不可数集

一个不是可数的无限集

不可数集

不可数集（uncountable set）是不可数的无限集合。[4]19世纪初期，数学界对数学分析的批判运动促进了集合论的诞生。1873年12月7日，格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）在给尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）中的信中说，他已成功证明了实数集是不可数的。从1878年开始，康托尔把势（基数）定义为等势集合的共同属性，并用表示自然数集的势，用表示实数集的势并提出了著名的连续统假设。1883年，他证明了康托尔定理：任何一个集合的势都小于它的幂集的势。[2]

不可数集（uncountable set）是不可数的无限集合。[5]

19世纪初期，数学界对数学分析的批判运动促进了集合论的诞生。1873年12月7日，格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）在给尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）中的信中说，他已成功证明了实数集是不可数的。从1878年开始，康托尔把势（基数）定义为等势集合的共同属性，并用表示自然数集的势，用表示实数集的势并提出了著名的连续统假设。1883年，他证明了康托尔定理：任何一个集合的势都小于它的幂集的势。[3]

不可数集合与自然数集合之间不存在一一对应的映射。[2]自然数的所有子集的集合是不可数的。[9]不可数集有交、并、差、补等运算，满足集合的基本运算性质，如交换律、结合律等。[10]

不可数集可应用在数学分析、概率论、计算机、物理等领域。概率的概念是建立在不可数集合上的。[6]输入信号总可以分解成随机序列，随机序列中的每个符号的取值可以是取自连续的可数集，也可以取自连续的不可数集。[7]

有限集合与无限集合

若集合只有有限个元素，称集合是有限集合。[11]若集合不是有限的，称集合是无限的或者无穷的。[10]

可数无限集合与可数集合

若集合与自然数集等势，称集合是一个可数无限集合。若集合是有限的或是可数无限的，称集合是可数的。[12]

定义1

一个无限集如果不是可数的，称为不可数集。[12][5]

定义2

如果不存在从集合到正整数集的单射，称集合是不可数集。[13]

定义3

若集合的基数既不是有限的，又不等于，称集合是不可数集。[14][15]其中（读作“阿列夫零”）表示可数集或自然数集的基数。[16][17]

定义4

若集合的基数严格大于，称集合是不可数集。[15]

定义1

对于有限集合，称的元素个数为集合的基数（cardinal）或阶（order），记为，或。除此之外约定。对于无限集合，形式地记。[10]

定义2

已知集合、，若存在双射，则称、是等势的或有相同的基数。记作或或。[10]

自然数基数

自然数集的基数记作。[18]

连续统基数

实数集以及与对等的一直线上所有点组成的点集的基数记为。[18]

简史

集合的思想可以追溯到古希腊的原子论学派，他们把直线看做一些原子的排列。19世纪初期，数学界对数学分析的批判运动促进了集合论的诞生。1851年，波尔查诺（Bolzano.B）发表著作《无穷悖论》，肯定了实无穷的存在，建立了集合等价的概念，还注意到无穷集合的某些真部分有可能等价于整体的情况。[3]

1870年康托尔（Cantor.G.F.B）在1871年至1872年的论文中明确提出了点集、点集的导集、导集的导集等由实数构成的更复杂的集合。1873年12月7日，康托尔在给戴德金（Dederkind.J.W.R）中的信中说，他已成功证明了实数集是不可数的。康托尔在1874年提出了集合的定义。在集合概念产生后，进一步定义了集合的子集、交集。并集、映射等系列概念。[3]

从1878年开始，康托尔把势（基数）定义为等势集合的共同属性，并用表示自然数集的势，用表示实数集的势并提出了著名的连续统假设。1883年，他证明了康托尔定理：任何一个集合的势都小于它的幂集的势。从1883年起，康托尔研究有序集，利用良序概念建立序数理论，把数学归纳法推广为更一般的超限归纳法。1895年，在康托尔发表的题为《关于超穷集合论的基础》的论文中，给出了超限基数和超限序数的定义，引进了符号，并把它们按序型的大小排成序列，定义了基数和序数的加法、乘法和乘方运算，讨论了各自的算术理论，即集合论的基数理论和序数理论。 [3]

康托尔
康托尔

正整数列集合

定理1：设是一切无限正整数列所成的集合，则不可数。

证明：用反证法。假设可数，则的所有元素可以排成如下的一个序列，记为序列(1)：

把每个数列列出来构成一个表：

其中且当时与不全相同。作一个正整数列：那么必是序列(1)中的某一项，设，由数列相等的意义，有其中等式显然是矛盾的，所以为可数集的假设不能成立。故为不可数集。[1]

实数集

定理2：全体实数构成的集合是不可数的。[2]

证明：因为，令若能证是不可数集，则也为不可数集。下面用反证法证明

假设是可数的，则必可表示为,其中是间的任一实数。

设其中（如0.2和0.123可记为0.1999…和0.12299…），设

其次，构造一个实数使

这样与所有实数不同，因为它与在位置1不同，与在位置2不同等等。这证明了，产生矛盾，因此是不可数的，即是不可数集。[2]

无理数集

定理3：无理数集不可数。

证明：设为有理数集，为无理数集，因，可数，如也可数，将会得到可数的结论，与不可数矛盾。故必不可数。[1]

交、并

已知集合、，定义交、并分别为

[10]

差、补

已知集合、，定义差集为

特别地，若有一个默认的全集，记，称为的补集，也记作。[10]

运算性质

在全集下，，集合的交、并、补具有如下性质：

（1）;（交换律）

（2）;（结合律）

（3）;（幂等律）

（4）;（吸收律）

（5）;（分配律）

（6）；（零律）

（7）;（幺律）

（8）;（补律）

（9）（逆律）

（10）；（De Morgan律）[10]

集合的广义并

集合的并是并概念的推广。设是标号集，为集族，是到的一一对应，且由集族中的集合的元素组成的集合称为族中集合的广义并集，记为用符号表述为：

[19]

集合的广义交

集合的广义交是交概念的推广。设是标号集，为集族，是到的一一对应，且由属于族中的每个集合的元素组成的集合称为族中集合的广义交集，记为用符号表述为：

[19]

相关定理

（1）（Cantor-Bernstein定理）若与的一个子集对等，而与的一个子集对等，则与对等。[20]

（2）如果不可数集是集合的子集，则集合是不可数集。[2]

（3）自然数的所有子集的集合是不可数的，且。[9]

证明：由定义的函数是的，所以。可以证明对的子集的每个序列存在某个使得对所有。这表明了不存在从到上的映射，因此。[9]

定义集合如下：。数用来从区分：如果，那么，并且如果，那么。不管哪种情况，都有。[9]

（4）对每个集合，有。[9]

（5）对每个集合，有。[9]

（6）[9]

数学分析

实数集合是最常见的不可数集合之一。实数集合在数学分析、微积分等领域中有着广泛的应用，例如在研究函数的连续性、极限、积分等方面。[21]

概率论

在概率论和统计学中，不可数集合的概念被应用于概率的定义，以及描述连续随机变量的概率分布，如正态分布等。[6][22]

测度论

在测度论中，不可数集合的概念被用于描述测度空间和测度理论。测度论是实分析和概率论的重要基础，不可数集合的性质对于研究可测函数、测度空间、Lebesgue积分等有着重要的作用。[23][24]

计算机

在信息论中，输入信号总可以分解成随机序列，随机序列中的每个符号的取值可以是取自连续的可数集，也可以取自连续的不可数集。[7]

物理

不可数集在物理中也有一定的应用，如动力系统中的不变集。不变集包括非周期运动的不可数集。[8]在混沌的定义中，也利用了不可数集的性质。[25]

参考资料 25

  1. 参考 1
  2. 参考 2
  3. 参考 3
  4. 参考 4
  5. 参考 5
  6. 参考 6
  7. 参考 7
  8. 参考 8
  9. 参考 9
  10. 参考 10
  11. 参考 11
  12. 参考 12
  13. 参考 13
  14. 参考 14
  15. 参考 15
  16. 参考 16
  17. 参考 17
  18. 参考 18
  19. 参考 19
  20. 参考 20
  21. 参考 21
  22. 参考 22
  23. 参考 23
  24. 参考 24
  25. 参考 25
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