圆周率

圆周率（英文名称为：Pi ^[2]），常用符号π来表示。圆周率的定义为：圆形的周长与直径之比，公式为π=C/D，D为圆形的直径；C为圆形的周长^[3]。π既是一个无理数也是一个超越数，并且他可以表示为无穷连分式的形式^[9][10][11]。

中国数学家刘徽是中国最早运用科学方法计算π值的人，约263年，他用割圆术得出π=3.14。此外，中国数学家祖冲之也求得圆周率3.1415926＜π＜3.1415927，他算出π的8位可靠数字，保持世界记录九百多年^[12]。至1949年，英国数学家列维·史密斯和雷恩奇算出π的1121位，是人工算π的最高记录^[13]。 1949年，人类第一次使用电子计算机计算π^[13]，至2024年，π值已计算到小数点后约105万亿位。^[14]

π是数学上的一个重要常数，与许多数学问题、数学公式有关^[5]，例如初等数学中的圆周长、圆面积、椭圆面积、球体积计算等^[5][15]，在数学的无穷^[16]、级数^[17]、积分^[18]的计算中也常常使用π^[5][19]，很多函数中也可以看到π的存在，如：柯西分布^[20]、伽玛（高斯）函数等^[18][21]。在数学之外的介子理论、交流电路等方面同样引入π来进行计算推导^[6][7][22]。

圆周率定义为圆形的周长与直径之比，它也等于圆形之面积与半径平方之比^[4]。

即：

为圆形的直径；为圆形的周长^[3]。

19世纪，柯西、维尔斯特拉斯给出了极限、收敛的精确定义，确立了以极限理论为基础的数学分析体系，使微积分有了严格的理论基础^[23]。英国数学家沃利斯对单位圆的研究，得到，这个式子表示的是一个单位圆的面积，后来，瑞士数学家欧拉给出了通式：^[24]。

复数，可以理解为一个实数和一个虚数复合而成的“复合数”^[25]，通常称的表达式为复数，其中和为任意实数，为虚数单位^[26]。

由欧拉恒等式可知，是定义为一个单位长度在圆弧上旋转半圈后得到的数，该数就是，所以。其中为自然对数的底数。

圆周率符号为（英文名称为：^[2]），取自希腊语“周围—πúρωαπó”的第一个字母^[1]。1706年，威尔士数学家威廉·琼斯（Wiliam Jones，1675—1749年）引入了符号代表圆周率^[2][1][13]。

公元前950年前后，基督教《圣经》中最早记载了圆周率为“3”，巴比伦、印度、中国等也长期使用这个粗略而简单实用的数值，约公元前250年，古巴比伦的一块石碑上写着，圆与它的内接正六边形的周长之比为1：0.96，这意味着圆周率的值为3.125^[1][27]。中国的刘徽提出的“圆径一而周三”曾广泛流传，《周髀算经》中，就记载有这一结论，木工师傅有两句从古流传下来的口诀“周三径一，方五斜七”，意思是说，直径为1的圆，周长大约是3，边长为5的正方形，对角线之长约为7。这正反映了早期人们对圆周率和这两个无理数的粗略估计。东汉时期还明文规定圆周率取3为计算面积的标准，后人称之为“古率”^[1][27]。

阿基米德（Archimedes，公元前287—公元前212年）是科学地研究圆周率这一常数的第一个人，开创了几何计算的阶段，真正使圆周率计算建立在科学的基础上，他提出了一种能够借助数学过程，把的值精确到任意精度的方法。由图1知，圆周长大于内接正四边形而小于外切正四边形，因此＜＜，在他的一篇论文《圆的测定》之中，阿基米德第一次使用上、下界来确定的近似值，他用几何方法证明了“圆周长与圆直径之比小于而大于”到150年左右，希腊天文学家托勒密（Ptolemy，90—168年）得出3.1416，这是自阿基米德以来取得的巨大进步^[12][28]。

割圆术是中国数学家刘徽提出的，他是中国最早运用科学方法计算值的人，在263年前后，他就用此方法得出=3.14，后人称之为“徽率”。割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，比阿基米德同时用内接和外切正多边形的方法简捷得多，割圆术中刘徽提供了一种精加工方法，他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，获得具有4位有效数字的圆周率=3.1416。此外，中国的另一位数学家祖冲之（429—500年^[29]）也求得圆周率3.1415926＜＜3.1415927，同时得到的两个近似分数，即约率为，密率为，他算出的的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年，被命名为“祖率”^[12]。

1150年，印度数学家婆什迦罗第二（1114—1185年） 则算出的近似值为 3.1416^[30]。约1424年，阿拉伯数学家卡西经过演算805306368个内接与外切正多边形的周长，最终得到3.14159265358979325，这个值有17个有效数字，首次突破由祖冲之所创造的记录^[31][32]。

1579年，法国数学家韦达（Francois Viete，1540—1630年）在《数学定律，应用于三角形》中，通过计算圆的正393216边形，得出3.1415926535＜＜3.1415926537，同时他利用分析式和级数乘积来刻画：

coscoscos

=

这个式子给科学家们指出了一个崭新的计算的思路，这是分析法计算圆周率时代的第一个解析表达式。1621年，德国—荷兰物理学家、数学家斯涅耳（Willebrod Snell，1580—1626年）对原来古典方法作出了一些三角上的改进，利用这一改进，只需算到边形，就可得到34位值。1630年，意大利罗马数学家格林贝格（Peter Andreas Grünberg，1939—不详）利用斯涅耳的方法得到40位值^[13]。

在1706年英国数学家、天文学家梅钦发现了Machin公式：

actanarctan

arctan+-+，利用此公式将的值计算到了100位^[13]。

1734—1735年，在前人的基础上，欧拉（Leonhard Euler，1707—1783年）得出著名的欧拉公式^[13]：

++++

到了1737年，欧拉利用反正切函数arctan，根据格雷戈里的展开式将右边展开，得到了著名的欧拉级数^[13]：

1844年，德国汉堡的数学家斯特拉斯尼茨基和达什使用施瓦兹公式计算到小数点后200位。1949年，英国数学家列维·史密斯和雷恩奇算出的1121位，是人工算的最高记录^[13]。

18世纪法国科学家蒲丰（Buffon，1707—1788年）创造的一种几何与分析思想之外的方法求的值，即“投针求的概率论方法”^[13]。

将长为的匀质细针随机地掷于画了等距平行线族的平面上，相邻两平行线距离为，求针与平行线相交的概率。

解法：设为针中点到平行线的距离，则，设为针与平行线的夹角，则^[13]。

由图（1）知，当且仅当sin，时，时针与平行线相交，于是所求概率：

，于是。1901年，意大利数学家拉泽里尼投针3408次，求得3.141592^[13]。

1949年，人类第一次在美国马里兰州阿伯丁的军队弹道研究实验室里用电子计算机算，包括冯·诺伊曼在内，用ENIAC和梅钦公式计算值到2048位，突破了千位数。1959年，美国国际商业机器公司（IBM）制成第二代电子计算机—世界上的一台晶体管电子计算IBM—7090^[13]。1961年，丹尼尔·尚克斯和雷恩奇用IBM—7090分别使用挪威斯托默公式：

arctanarctanarctan

和高斯公式：

arctanarctanarctan

将计算到小数点后100256位，达到110万位高峰^[13]。

1985年，乔纳森·波尔文和彼得·波尔文发表波尔文算法：

初值：，

重复计算：和，

最后得到，它四次收敛于圆周率^[13]。

2002年，日本的金田康正利用

初值：，，，

重复计算：，，，，

最后计算：=在日立制作所的超并行超级电脑系统日立—SR—8000—MPP下，净耗时400多小时，算出12411亿位值，这一成绩刷新了2061亿位的世界纪录^[13]。

2020年，美国北阿拉巴马慈善计算组织的创始人蒂莫西·穆利肯使用个人电脑，耗时303天，将圆周率的值计算到小数点后约50万亿位。2021年，瑞士格劳宾登应用科学大学的研究人员宣布，他们借助研究所的一台计算机，耗时108天，将值计算到小数点后约62.8万亿位，创下截止到2020年值计算的最精确纪录^[33]。

的推导过程如下：

任意取一个直径是的圆，作这个圆的内接正多边形，作内接正边形，并且把正边形的边长记做，周长记做。那么把这个正边形的边数加倍，且无限制地继续加倍的过程，就得到一系列边数递增的圆内接正多边形，这些正多边形的周长组成一个无限数列^[3]：

（1）

设圆的周长为，因为三角形两边的长度的和大于第三边的长度，所以内接正边形的边长小于内接正边形的边长的两倍，就是，因此…所以有^[3]：

（2）

对于一切的，得到^[3]：

（3）

根据（1）式和（2）式可以推导出数列（2）递增数列；另一方面，这个数列的每一项都小于一个常量，这时，数列（1）就有极限，当圆内接正多边形的边数无限增加的时候，内接正多边形的周长就接近于一个确定的值，这个值叫做圆的周长^[3]：

（4）

这里为正多边形的边数，是它的周长，设圆的直径是，它的周长是，圆内接正边形的边长、周长分别是、，如图2，得到^[3]：

，因此，取极限后就得到：

这就说明了圆的周长和直径的比值是一个常数。把这个常数记作就得到^[3]：

也是一个常数，古希腊欧几里得《几何原本》（约公元前3世纪初）中提到圆周率是常数，中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）中有“径一而周三”的记载，也认为圆周率是常数^[8]。

是一个无理数，也就是说它是一个无限不循环小数。1767年，德国物理学家约翰·海恩里希·兰伯特（Johann Heinrich Lambert，1728—1777年）率先证明了是一个无理数，根本找不到任何分数表达式^[9]。证明是无理数时，兰伯特首先证明了将tan写成连分式的展开形式，当是一个非零的正整数时，tan是一个无理数。 因为tan，这就意味着是一个无理数^[34][35]。

1882年，德国数学家林德曼证明了是超越数，既不可能是任何整数多项式的根^[10][34]。当一个数可以被写成含有理系数的多项式方程的根的形式时，不管这个数是实数还是复数，则这个数都可以被定义为代数数，否则，就是超越数。这就是说，如果存在非零的有理数使得方程成立，我们就说式中的是一个代数数。而当为一个超越数时，这个数就不是任何一个含非零的有理数系数的多项式方程的根。林德曼就证明了圆周率就是这样一个超越数^[35]。

的无理数证明，通俗易懂的是美国数学家尼云（Ivan Morton Niven 1915—1999年）在1947年给出的如下证法：

设，其中是互素的正整数，构造函数以及

计算可知

由于

因此，

对求直至阶的导数，注意到和都是整数，可推得和也都是整数，由于时sin，因此

sin，这说明是一个正整数，但是时有sin，根据夹逼定理，当时，有

sinsin

这显然与是一个正整数相矛盾，因此是无理数^[36]。

圆周率也可以用无限级数的嵌套分数的连分式形式来表示，表达式为^[11]：

即：

幂级数在时，收敛于，即

=（）（1）

对此逐项积分得：

arctan（）（2）

，因右端级数当时收敛，故上式在时也成立，当时，由（2）得

（3）

此式又被称为Π的莱布尼茨公式，是史上首条π的精确无穷级数公式。 然而，此式右端的交错级数是条件收敛而非绝对收敛，若用其前项和作近似，产生的误差将介于与之间，因此该级数的收敛速度是不能令人满意的^[37]。

为了在计算时收敛速度快一些，可取较小的正数为，并代入（2）式，一般来说，的绝对值越小，该幂级数的收敛速度越快，而的绝对值越大，该级数的收敛速度越慢^[37]。如在（2）式的两端令，得等式：

=（4）

（4）式中级数的收敛速度显然要优于（3）式中级数的收敛速度，但是级数中含有的根式不易计算。17世纪后的许多著名数学家想到，将分成两个或两个以上小角度的和，每个小角度用反正切表示，这样就可利用（2）式计算每个小角度进而算出^[37]。一般地，取tan为某个真分数，由

计算出

就可得到恒等式，例如：令tan，因

于是有^[37]：

arctanarctan

用类似的方法，还可进一步将上面的arctan分成两个更小的角度之和^[37]。找到恒等式后，利用（2）式便可计算了，例如：由上面的等式可得：

这样计算就更简单，收敛速度也较（3）快^[37]。

当圆的半径为1时，其面积恰好为，因此必介于单位圆的内接正多边形面积与外切正多边形面积之间，因单位圆的内接正边形面积为sin，外切正边形面积为tan，故sintan，下面利用上式来求的近似值，为简便起见，令（），则有sin＜＜tan，因此当用sin去近似时，误差不超过tan-sin，记=sin，=tan^[37]，则有：

……，……，

=3.141592517 =3.141592722

=3.141592645 =3.141592658

=3.141592653 =3.141592653

……，……，

由此可见，随的增大而增大，随的增大而减小，且两者越来越接近^[37]。

是数学上的一个重要常数。随着近代数学不断深入的发展，逐步发现与许多数学问题、数学公式有关^[5]。

在很多初等数学公式中出现，例如圆周长，为半径^[15]；圆面积；椭圆面积；球体积等^[5]。

与 “无穷 ” 关系密切，其中的无穷表达式主要指无限连分式 （数 ）、无穷乘积、无穷级数、反正切式等^[16]。

1650年，英国数学家Waliss得到的无穷乘积表达式^[11]：

的无穷级数非常之多，其中反正切展开式使用率较高。

在两角和的正切公式tan=（tantan）/（tantan），中，令tan=a，tan=b，则arctan，arctan再取反正切得：arctanarctanarctan（1），设，，则（1）式为：

arctanarctanarctan（2），在（2）式中若令，则得

arctanarctan（3），若令，则得

arctanarctanarctan，再由（3）式得

2arctanarctan，如此递推下去，可得许多的反正切式^[16]。

级数的定义为：给个一个数列，将其各项依次相加，得到的表达式

称为数项的级数或者无穷级数（简称为级数）^[38]。

大多数周期信号都可以用正弦和余弦级数的展开式来表示，一个周期信号函数的傅里叶级数可表示为：

（cossin）

cos

sin

式中：为信号基频，单位为Hz；为周期信号的周期；和之间的关系可表示为，角频率和之间的关系可表示为：

利用傅里叶级数，周期信号可以展开成无限多个正弦项和余弦项之和^[17]。

（1）（Leibnig级数）

（2）（Fousies级数）

数据来源：^[5]

（Euler-Poisson积分）^[5]

Fejer积分是指带Fejer核的积分，这类积分在理论证明及工程应用上非常广泛，许多重要定理的证明、习题的解答都能看到它们的作用^[39]。

^[5]

若函数在简单正向闭曲线所围成的区域内解析，在区域的边界上连续，是区域内任意一点，则：

^[40]

函数的定义为：设有两个变量和和一个实数集的子集，若对于中的每个值，变量按照一定的法则有唯一一个确定的值与之对应，则称变量是变量的函数，记作，其中数集称为函数的定义域，相应的函数值的全体称为函数的值域^[41]。

如果一个随机变量的密度函数形如：

则称该随机变量为服从参数为的柯西分布^[20]。

广义积分，在时，是收敛的，因此当取大于零的不同值时，它就有不同的值，所以它确定是一个的单值函数，这个函数叫做伽玛函数，记作，或高斯函数，记作，即：

伽玛函数在工程技术问题的研究中有广泛的应用^[21]。

的函数方程是的函数方程在为有理数时的一个特殊情形，如果和都是整数，，那么对所有的，则有^[42]：

cos

胡尔维茨函数方程中，当时，得到黎曼函数方程，即^[42]：

cos或者，等价地有：

sin^[42]。

7世纪中叶，概率论在帕斯卡和费马两人间书信来往中开始得到发展。它形成一门学问是1812年拉普拉斯发表的解析概率论，距今约180年的历史。把与概率联系在一起，可以从小球命中圆、蒲丰氏问题（投针问题）着手^[6]。

在边长的正方形中有个直径为的圆，投掷小球，问小球命中圆的概率是多少？其中命中正方形四周边线或命中圆周都算是命中圆^[6]。

解：

正方形的面积是，正中圆的面积是。故小球命中圆的概率%，因为投球太容易，这样提出问题不太适合，因为瞄准当中投，相当多的人是百发百中的，即概率应是100%，但为理论上即从数学上的考虑是或28.26%^[6]。

法国的科学家蒲丰（1707—1788年）于1777年提出了这样的一个问题，在画有距离为的平行线的平面上，任意投一枚针，设针长为，试求针与任一条直线相交的概率^[6]。

设为针的中点到最近一条平行线的距离，显然易知：，由几何概率定义，它等于阴影区域的面积与矩形面积之比，即^[6]：

显然，当二平行线距离与针长度相等时，针与直线相交叉的概率为，又设为投针次数；为相交次数，得：，由实验结果就可得值的近似值。在历史上也有很多人用“蒲氏原理”进行过试验求出的不同的近似值^[6]。

1935年，日本物理学家汤川秀树提出介子理论，他认为：就像光子是和电磁场及电磁力联系在一起的一样，U—场也存在一个“量子”；汤川认为核力有一个—厘米的作用球，在—厘米处，核力突然下降，核力可以看成是一个核子发射出一个量子，另一个核子吸收同一个量子，根据测不准原理，可以得出：，其中，，代入公式得到：

当取厘米时，可求出此量子的质量约为电子质量的200倍，因为中子和质子、质子和质子以及中子和中子之间的作用是相等的，所以，这种粒子可以以三种形式出现：中性、带正电荷或负电荷，并且电荷大小等于质子的电荷^[7]。

欧拉公式的几何意义是：当一个矢量在复平面上以匀角速度绕原点转动时，矢量端点在实轴和虚轴上的投影分别作简谐振动，在正弦交流电路中电流强度可以表示为sin，由欧拉公式cossin，把等式各项中的代换为，得^[22]：

cossin

在交流电路理论中用电流相量来代表相应的旋转矢量，把三角函数运算转化为复数运算，从而简化计算过程，设三相四线制供电系统中的线电流为^[22]：

sin，

sin，

sin，

对三个以相同角速度沿逆时针方向旋转的矢量，可以利用平行四边形法则求出它们的合矢量，合矢量在坐标轴上的投影就代表合成的简谐振动；求出三个电流的合向量后，中线上中合成的电流强度也就确定了^[22]：

电阻元件、电感元件和电容元件上电压的合成结果可用同样的方法得到^[22]。

2011年，国际数学联盟正式宣布，将每年的3月14日设为国际圆周率日。2019年，联合国教科文组织宣布3月14日为国际数学日。2020年3月，中国数学界以网络科普讲座的形式庆祝了第一个国际数学日^[8]。

2021年，瑞士科学家利用超级计算机历时108天，将圆周率计算出小数点后62.8万亿位数。^[14]

2022年，谷歌公司将圆周率计算到小数点后100万亿位，创下当时的世界纪录。^[14]2023年4月，Solidigm公司追平这一纪录。^[14]

2024年3月14日，总部位于美国加州的计算机存储公司Solidigm发布声明称，该公司已将圆周率Pi（π）计算到小数点后约105万亿位，打破此前100万亿位的世界纪录。本次计算历时75天，利用了100万GB数据，需要的计算能力与数十万部智能手机相当。^[14]