CMO

中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad），简称CMO，即全国中学生数学冬令营。全国中学生数学冬令营是在全国高中数学联赛的基础上进行的一次较高层次的数学竞赛^[1]。中国奥林匹克数学竞赛的主办机构为中国数学会^[2]。

1956年，华罗庚提议在中国举办中学生的数学竞赛。数学竞赛活动在1978年得以重新恢复，八个省市，包括北京、上海、天津、陕西、安徽、辽宁、四川和广东，共同举办了一次联合的数学竞赛^[3]。1986年开始，每年一月份举办全国中学生数学冬令营（Chinese Mathematical Olympiad，简称CMO）^[1]。1990年开始，冬令营设立了陈省身杯团体赛^[1]。1991年，全国中学生数学冬令营正式命名为中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad，简称CMO）^[3]。它成为中国中学生最高级别、最具规模、最有影响的数学竞赛^[1]。2021年起，名称改为“全国中学生数学奥林匹克竞赛（决赛）^[4]。

中国数学奥林匹克竞赛赛邀请各省、自治区、直辖市在全国高中数学联赛中的优胜者，以及中国香港、中国澳门、俄罗斯、新加坡等代表队近700名学生参加，角逐出全国金银铜牌，全国前60名的选手将入选当年的中国国家集训队^[4]。中国奥林匹克数学竞赛考试内容包括了凸函数和基本不等式、最大值与最小值、方程与多项式、数论、不定方程、质数性质、组合数学、平面几何等多个数学领域^[5]。该竞赛根本目的在于培养学生的数学兴趣,培养学生的数学探索能力,提高学生的数学素质^[6]。

1946年，华罗庚在访问苏联期间，亲自观察了苏联的数学竞赛活动。在数学竞赛开始之前，著名数学家为中学教师和竞赛选手举行了普及性的讲座。1956年，华罗庚提议在中国举办中学生的数学竞赛。然而，正当数学竞赛活动准备向北京以外的城市推广时，随后出现了一系列政治运动，如“反右斗争”、“大跃进”、“反右倾”等，紧接着又是“三年经济困难时期”。这些政治运动和经济困难导致数学竞赛活动不得不被中止。数学竞赛活动在1978年得以重新恢复，八个省市，包括北京、上海、天津、陕西、安徽、辽宁、四川和广东，共同举办了一次联合的数学竞赛^[3]。

1981年10月，共有25个省、市、自治区的1万6千多名高中学生参加了高中数学竞赛活动^[7]。

1985年12月，在上海举行了中国数学会成立五十周年大会。中国中学生在第26届IMO的不如意表现给这次会议蒙上了一层难以摆脱的阴影。北京大学校长丁石孙、南开大学副校长胡国定、复旦大学副校长谷超豪以及中国科学技术大学副校长龚昇等人商定，决定在人力和资金方面提供支持，以改进中学生数学竞赛选手的选拔和培训工作^[3]。同年，中国数学会在北京大学、南开大学、复旦大学和中国科技大学的共同倡议下，决定自1986年开始，每年一月份举办全国中学生数学冬令营（Chinese Mathematical Olympiad，简称CMO）。这个冬令营邀请各省、市和自治区在全国高中数学联赛中脱颖而出的优胜者参加，总人数超过100人。参与人员的分配原则是每个省、市、区至少派遣一名代表，然后根据设定的分数线来选拔其他优秀学生^[1]。

1990年开始，冬令营设立了陈省身杯团体赛^[1]。1991年，全国中学生数学冬令营正式命名为中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad，简称CMO）^[3]。它成为中国中学生最高级别、最具规模、最有影响的数学竞赛^[1]。2021年起，名称改为“全国中学生数学奥林匹克竞赛（决赛）^[4]。

中国奥林匹克数学竞赛的主办机构为中国数学会。中国数学会是中国数学工作者的学术性法人社会团体，是中国科学技术协会的组成部分。中国数学会的主要工作有：组织学术交流活动，编辑出版数学刊物，开展国际学术交流，举办数学竞赛，开展普及工作，组织促进数学教育改革的活动，根据国家建设和学科发展的需要举办培训班或讨论班等^[2]。

中国奥林匹克数学竞赛考试内容包括了凸函数和基本不等式、最大值与最小值、方程与多项式、数论、不定方程、质数性质、组合数学、平面几何等多个数学领域^[5]。

凸函数和基本不等式

凸函数与基本不等式、少量变元的不等式、较复杂的不等式以及最大值与最小值^[5]。

方程与多项式

方程与多项式分为等式与方程、多项式、集合与函数方程^[5]。

如：集合与函数^[8]

（1）实数集、有理数与无理数的稠密性, 实数集的界与确界。

（2）n 维 Euclid 空间的基本概念与性质: 例如 Rn 上的距离、邻域、聚点、孤立点、内点、外点、边界点、内部、外部、边界、开集、闭集、闭包、有界 (无界) 集、基本点列等。

（3）实数系基本定理及其在 n 维 Euclid 空间中的对应定理: 确界存在定理、单调有界收敛定理、闭区间套定理 (闭区域套定理/闭集套定理) 、Cauchy 准则、Bolzano- Weierstrass 定理 (致密性定理) 、聚点定理、有限覆盖定理等。

（4）函数、映射、变换及其几何意义, 隐函数, 反函数与逆变换, 反函数存在定理, 初等函数及相关的性质。

如：多项式^[8]

（1）数域与一元多项式: 数域与一元多项式的概念和基本性质; 多项式整除与带余除法; 最大公因式及辗转相除法.

（2）因式分解定理: 互素、不可约多项式的定义及性质, 因式分解及唯一性定理; 标准分解、重因式及重根的定义, 重因式存在的判定方法; 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质等; 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.

（3）有理系数多项式: 本原多项式、高斯 (Gauss) 引理、有理系数多项式的因式分解、爱森斯坦 (Eisenstein) 判别法、有理数域上多项式的有理根等.

（4）多元多项式及对称多项式、韦达 (Vieta) 定理.

数论

数论包括不定方程、Fermat小定理及其应用、质数的性质^[5]。

组合数学

组合数学分为点与线段的染色问题、三角形与完全图、比赛与游戏、方格表与圆圈、整数元素集合的性质、子集族^[5]。

如：集合与点集^[8]

集合及其运算, 集合的对等及其基数, 可数集与不可数集; n 维欧氏空间中的点集: n 维欧氏空间, 聚点、内点、边界点、孤立点, 开集、闭集、完备集、 Cantor 集, 直线上的开集、闭集及完备集的构造等.

平面几何

平面几何分为综合法、三角函数法、坐标向量法^[5]。

如：1、 向量与坐标^[8]

（1）向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.

（2）坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.

（3）向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.

（4）向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.

（5）应用向量求解一些几何、三角问题.

2、轨迹与方程^[8]

（1）曲面方程的定义: 普通方程、参数方程 (向量式与坐标式之间的互化)及其关系.

（2）空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.

（3）建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.

（4）球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.

3、平面与空间直线^[8]

（1）平面方程、直线方程的各种形式, 方程中各有关字母的意义.

（2）从决定平面和直线的几何条件出发, 选用适当方法建立平面、直线方程.

（3）根据平面和直线的方程, 判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.

（4）根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等; 求两异面直线的公垂线方程.

4、二次曲面^[8]

（1）柱面、锥面、旋转曲面的定义, 求柱面、锥面、旋转曲面的方程.

（2）椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质, 根据不同条件建立二次曲面的标准方程.

（3）单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.

（4）根据给定直线族求出它表示的直纹面方程, 求动直线和动曲线的轨迹问题.

冬令营的活动周期为5天，其中第一天是开幕式，第二和第三天进行数学考试，第四天则安排学术报告或观光游览活动，最后一天是闭幕式，宣布考试成绩并颁发奖项^[1]。

比赛邀请各省、自治区、直辖市在全国高中数学联赛中的优胜者，以及中国香港、中国澳门、俄罗斯、新加坡等代表队近700名学生参加，角逐出全国金银铜牌，全国前60名的选手将入选当年的中国国家集训队，是我国级别最高、规模最大、影响力也最大的中学生数学竞赛^[4]。

参加数学冬令营的人数约200 人，其中前 100名基本上都被高校现场签约录取，其中前60名被北大、清华录取。现在，每年被当场签约的学生达到约120名，其中北大、清华录取的就有80-100左右^[9]。

CMO考试完全模拟IMO进行，每天3道题，限四个半小时完成。每题21分（为IMO试题的3倍），6个题满分为126分。各省、市、自治区派出选手参赛，还有香港、澳门和俄罗斯代表队。题目难度较国际数学奥林匹克为高，技术性极强。比赛设有一至三等奖。成绩顶尖学生将进入中国国家集训队，预备同年7月的国际数学奥林匹克^[10]。

届数年份地点历届CMO举办地点、协办单位第1届^[11]1986年天津南开大学第2届1987年北京北京大学第3届1988年上海复旦大学第4届1989年安徽中国科学技术大学第5届1990年河南《中学生数理化》编辑部第6届1991年湖北华中师范大学第7届1992年北京北京数学奥林匹克发展中心第8届1993年山东山东大学第9届1994年上海复旦大学第10届1995年安徽中国科学技术大学第11届1996年天津南开大学第12届1997年浙江浙江大学第13届1998年广东广州师范学院第14届1999年北京北京大学第15届2000年安徽中国科学技术大学第16届2001年香港香港中文大学第17届2002年上海上海中学第18届2003年湖南长沙市第一中学第19届2004年澳门澳门大学第20届2005年河南郑州外国语学校第21届2006年福建福州一中第22届2007年浙江温州中学第23届2008年黑龙江哈尔滨师范大学附属中学第24届2009年海南嘉积中学第25届2010年重庆重庆南开中学第26届2011年吉林东北师范大学附属中学第27届2012年陕西西北工业大学附中第28届2013年辽宁东北育才学校第29届2013年江苏南京师范大学附属中学第30届2014年重庆重庆巴蜀中学第31届2015年江西江西省鹰潭市第一中学第32届2016年湖南长沙市雅礼中学第33届2017年浙江杭州学军中学第34届2018年四川成都市第七中学第35届2019年湖北华中师范大学第一附属中学第36届2020年湖南长沙市长郡中学第37届2021年福建福建师范大学附属中学第38届2022年广东深圳中学第39界2023年湖北武钢三中第40届2024年浙江镇海中学参考资料：^{[12][13][14][4][15]}

《全国性五项学科竞赛条例》适用于中国的全国中学生数学竞赛，包括总则、组织、竞赛内容、命题、成绩评定与证书发放、监督、惩罚、经费、条例的制定和修改，解释等^[16]。