对称多项式

一个多元多项式，如果把其中任何两个元互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式。如x2+y2+z2 xy+yz+zx 1*X 2*B+4都是关于元x、y、z的对称多项式。数学中的对称多项式（英语：Symmetric polynomial）是一种特殊的多元多项式。

例1分解因式

分析 这是一个二元对称式，二元对称式的基本对称式是,任何二元对称多项式都可用,表示，如，二元对称多项式的分解方法之一是：先将其用表示，再行分解.

解 ∵

∴原式

例2分解因式

此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c，即为，，原式不变，这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f(x）、f(a）如对一元多项式可记作,f(a）即表示当时多项式的值，如时多项式的值为，当时多项式的值为.

如果时多项式f(x）的值为零，即，则f(x）能被整除（即含有之因式）.

如多项式，当时，，即f(x）含有的因式，事实上.

证明 设,

若，则

,

由于,

∴

对于多元多项式，在使用因式定理时可以确定一个主元，而将其它的元看成确定的数来处理.

现在我们用因式定理来解例题.

解 这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设，易知当a=b和a=c时，都有f(a)=0，故a-b和a-c是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设，其中k为待定系数，令,,可得.

∴

例3分解因式.

分析 这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知,,是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是，故可设（其中k为待定系数），取，,,可得，所以

原式.