基本不等式

基本不等式（英文：arithmetic mean-geometric mean inequality）也称平均值不等式、算术平均-几何平均不等式、AM-GM不等式、AG不等式等，是指在非负实数范围内，若干数的几何平均数不超过它们的算术平均数，当且仅当这些数相等时等号成立。^[1][2][7][3]数学语言可表示为：设为个非负实数，它们的算数平均值记为，几何平均值记为，则有，当且仅当时，等号成立。有时也指均值不等式链（英文：Mean Inequality Chain）：

。^[7][8]

基本不等式的二维形式最早由古希腊数学家欧几里得（英文：Euclid）所证明。^[9]1821年，法国数学家奥古斯丁-路易·柯西（法语：Augustin-Louis Cauchy）使用一种反向归纳法证明了一般形式的基本不等式。^[10]此后，对基本不等式的不同证法一直是人们研究的热点，至今已有上百种不同的证明方法。^[9]

基本不等式有加权形式、积分形式、矩阵形式等众多形式。^[11][12][13]一般形式的基本不等式也可以推广成均值不等式链（英文：Mean Inequality Chain）、雷多不等式（英文：Rado’s Inequality）、雅各布斯塔不等式（英文：Jacobsthal’s Inequality）、谢尔宾斯基不等式（英文：Sierpinski’s Inequality）等。^[8][14]

基本不等式在数学领域有广泛的应用，可以利用它来证明不等式、解几何问题、求极值、比较大小等，它本身也是对数函数凹性的体现。^{[5][15][16][17][18]}基本不等式在经济学中可用来计算收益率和比较不同计算方法得到的年收益率等，在计算机领域中可以对图形的数字化数据进行细化和转换等处理。^[6][4]

设为个非负实数，它们的算数平均值记为，几何平均值记为，则算数平均值与几何平均值之间有如下的关系，即，当且仅当时，等号成立。^[7]

示例：，则，，显然。

早在公元前500年，古希腊数学学派毕达哥拉斯学派（英语：Pythagoras）中就有正数的算数平均数和几何平均数的概念，他们对其进行了研究并提出了一种计算方法。^[19]二维形式的基本不等式是古希腊数学家欧几里得（英文：Euclid）证明的。^[9]古希腊亚历山大学派的数学家帕普斯（英文：Pappus）在《数学汇编》（英文：Synagoge）中将两种平均值放入同一个圆中，直观地展示了它们的大小关系。^[20]1821年，法国数学家奥古斯丁-路易·柯西（法语：Augustin-Louis Cauchy）在他的书《皇家理工学院的分析课程，第一部分，代数分析》（法语：Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, première partie, Analyse algébrique）中使用反向归纳法给出了一般形式的基本不等式的证明。^[10]此后，对基本不等式的不同证法一直是人们研究的热点，至今已有上百种不同的证明方法。^[9]

方法1

（1）当时，已知结论成立。

（2）假设对时命题成立，即对于，有，那么，当时，

由于

关于是对称的，任意对调与，即将写成，写成，和的值不改变，因此不妨设，，显然，以及

即，对个正数，由归纳假设，得

而，

于是，两边乘以得

从而，有。

直接验证可知，当且仅当所有的相等时等号成立，故命题成立。^[21]

方法2

（1）当时，已知结论成立。

（2）假设对时命题成立，即对于，有，那么，当时，

于是。

由上得知，当且仅当所有的相等时等号成立，故命题成立。^[21]

方法3

（1）当时，已知结论成立。

（2）假设对时命题成立，即对于，有，那么，当时，

所以，故得。

从而命题成立。^[21]

方法4

这个方法是斯里兰卡数学家迪亚南达（锡兰语：Punchihewa Harischandra Diananda）于1960年提出的证明方法。

先介绍杨氏不等式。

杨氏不等式（英文：Young‘s Inequality）：若，且时则有，当且仅当时，等号成立。^[22]

下面依然使用数学归纳法：

（1）当时，已知结论成立。

（2）假设对时命题成立，即对于，有，那么，当时，由杨氏不等式

记

，即。

则成立。^[23]

方法5

这个方法也叫反向归纳法，是法国数学家奥古斯丁-路易·柯西（法语：Augustin-Louis Cauchy）于1821年提出的证明方法。

第一步，从时成立容易推出时该式也成立：

由此推出时成立。

第二步，设，则必存在，使得。

即，从而。^[23]

方法6

这个方法是苏格兰数学家乔治·克里斯托（英文：George Chrystal）在其著作《代数论》（英文：Algebra）给出的证明方法。

先介绍二项式定理。

二项式定理（英文：binomial theorem）：对任意正整数，有如下公式成立：

。^[24]

（1）当时，已知结论成立。

（2）假设对时命题成立，即对于，有，那么，当时，由对称性，不妨设是中最大的，由于，

设，则，并且有。由二项式定理，则有

。

从而时也成立。不等式得证。^[25]

令，如果能证明关于是单调增加的，即

，那么由，得到，则不等式成立。

现在证明的单调性。

设，从而有

这表明。另外，由于，则对任意，得。从而不等式成立，当且仅当所有的相等时等号成立。^[26]

设，由多项式展开式，

因为

所以，，于是，

两边开次方，得到，因为，所以

。^[18]

求在条件下的最大值，作辅助函数

对对偏导数，得出。对求和，得到

，即。从而。于是在点取得最大值

，即。从而，得证。^[18]

先介绍排序不等式。

排序不等式（英文：Rearrangement Inequality）：设两个实数组和满足

，则

其中是的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条件是或成立。^[27]

令，由排序不等式，得

所以。^[27]

先介绍琴生不等式。

琴生不等式（英文：Jensen’s Inequality）：设是上的凸函数^[注1]，，则。^[28]

取，令，则，由琴生不等式，有

，取即有。^[28]

对于，是一组非负实数，有如下的基本不等式的加权形式：

。

特别地，有，式中。^[11]

也称极限形式。设函数及，在上有定义，且下面所出现的积分有意义。记

，，。以上分别被称为的加权算术平均，加权次幂算数平均和加权几何平均。其中称为权函数。则有如下的大小关系：

，即。（，包括的情况）

特别地，对任意在区间上可积的正值函数，都有成立。^[12]

对于系数都是正实数的矩阵，若，，则满足

。^[29]

对于都是正定矩阵的情况，若记为矩阵的酉不变范数^[注2]，则成立。^[13]

记长方形的两个边长分别为，则它的周长为，面积为。与该长方形面积相同的正方形的边长为，周长为。根据二维形式的基本不等式有，即长方形的周长大于正方形的周长。从而有结论：在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最小。^[30]

一般形式的基本不等式则指出，在所有体积相同的维几何体中，正维立方体的边长和最小。^[31]

对于正实数，有如下的不等式链成立：

以上四式写成符号分别为：HM，GM，AM和QM，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。该不等式链被称为均值不等式链（英文：Mean Inequality Chain）。^[8]

雷多不等式（英文：Rado’s Inequality）:设，则，仅当时等号成立。^[14]

波波维奇不等式（英文：Popovic’s Inequality）:设，则，仅当时等号成立。^[14]

雅各布斯塔不等式（英文：Jacobsthal’s Inequality）:设，则，仅当时等号成立。^[14]

卡森不等式（英文：Carlson’s Inequality）:

（1）设，令，则

。

（2）设正实数中每次取个数的算数平均和几何平均分别定义为

，则。^[32]

（1）

（2）

（3）记，则

且。^[33]

谢尔宾斯基不等式（英文：Sierpinski’s Inequality）：，仅当所有相等时等号成立。^[34]

例：设，证明。

证明：由基本不等式，得。、

又，所以有。^[5]

例：假设正数满足，证明。

证明：由假设得，再由基本不等式得

，当且仅当时等式成立。于是

由此，得。所以，，当且仅当时成立。^[15]

例：的三边长满足，求证

证明：因为

所以，欲证的不等式等价于

构造函数，一方面

所以

另一方面，因为是三角形三边长，所以，且均为正数，利用基本不等式，有

所以

从而，欲证不等式成立。^[16]

例：若是正数，则的最小值是

证明：

由得，，

以上三式相加得

等号成立当且仅当时成立。^[17]

例：已知，比较的大小。

解：当时，，同理，故。

当时，。

当时，。又，而

所以。^[35]

基本不等式在经济学中可用来计算收益率和比较不同计算方法得到的年收益率等。基本不等式也可以转换不同的形式以达到期望的效果。比如可以使用基本不等式计算金融回报，讨论收益的算术平均数、几何平均数和方差之间的精确关系和近似关系。^[6]

在计算机领域中可以用基本不等式处理图片。比如可以使用基本不等式对图形的数字化数据进行细化和转换，从而获得新的图形索引下的目标结果。^[4]基本不等式也可以计算网络信号的信息。比如可以计算中继网络的组合平均性并讨论网络的平均错误率性能界限。^[36]