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刘徽（约汉末魏初[2]—约西晋初年[注1][1]），魏国淄乡（今山东邹平县）人，[注1][3][1]魏晋期间著名的数学家，中国传统数学理论体系的奠基人之一。[5][6]
刘徽自幼聪颖，博览群书，[5]于魏陈留王（曹奂）景元四年（263年）为《九章算术》作注[注2]，[7][8]并自撰自注《重差》一卷。[2]他致力数学研究，终生未仕，[5]于西晋初年逝世。[1]北宋大观三年（1109年），被封为淄乡男。[4]
刘徽完善了中国古代数学理论体系；[9]创建了“割圆术”，[10]算出，[11]创立“刘徽定理”，[11]为至少二十多个数学概念给出明确的定义，[2]成为数学专门术语，为后世长期承袭，直至沿用至今，有些还远传日本。[8]他撰有《九章算术注》《重差》（又称《海岛算经》）和《九章重差图》一卷。[5][6]他的数学成就影响中国后世数学的发展。[2]日本数学史家三上义夫和薮内清称刘徽为古今东西“数学界的一大伟人”。[2]吴文俊把刘徽与欧几里得、阿基米德等相提并论。[4]后人为纪念刘徽，把3.14称为“徽率”。[12]
早年经历
三国魏晋时期，[1]刘徽出生在魏国淄乡（今山东邹平县）境内一平民家庭，[注1][1]具体生卒年月不详。[5]刘徽自幼聪颖，在很小的时候就表现出惊人的数学天赋，[11]自幼博览群书，融会贯通，把《九章算术》当做主要读物。[5][6]
注《九章算术》，撰《重差》
刘徽成年后，对《九章算术》进行深入研究，[3]发现《九章算术》只有术文、算题和答案，却没有任何数学定义和推导、证明。此外，《九章算术》也有少数不准确的算法长期未得到纠正。加上当时社会上盛行“辩难之风”，齐鲁一带学术氛围浓厚，数学发达。泰山周围的刘洪、郑玄、徐岳、王粲等都是著名数学家，对《九章算术》深有研究。刘徽在这样的环境中不懈地钻研和积累，广泛收集前人和同代人研究《九章算术》的资料，形成了自己的独特见解。[11]于魏陈留王（曹奂）景元四年（263年），刘徽开始为《九章算术》作注[注2]。[7][8]
同时，刘徽认为《九章算术》和汉代数学家张苍对于“重差术”[注3]均发明不够，于是他另撰《重差》一卷，加上注解，附在《九章算术》的《勾股》章之下，[2]作为《九章算术注》第十卷。[13]于西晋武帝时，刘徽完成《九章算术注》十卷注[注2]。[7]
终身研究数学
极限思想
刘徽受春秋战国时代的名家和墨家的极限思想影响，提出的无限可分，而又存在最终的极限的观念：“割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所矣。”[9]
他将圆周作为内接正多边形边数无限增大的极限，证明了《九章算术》所给出的面积公式；在弧田术中，将极限思想用于计算弓形面积；在商功章“阳马术”注中，他把阳马和鳖腝为堑堵，通过用中截面的分割，使每次从阳马和鳖腝中取出部分体积之比保持2：1，证明了刘徽体积原理；在“开方术”注中，对于开方不尽的数值，刘徽提出“求其微数”，以十进分数逼近无理根。[11][9]
唯物主义思想
刘徽在《九章算术·少广》章开立圆术注里算出球体积是球径立方的十六分之九，指出东汉张衡受着“阴阳奇偶之说”的束缚，“不顾疏密”，以致把球体积算成是球径立方的八分之五，错误是非常明显的，体现了他那种实事求是的唯物主义。[7]
逻辑推理思维
刘徽是中国最早以演绎逻辑为主要方法论证数学命题的人。他在《九章算术注》中，对《九章算术》的公式、解法的证明，都做了相当严谨的逻辑证明。[5][11]其推理既有归纳又有演绎。[5]
他主张“析理以辞，解体用图”，利用图形分析这个逻辑推理的重要辅助工具，把逻辑推理与直观分析结合起来。以综合法为主证明方法，即从命题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证的结论。同时运用一些分析法、反驳法等。[5]
思辨思想
刘徽对数学的思辨性有深刻的认识，重视和强调数学理论的研究，在注重实用的中国传统数学基础上开辟了理论化研究的道路。[5]他反对不理解数学原理生搬硬套公式的做法。他认为应该把数学理论理解透彻，在这个基础上灵活地运用数学方法。[11]
刘徽认为各种数学对象，虽形式多样，但它们之间有着密切的联系。掌握了某些典型的例题解法后，“触类而长之”，同性质的问题俱可迎刃而解。因之，他特别注重对数学理论的抽象概括和提炼，竭力引进数学中最基本的概念与原理。他首先改变《九章算术》中数学名词“约定俗成”的惯例，对许多重要的数学概念都给出了明确的定义。例如率、正、负数，“方程”，幂等古代数学用语都作了界定。[5]
出入相补思想
刘徽将图形的有限可分性概括为出人相补原理，并把它作为最重要的普遍原理应用全部几何理论。 他将赵爽的《勾股方圆图注》中处理几何问题的方法，进一步概括为“出入相补，各从其类”的普遍原理，并推广应用于求积与勾股等有关公式与定理的证明。他用“令颠倒相补，各以类合”的方法证明了勾股容圆公式，并证明了整数勾股弦的一般公式。在面积计算方面，他用“以盈补虚”的方法，分别证明了圭田、邪田、箕田等直线形的面积公式。[9]
完善数学理论体系
《九章算术》涉及的数学理论门类繁多，但使人难以了解其各种算法的数学原理及其内在的逻辑联系。刘徽的注释一面阐述每个具体算法的理论依据，一面提示各种算法之间的内在联系，使之成为一个严谨、完整的理论体系。[9]
数系理论
《九章算术》中使用的数有自然数、分数和正负数。但“开方术”说：“若开之不尽者为不可开，当以面命之。”即原有数系已无法表出方根之数，则只有引进新数，把正方形的“边”，即它的长度即是方根。[9]刘徽发明“求微数法”，创造了十进分数来无限逼近无理根。以十进分数无限逼近无理数，完成了实数系统。[5][9]
筹式演算理论
在算法理论方面，刘徽建立了从比率到“方程”的一系列筹式演算的统一理论。[5]他用数的同类和异类来解释分数与正负数的加减运算。这样，数的相加、相减被统一地看作是同类筹的相并、相消，并且它们相应的运算法则已经蕴涵于分数和正负数的定义之中了。[9]
他从比率概念所规定的遍乘、通约、齐同[注4]三种基本演算出发，建立《九章算术》中筹式演算的一般基础。“列衰”与“返衰”是由多项组成的一组率；“盈朒”是两组率的复合；“方程”则由多行率所组成。于是，以率的基本运算为“纲纪”，实现了筹式演算的模式化与程序化。[5][9]
勾股与测量理论
刘徽提出勾股“不失本率原理”，在实质上建立了相似勾股形的理论，既不涉及角的度量与性质，又避免了平行理论的麻烦，为勾股测量术奠定了理论基础，比欧几里得几何学中的一般相似三角形理论简明。同时，刘徽将勾股形的不失本率原理与比率算法结合起来，推演变化，构成勾股测量方法与原理，使中国古代测望之学达到“重差术”水平。[9]
几何学的求积理论
刘徽在直线形的面积理论方面，将长方形面积等于长、宽之积当做一条公理来使用；以“出入相补原理”处理平面直边多边形求积问题；以提出了“牟合方盖”[注5]理论解决球体积计算，将球体积的计算向前推进了一大步；用极限方法建立了“阳马居二，鳖腝居一”的原理，建立刘徽体积原理[注6]，奠定了中国数学多面体求积理论的基础。他在求积理论方面的成就，使中算家接近了微积分的大门。[9]
十进分数理论
在《九章算术·少广》章开方术注中，刘徽认为在开平方或开立方不尽时，原来那种用分数来表示奇零部分的方法并不十分准确，他主张继续开方下去，以十进分数表示平方根或立方根的近似值来。[7]即以十进分数逼近无理根。这是求圆周率精确近似值的先决条件，同时也开了十进小数先河。[11]这种方法和我们现在用开方求无理根的十进小数近似值的方法完全相同。阿拉伯著名数学家阿尔·卡西(al-kashi)在十五世纪才应用十进分数表示2x的值；在欧洲，直至十六世纪才由鲁道夫（C.Rodolff）和斯提文（S.Stevin，1548-1620年）提出十进小数的方法。[2]
“割圆术”和圆周率
在刘徽之前，人们一般使用“周三径一”来进行有关圆的计算，[9]刘徽创建“割圆术”，[2][10]从圆内接正六边形开始，逐次加倍地增加边数，一直计算到内接正192边形的面积。由此得出。这个值的求比古希腊阿基米德的方法更为简便。刘徽又求出更精确的近似值超过了阿基米德。这是当时世界上最精确的圆周率值。[11][9]奠定了中国在这个领域领先西方千余年的基础。[11]
同时，“割圆术”把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，为计算圆周率和圆面积，建立了严密的方法，是世界数学史上一项重大的成就，[14]影响中国后世数学的发展。如南北朝时期著名数学家祖冲之及其儿子祖暅运用刘徽发明的割圆术，计算圆内接正6144边形和正12288边形的面积，得出3.1415926<<3.1415927，在当时世界数学的发展中处于遥遥领先的地位。[2][10]
附：《九章算术》提出的圆面积公式，用现今的符号写出就是：
其中S、L、r分别是圆面积、周长、半径。《九章算术》还提出了阳马（直角四棱锥）和鳖腝(nào）（各面皆为勾股形的四面体）的体积公式：
其中Vy、Vb、a、b、h分别是阳马、鳖腝的体积和宽、长、高。
创立了“刘徽定理”
刘徽借助对截面积原理即现在高中数学课本中的“祖暅(gèng）原理”[注7]，设计了“牟合方盖”，即两个圆柱体正交所得的公共部分，指出“牟合方盖”和球的体积之比为4：，正确解决球体积的问题。[11]这种算法称之为“刘徽定理”。他用到的“祖氏原理”[注8]，是后来西方所称的卡瓦列里（B.Cavalieri，1598-1647年）公理，比刘徽晚了1300多年，比祖暅晚了1000多年。[2]刘徽利用极限思想和无穷小分割方法证明了这个原理，并将锥亭之类即多面体分割成有限个长方体、堑堵、阳马、鳖腝，求其体积之和，解决体积问题，从而将多面体理论建立在无穷小分割基础之上。[11]
定义“率”“方程”“正负数”等
刘徽在“审辨名分”的原则指导下，对一系列数学概念下了明确的定义。据初步统计，刘徽在他的注文中至少对二十多个数学概念直接给出了明确的定义，所下定义的这些数学概念，除少数是刘徽所创立的，如“幂”等外，绝大多数是《九章算术》原来使用而没有定义的。[2]他注释各种数学现象的字词，成为数学专门术语，为后世长期承袭，直至沿用至今，有些还远传东瀛，一般用语如类(种类）、故（原因）、推（推导）等；空间形式用语如觚、隅、幂、牟合方盖等；数量关系用语如全（整数）、分（分数）、率等。[8]
率
“率”是《九章算术》中使用最多的概念之一。刘徽把它定义为“数相与者”，并指出：“凡所谓率者，细则俱细，粗则俱粗，两数相推而已”（卷三）。这里的“相与”即“相关”的意思，意谓“率”即是数与数之间所存在的“细则俱细，粗则俱粗”的比例关系。刘徽给出率的定义后，利用率的性质证明今有术的公式，论证分数运算、盈不足术与方程组解法的原理。他在率的概念和今有术的基础上，还提出一些新的结果，如合比定理和方程新术。[2]
方程
《九章算术》原术只给出这组率中的一个解，把方程组和不定方程组混为一谈。刘微给方程以严格的定义后，指出《九章算术》方程章第13题是一个不定方程问题，其解应是一组率。在中国数学史上，刘徽是第一个提出来不定方程问题的人。[2]
正负数
刘徽关于正负数的概念和定义，在世界数学史上是处于遥遥领先的地位。[2]
改进方程的解法
《九章算术》中解线性方程组用“直除”法。[2]刘徽提出以“互乘相消”来代替“直除”法，以简化计算。[9]他对齐同术给出了明确的定义和定理，而且推广到许多方面，使它在分数比较、“方程”等解法上有了应用。[2]同时他还提出具比率算法色彩的“方程新术”：“令左右行相减先去下实(常量项)，又转去物位(未知量项)，求其一行二物正负相借者易其相当之率。又令二物与他行互相去取，转其二物相借之数即皆相当之率也。各据二物相当之率对易其数，即各当之率也。”企图将“方程”诸术纳入比率算法，从而建立统一的筹式演算理论的思想。[9]
主要著作
刘徽撰有《九章算术注》《重差》（又称《海岛算经》）和《九章重差图》一卷。唐代初年，《九章重差图》已失传。现在传本《九章算术注》和《海岛算经》。[5][6][15]
《九章算术注》
《九章算术注》是刘徽的数学工作、数学成就以及蕴涵其中的科学思想，集中的体现。[2]它以为《九章算术》作注解的形式，[2]一方面对《九章算术》的数学概念、具体方法和正确结论作了系统、全面、详尽的定义、论述和证明，由此形成了数学理论体系，[6][3]奠定了中国古典数学理论的基础；[2][15]另一方面则通过对《九章算术》有关内容的阐述，提出了许多新的见解、方法、思想、理论。[2][15]如用“割圆术”来计算圆周率的做法包含着极限思想；正确算出圆内接正192边形的面积，得到圆周率的近似值为157/50（=3.14），并计算出圆内接正3072边形的面积，从而又得到的近似值为3927/1250（=3.1416）；运用了“齐同术”“今有术”“图验法”“棋验法”等各种计算方法。[15]
唐王孝通《缉古算经》是商功章、勾股章及其《九章算术注》的发展，特别是第3题工限分配直接运用凫雁术中的齐同思想；北宋贾宪增乘方法可以视为开方术及其《九章算术注》的必然延续，南宋秦九韶《数学九章》糯谷酿造算题是《九章算术注》重今有术的具体推广和应用；金李冶《测圆海镜》数以百计的命题是勾股章容方、圆问题的深入和扩大等。[8]在宽平时代（889年-897年），《九章算术注》就已经传播到日本。[8]后又出现英译本、法文本等。英国、美国、苏联、朝鲜、马来西亚等国家以及香港、台湾等地区都有不少学者发表了关于刘徽及其《九章算术注》的研究成果。[2]
《重差》（又名《海岛算经》）
《重差》是刘徽自撰自注的一卷数学书，[2]原本放在《九章算术注》后，为该书第十卷。大约在南北朝后期[注9]，[5][11]第十卷单行。因为其第一问为测望一海岛的高远，故名《海岛算经》。[2]书中设计了用重差术测望山高、海广、谷深、邑方等九个问题，使用了重表、累矩、连索三种基本测望方法。[13]重表法源于测望日高。[11][13]中国古代没有三角，重差术可以起三角的作用。[2]唐李淳风编纂《算经十书》时，《海岛算经》与《九章算术》并列为其中的两部，是中国古代关于测量数学的重要著作。[5][14]在唐朝，《海岛算经》作为当时官立算学（培养天文、数学人才的学校）的重要教材。[7]
据考证，《海岛算经》中的望海岛问的原型是泰山，并测得其高度为1792.14米。这是历史上第一次用科学方法测望泰山的高度。[11]刘徽还设计了使用三次测望、四次测望等更复杂的测望问题，[11]对于十分“幽遐诡伏”的地形，也能设计出测量的具体方案。[9]
附：望海岛题
设岛高PQ，立两支等高的表AE、CH，与海岛在同一平面上。自前表AE后退至F，使F、E、P三点共线；又从后表CH后退至G，使G、H、P三点共线。设表高AE、CH为h，FA=a，CG=b，两表间距AC为l，海岛高PQ为y，前表距海岛AQ为x，则
海岛高y=＋h
前表去海岛x=
刘徽使用的表AE、CH高3丈，两表相距AC为1000步，测得AF为123步，CG为127步。算出岛高4里55步，合1792.14米。[11]
人物评价
日本数学史家三上义夫和薮内清称刘徽为古今东西“数学界的一大伟人”。[2]
唐初王孝通著《缉古算经》，他在序文中盛赞刘徽“思极毫芒”，“一时独步”。[2][6]
清朝学者阮元《畴人传》说：“江都焦里堂谓刘徽注《九章》，与许叔重《说文解字》同有功于六艺，是岂尊崇之过当乎！”把刘徽比作汉代著《说文解字》的一代大师许慎。[2][16][17]
中国古代数学史家李迪在《科学家论方法》一书中对刘徽数学成就的概括，他认为：刘徽在当时已有的各个数学领域几乎都做出了重大贡献。[2][18]
山东邹平籍人
今人据《宋史·礼志》记载，北宋末，算学祀典中刘徽被封为淄乡男。“同时与刘徽受封的56人中封号与本人里贯的关系：史藉有里贯的47人中，其中41人封号与里贯相同。其他6人或按其郡望，或按其生前活动地区，或按其生前封号晋爵，与其藉贯不同。”又根据当时山东属魏国，山东省内有临淄、淄川等地临近渤海，而刘徽著有测望海岛的《海岛算经》，可认为刘徽可能是山东省临淄、淄川一带人。[6][5]李迪据此初步断定刘徽是山东人淄川一带的人。[20][2]郭书春根据《宋史·礼志》记载，结合“淄乡不是刘姓郡望，也不会是刘徽生前封号，因此只能是其籍贯或其活动地区。”“又根据《汉书》《元丰九域志》《金史》《山东通志》等史籍“淄乡在今山东省邹平县境”，推定刘徽籍贯是淄乡（今属山东省邹平县）。[13][2][21]
不可考说
三国时魏国人
关于刘徽的生平，为唐李淳风撰写的资料，且均是几个字谈到他注《九章》的工作。如《晋书·律历志》《九章·商功》《隋书·律历志》其中刘徽的话均见于今传本《九章算术》注文。由这一记载只可知刘徽是三国时魏国人，于公元263年注《九章》，生活于263年前后。其余不可考。[22]
魏晋时人
《隋书·律历志》称：“魏陈留王景元四年刘徽注九章。”《晋书·律历志》也有相同的记载。又据刘徽注原序中“徽幼习九章，长再详览。”推断写注时已年事较长。可估计刘徽生于东汉末年或三国魏初。另，《九章算术·方田章·圆田术》和《商功章·圆困术》刘徽注中都说到“晋武库中有汉时王莽所作铜斛”，以此可推断刘徽注一直撰写至晋朝初年。咸熙二年魏亡，265年为西晋泰始元年。可以认为，刘徽大概是魏晋时人。[6]
现今所见有关刘徽生平事迹的记载多出自李淳风。李淳风等奉敕注释“十部算经”时是作过一番考证的。王孝通也记载了：“魏人刘徽注《九章算术》。”但他们都没有说明景元四年是刘徽开始或者完成《九章算术》注释的年代，抑或是他注释其中商功章的时间。[20]263年前后，刘徽注释《九章算术》。265年司马炎篡魏称帝。因此，推断刘徽为魏晋期间人是合理的。严敦杰《刘徽简传》则作了进一步的论断：刘徽是三国魏、西晋间人。刘徽应生于东汉末年或三国魏初。景元四年次年魏即亡，再次年为西晋泰始元年（265年)。故刘徽当在西晋生活一段时间。[20][8]郭书春从刘徽受玄学名士的思想影响较大，有许多语句相类，推断刘徽的生年大约与嵇康、王弼相近，或稍晚一些，就是说，约生于公元3世纪20年代后期至公元240年之间。[13]
仕宦考证
根据《九章注序》云：“徽幼习《九章》，长再详览。”大多数人推测刘徽自幼长期潜心研习《九章算术》，从事数学创作，终生未仕，生前没有显赫的社会地位，所以名不见经传。[3][20][5]刘徽是一位“布衣数学家”。[3]有人根据《晋书·职官志》推断刘徽曾任过魏仪同之职，同时著有《鲁史欹器图说》一卷。[5][8]
《九章算术注》成书时间研究
刘徽于魏陈留王景元四年（263年）注《九章算术》无可疑。据《晋书》《隋书》的《律历志》和唐初王孝通《缉古算经序》，肯定刘徽注《九章算术》是在魏朝。现存最早的《九章算术》刊本南宋鲍澣之刊本每卷前还保留有“魏刘徽注”字样。但《九章算术注》的注文中又两次出现有“晋武库中有汉时王莽所作铜斛”。又清武英殿聚珍本《九章算术》题“晋刘徽注”。据此推测，刘徽也有可能由魏入晋，并在后来对《九章算术注》做了一点补充和修订的工作。但也有人认为“晋武库中有汉时王莽所作铜斛”一段，系后来祖冲之或李淳风所注混入。[2]
数学成果争议
圆周率=3.1416数值所属
圆周率=3.1416这个数值究竟是刘徽所得出，还是以后祖冲之的成果，目前数学史界尚无定论。这一问题牵涉到《九章算术》的注文中，这一段究竟是刘徽所写还是祖冲之所写。李迪认为：刘徽“得到了圆周率3.14（）而没有继续往下求；”梅荣照则以为=3.1416当属刘徽。[2]
后世纪念
列入辞典
70年代美国出版的《科学家传记辞典》（Dictionaryof Scientific Biography）列有“刘徽—三世纪中国数学家”专条，由科技史家何丙郁执笔。1991年6月，北京举行了“《九章算术》暨刘徽学术思想国际研讨会议”。[2]
命名“徽率”
后人为纪念刘徽，把3.14称为“徽率”。[12]
月球地貌命名
2021年5月24日，国际天文学联合会（IAU）批准了中国提议在嫦娥五号降落地点附近的8个月球地貌之一，以刘徽命名的申请。[23]
出版邮票
2002年，中国发行刘徽纪念邮票。[24][25]
《九章算术》
参考资料 32
- 参考 1
- 参考 2
- 参考 3
- 参考 4
- 参考 5
- 参考 6
- 参考 7
- 参考 8
- 参考 9
- 参考 10
- 参考 11
- 参考 12
- 参考 13
- 参考 14
- 参考 15
- 参考 16
- 阮元 — 中国大百科全书
- 参考 18
- 参考 19
- 参考 20
- 参考 21
- 参考 22
- 月球表面新增8个中国地名：徐光启、沈括等被用来命名 — 今日头条
- 参考 24
- 参考 25
- 参考 26
- 参考 27
- 参考 28
- 参考 29
- 参考 30
- 参考 31
- 参考 32
注释
- 根据有限的资料推测，目前无定论。具体考证在【人物研究】章节[2]
- 有记载263年为开始作注，西晋汉武帝时完成；有记载为263年前后完成作注。目前无定论，具体考证看【人物研究】章节
- 一种用两次差进行间接测量的方法。[2]
- 齐同术是一种分数计算方法，如对分数进行加减时，必须先通分。[2]
- 取棱长一寸的正方体模型八枚拼成棱长为二寸的正方体。然后由横、纵两个方向各作其内切圆柱，两圆柱的公共部分就称之为“牟合方盖”。[9]
- 《商功章·阳马术》刘徽注说：“邪解立方得两堑堵。邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖腝，阳马居二，鳖腝居一，不易之率也。”即斜解一长方体，所得阳马和鳖面体求积的体积的比恒为2：1，这就是刘徽体积原理。[9]
- 两等高的立体若每层截面积为定比，则体积也成定比[11]
- 儿子祖暅把上述公理明确表述为：“缘幂势既同，则积不容异”，即同高的两立体，若其任意等高处的水平截面积相等，则这两立体体积亦必相等。[2]
- 《魏晋南北朝史（中国断代史系列）》[7]《刘徽评传》记载为“唐时把它单独摘出”“命名《海岛算经》”[2]