图形,称为球面三角形。球面三角形具有六个元素：三条大圆劣弧称为球面三角形的边，通常用表示, 各边长度等于由球心测得的相邻顶点之间的角距离；三条大圆劣弧所构成的角叫作球面三角形的角,通常用等表示。如右图所示，三点构成球面三角形（红线部分），三个球面角分别为。^[21]

在球面三角形中，各边的正弦与其对角的正弦成比例，这是球面三角形的正弦定理。如右图所示，在球面三角形中，三个角为及其所对的边分别为，则球面三角形的正弦定理可用以下数学公式描述：^[19][20]

在球面中，

由于^[22]

整理可得：

^[22]

容易看到上式右端是关于，也就是对于也成立。^[22]

即，由于等式各项均为正，^[22]

因此有，定理得证。^[22]

平面（二维）几何的正弦定理可以推广到更高维的维欧氏空间 中。中的维 单形的维顶角的正弦定理表述如下：设中的维 单形的顶点集，其维面的维体积为所对应的维顶角为, 则有：^[23]

式中，维顶角的正弦值由以下表达式定义：^[23]

为，表达式如下：^[23]

。

当时，即可得到平面几何中三角形的正弦定理。

双曲函数是由指数函数和确定的一系列函数。^[24][25]

双曲正弦: ；

双曲余弦: ；

双曲正切: ；

双曲余切: 。

由欧拉公式可知，双曲函数与正弦函数存在着紧密的关系。^[26]

由 可知；

由可知；

由可知；

由可知。

在中，双曲函数同样存在与正弦定理类似的规律，用数学公式表示为：^[24]

(这里表示双曲函数)^[24]

称该定理为罗氏正弦定理，结合正弦定理，还可得到双曲函数与三角形的边的关系：^[24]

。^[24]