祖冲之

祖冲之（429年-500年），^[2]字文远，^[3]祖籍在范阳郡遒县(今河北省保定市涞水县)。由于战乱，先世从范阳郡遒县迁徙到东晋国都建康（今江苏南京）。^[4][3][5]中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家，主要成就在数学、天文历法和机械制造三个领域。^[6][7]

祖冲之出身世家，其曾祖父、祖父、父亲都曾入仕，家族世代掌管历法，家学渊源颇深，^[3]他少年聪颖，从小对天文学和数学感兴趣，^[8]受恩荫进国子监读书，^[9]跟随天文学家何承天^[注1]学习天文学知识，^[8]25岁进入华林学省^[注2]，从事文史撰述和历算研究工作，^[9][3][10]32岁出任南徐州（今江苏镇江）刺史府里的从事史，^[9][5]之后兼任司徒府，娄县（今江苏昆山市）令、谒yè者仆射^[注3]、长水校尉^[注4]。南齐内乱时，祖冲之在给齐明帝的上书《安边论》中建议朝廷开垦荒地，发展农业，安定民生，巩固边防。^[11]隆昌元年（494年）告老，以著述自娱。^[9]萧齐东昏侯永元二年（500年）逝世，^[3]享年七十二岁。^[12]北宋大观三年（1109年）被封为“范阳子”，享受子爵。^[9]

祖冲之将圆周率推算到小数点后七位数，^[3]首次提出密率，^[13]沿用刘徽的“牟合方盖”进行球体体积计算，解决了球体体积的计算问题，得到了正确的球体体积公式。^[3][14][15]是中国数学史上首个使用“上下二限”^[注5]的数学家，^[5][16]创造了“开差幂”“开差立”，^[13][17]他编制的《大明历》，是当时最精密、最准确的历法；他改进并设计制造了当时最先进的指南车、水確磨、千里船等生产工具和交通工具。^[9]祖冲之还精通音律乐理、六博格五的博戏技艺等。^[3]祖冲之生平著述甚多，涉及数学、天文、哲学、文学等，有《缀术》《九章术义注》《大明历》《易义》《释论语》等；^[3][8][18]为纪念祖冲之，人们以“祖冲之”来命名月球背面发现的一个环形山谷，^[17]命名南京紫金山天文台发现的1888号小行星。^[9][19]

南朝宋元嘉六年（429年），祖冲之出生于丹阳郡建康县（今江苏南京）当时的政治、经济中心。^[3][20]祖冲之的祖籍在范阳郡遒县（今河北省保定市涞水县）。^[4][12]西晋末期，北方发生大规模战乱，祖冲之的先辈从范阳郡遒县迁徙到东晋国都建康，并定居下来。^[3][5]祖冲之的曾祖父祖台之，曾做过东晋的侍中、光禄大夫；祖父祖昌做过南朝的大匠卿，专司朝廷的土木建筑工程；父亲祖朔之颇有学识，曾在南朝任散官奉朝请。祖氏家族世代掌管历法，家学渊源颇深，对天文历法的学习和研究十分重视。^[3]

祖冲之少年聪颖，自幼爱好数学和天文。他把之前各种文献、记录、资料，几乎全都搜罗出来进行学习研究。^[8][17]同时，受恩荫，祖冲之少年时进入国子监读书，^[9]还跟随他祖父的朋友、天文学家何承天^[注1]学习天文学知识。^[8]南朝宋孝建元年（454年），25岁的祖冲之进入华林学省^[注2]，从事文史撰述和历算研究工作。^[9][3][10]

南朝宋大明五年（461年），皇室刘子鸾出任南徐州刺史。祖冲之担任南徐州刺史府里的从事，先后任南徐州从事吏、公府参军。^[9][5]

宋大明六年（462年），祖冲之在南徐州（今镇江市）任职。^[9]他系统地阅读了天文典籍，^[8]以浑仪漏壶配合亲自测量日影，用他发明的以圭表测定冬至时刻的方法，^[5][3][21]发现前代历法已经误差很大，历法推算和实际天象之间，出现了越来越大的差距。他还发现，古代所谓“六历”^[注6]并非出自夏、商、周时代的古人之手，都是后人伪托，产生于汉初周末。刘宋时期，政府使用的《元嘉历》亦有错误。^[8]他以此历为基础，加上他自己的细心研究和实际观测，编成《大明历》，同时完成圆周率计算。^[5][9]

同年，33岁的祖冲之向刘宋皇帝刘骏进献《大明历》，同时上表请求对该历进行讨论，并予以颁行。^[3]但受到宋孝武帝的宠臣戴法兴的反对。朝中百官惧于戴法兴的势力，多所附和。祖冲之写出著名的《驳议》进行辩论。^[3][21]戴认为太阳周年视运动的状况是永远不会变的，冬至点^[注7]永远在一个地方。^[5]祖冲之便用元嘉十三年（436年）到大明三年（459年）这二十三年间发生的四次月食来检验他的《大明历》，其四次月食的时间和太阳当时在天空的位置均与《大明历》的推算相符。尽管《大明历》比较科学，当时的政府还是不肯采用。^[21]

次年秋，皇朝加封刘子鸾为司徒。刘子鸾信任祖冲之，让他兼任中央政府管理民政的司徒府工作。祖冲之开始来往于镇江与南京两地工作。^[9]

宋大明八年（464年），宋孝武帝死后由皇子刘子业继位。刘子业把弟弟刘子鸾、刘子师杀掉，朝廷内讧，祖冲之从南徐州被排挤到离京城500里远的娄县（今江苏昆山市）去当县令。之后15年，皇室内部连年发生争权夺利的斗争，更换了4个皇帝，其中3个被篡杀的，无暇顾及祖冲之的调动和升迁。祖冲之在这任上继续做研究，最终与儿子祖暅之一起提出“祖氏原理”等。^[9]

宋升明三年（479年），南齐灭了刘宋，祖冲之被调回到京城，根据齐高帝萧道成的指令，开始仿造指南车、欹器，并试制木牛流马、千里船、水碓磨这些奇巧机械，同时，在政治上被委以重任，起先任谒者仆射^[注3]，后来兼任长水校尉^[注4]。^[9][22]

隆昌元年（494年）到建武五年（498年）之间，祖冲之担任长水校尉的官职。当时他写了一篇《安边论》，建议政府开垦荒地，发展农业，增强国力，安定民生，巩固国防。齐明帝看到后想令他“巡行四方，兴造大业，可以利百姓者”，后因南齐的统治已经无法再维持下去。^[5]祖冲之告老，退出政坛，以著述自娱。在齐梁文学风气的影响下，他研究哲学、文学、音乐，写下了《易、老、庄义释》《论语、孝经注》和志怪小说《述异记》等，连同数学著作《缀术》《九章术义注》，汇编成《长水校尉祖冲之集》51卷。《长水校尉祖冲之集》已亡佚，由他的儿子祖暅之最后编定，包括祖冲之的所有著作，也包含祖暅之的研究成果，是一部全集。^[9]

萧齐东昏侯永元二年（500年），祖冲之逝世，^[3]享年七十二岁。^[5]600年后，北宋大观三年（1109年），祖冲之被封为“范阳子”，享受子爵。^[9]

祖冲之逝世后，他的儿子祖暅之进一步研究《大明历》，并证实《大明历》比其他历法精密可靠，一再向当时的梁朝政府提出废除元嘉历、改用大明历的请求。从梁武帝天监八年（509年）末开始，学者道秀等人对《大明历》和《元嘉历》同时加以实际测验，结果证明大明历精密。于梁天监九年（510年）《大明历》被政府采用，一直沿用到陈后主顽明三年（589年），在南朝境内前后使用了八十年。^[5][17]

据《隋书·律历志》记载，祖冲之计算出的值在3.1415926（朒nǜ数）和3.1415927（盈数）之间，在世界数学史上第一次把圆周率推算准确到小数点后七位。是当时乃至其后近千年间世界上最先进的成就。^[3][5][17]直到15世纪后，阿拉伯的数学家阿尔·卡西（al-Kāshānī，1380～1429）和法国数学家F.韦达（Franciscus Vieta，1540～1603）才得到更精确的结果。^[9]

祖冲之给出了两个分数形式的值：约率（≈3.14），密率（≈3.1415929）。他是世界上第一个提出密率的科学家，^[13]这两个值都是渐近分数。其中密率，直到16世纪才被德国数学家奥图·赫尔德（Otto Ludwig Hölder，1859～1937）和荷兰数学家A.安托尼斯（Adriaan Anthoniszoon，1527～1607）得出，比祖冲之的同一结果晚了一千年以上。因此日本数学史家三上义夫（Yoshio Mikami，1875~1950）建议将叫做“祖率”，来纪念祖冲之。“约率”，在中国，祖冲之是最早的提出者。^{[23][5][16][24]}

据《隋书》卷十六律历志记载：祖冲之更创造出好的圆周率值。他把1亿大的半径算做1丈，比圆周长大的数是3.1415927丈；比圆周长小的数是3.1415926丈，圆周的长度正好在大数和小数之间。因为已经假定了圆的直径是1，所以正数（即圆周率真值）在大数和小数之间，即：8.1415927＞＞8.1415926。^[5][16]由不等式：3.1415927＞x＞3.1415926。我们知道祖冲之是中国数学史上第一个使用“上下二限”^[注5]的数学家。^[5][16]明确指出了圆周率的上限和下限，用两个高准确度的固定数作界限，精确地说明了圆周率的大小范围，虽未指明，但实际上已确定了误差范围。^[13]

祖冲之同儿子祖暅之一起仔细研究《九章》及其刘徽注，沿用刘徽的“牟合方盖”进行球体体积，解决了球体体积的计算问题，得到了正确的球体体积公式，^[3][14][15]并且提出后人所称的“祖暅之原理”。^[25][9]

《隋书·律历志》谓祖冲之“又设开差幂，开差立，兼以正圆参之。指要精密，算氏之最者也”。“开差幂”是已知长方形的面积和长、宽的差，用开平方法求宽或长。“开差立”是已知长方柱体的体积和长、宽、高的差，用开立方法求它的一边。^[26][13][17]涉及二次方程和三次方程的求根问题，x(x+a)=A，三次方程x(x+a)(x+b）=v。^[13][17][18]

祖冲之对天文历法的贡献主要体现在《大明历》之中。^[3]祖冲之系统地阅读了天文典籍，并亲自作天文观测和推算，发现前代历法已经误差很大，历法推算和实际天象之间，出现了越来越大的差距。他还发现，古代所谓“六历”^[注6]并非出自夏、商、周时代的古人之手，都是后人伪托，产生于“汉初周末”。刘宋时期，使用的《元嘉历》亦有错误。^[8]

据甲骨文的记载，古人提出了置闰的方法：每过几年，阴历的一年多加一个月。春秋时期，中国形成了19年置7闰的方法，但这个闰法过200多年就会多出一天来。祖冲之在编制《大明历》时，在自己长期的实测基础上，经过精密的计算，得到391年144个闰月的新闰周。^[3][9][22]

岁差的发现、运用，使得历法上对恒星年^[注8]与回归年^[注9]有了区别，进而知道极点也是在移动的。祖冲之定岁差值为45年11月退1度。他在《大明历》中第一次正式将“岁差”理论引进历法计算的方法中，开启了中国历法的新纪元。^[9][22]

古代由于当时技术的限制，只能观测到离地球较近的水星、金星、火星、木星、土星，合称为“五星”“五律”“五珠”等。祖冲之经过亲自观测与对历代资料的分析，发现刘歆xīn的提出每144年木星要超辰一次^[注10]的超辰法还不够精确。他在《大明历》中推出了新的计算结果，认为木星在八十四年就要超辰一次，即84年走7周天。这个数值与现代测算的木星公转周期11.86年就基本接近了。另外，他所推算的水星会合周期也与现代所得基本相同。他所测算的金星会合周期，比现代所得仅大0.01日。他所测算的火星会合周期值，比何承天《元嘉历》要精确百分之六。^[9]

祖冲之在中国天文学史上第一次提出，月亮相继两次通过黄道、白道的同一交点的时间，即“交点月”长度为27．2123日，与现今推算值仅相差十万分之一日，即不到1秒。由于日食、月食^[注11]都发生在黄白交点附近。推算出交点月的日数以后，就更能准确地推算出日蚀或月蚀发生的时间。祖冲之在他制订的《大明历》中，应用交点月推算出来的日、月蚀时间比过去准确，和实际出现日、月蚀的时间都很接近。^[9]

祖冲之经过反复地研究和计算，推算出回归年的长度为365.24281481日，远比前人精确得多。与现代测定的数值相比只差50秒左右^[注12]，即误差为1/60。^[9][22][27]

祖冲之设计制造过水碓磨、铜制机件传动的指南车、千里船、定时器等。^[14]他发明的水碓磨，是当时世界上最先进的粮食加工机械。^[27]他还根据春秋时代文献的记载，制造了一个“欹器”^[注13]，送给齐武帝的第二个儿子萧子良。^[14][18]

祖冲之著有志怪小说《述异记》十卷，记叙南朝刘宋朝发生的故事，具有显著的社会性与时代性的特点，语言清新雅洁，妖魔鬼怪极富个性，人情味很浓。《述异记》是研究宋、齐时期志怪小说的重要作品，为后世的作品如唐宋传奇、元明杂剧和明清戏曲提供了丰富的创作素材，对清代蒲松龄的《聊斋志异》、纪昀的《阅微草堂笔记》都产生了一定的影响。他的小说在宋朝已经亡佚，所记述的神鬼妖怪故事散见于各种类书中。鲁迅从《太平御览》《太平广记》《珠林》《类聚》等书籍中辑录的祖冲之作品80多条，编入《古小说钩沉》集中。^[9][3]

祖冲之精通音律乐理、六博格五的博戏技艺、古代典籍，^[3]能下一手好棋，^[28]著有《易义》《老子义》《庄子义》《释论语》等关于哲学的书籍。^[18]

祖冲之生平著述甚多，涉及数学、天文、哲学、文学等方面。在数学方面有《缀术》《九章术义注》《重差注》等；在天文历法方面有《大明历》（附“上《大明历》表”、“驳议”），均载《宋书·历志》；在古代典籍的注释方面有《易义》《老子义》《庄子义》《释论语》《释孝经》等；在政治方面有讨论屯田、农殖政策的《安边论》等政论性文章；还有小说《述异记》十卷。《隋书·经籍志》中列有《长水校尉祖冲之集》五十一卷，这可能是他全部著作或是部分著作的汇集，这些著述多已失传。^[3][8]

《缀术》五卷（一说六卷），据南史记载，有数十篇。是祖冲之在注解《九章算术》的基础上和祖暅之共同完成，包含了祖冲之关于圆周率的计算方法等，内容深奥，隋朝掌管天文和数学的官员都看不懂，是中国自汉魏至隋唐水平最高的数学著作。^[3][5][29]到了唐朝，《缀术》被列入官方的“十部算经”之中，^[9][5]成为国子监的必读教材，需学习四年，是学习期限最长的算书。^[3][17]《缀术》曾传至朝鲜、日本，对它们的数学发展影响颇多。^[3][30][31]唐朝以后，战乱不断，古代算书散失很多。在北宋中期（1023年-1078年)《缀术》失传。^[5]

该书内容分为三部分，其一是确定圆周率在3.1415926与3.1415927之间，准确到小数点后六位，并给出密率：335/113，约率22/7；其二是由面积差求边长或圆的直径（开差幂），由体积差求边长或球的直径（开差立）等内容；其三是天文历法中的有限差分法。据数学史家钱宝琮考证，该书还含有关于计算分数的近似值等内容。^[29][32]《缀术》的发现，对圆周率的计算前进了一步；《缀术》解决了多凸凹圆面系数等的计算；由各种系数所构成的各种应用方阵式都继承于《缀术》。^[30]

《大明历》又名《甲子元历》，^[33]最早把岁差引进历法计算中来，^[21][17]首次运用“岁差”测定每一回归年的天数，结果跟现代科学测定的只相差50秒；^[33]采用了391年加144个闰月的新闰周；首次精密测出交点月日数（27.21223），回归年日数（365.2428）等数据；发明了用圭表测量冬至前后若干天的正午太阳影长以定冬至时刻的方法，此法后世长期沿用，成为历法测量的主要手段。^{[3][21][34][33]}该历确定的交点月长度、木星公转周期、五星会合周期等数据都相当精确。^[3][21][17]

人物关系姓名人物简介曾祖父祖台之曾做过东晋的侍中^[注14]、光禄大夫，^[3]爱好文学，写过志怪小说^[5][9]祖父祖昌做过南朝的大匠卿，专司朝廷的土木建筑工程^[3][5]父亲祖朔之颇有学识，曾在南朝任散官奉朝请^[注15][3]儿子祖暅之^[35]字景烁，又称祖暅，具体生卒年月不详，南朝齐、梁间人，著名的数学家和天文历法学家，^[3]与其父一起完成《缀术》，^[2]促成《大明历》颁行，^[9]著有《天文录》三十卷，《漏刻经》一卷，但已失传，^[2][17]曾在梁朝先后担任员外郎、材官将军等职。^[2]在梁末侯景作乱时遇害^[3]孙子祖皓^[35]官至江都令、广陵太守^[9]

祖冲之用谐音法，教儿子祖暅之背圆周率小数点后22位：3.1415926535897932384626。谐音这样背：山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞我，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐尔乐。^[9]

祖冲之在娄县任职期间，及从事科研工作，也关心百姓生活，注重收集民间素材，为写作志怪小说《述异记》作准备。如《黄耳》写的就是娄县地方的故事。^[9]

祖冲之任娄县县令的开头几年，逢上特大旱灾。当时的牛车没有棚盖，耕牛戽hù水日晒夜露，劳累过度得病倒毙。祖冲之发动农家搭建牛车棚，置水车和耕牛于棚内戽水，保护耕牛。^[9]

祖冲之第一次审案，是一星溪乡人氏状告乡佐和有秩^[注16]，将他不足一亩的祖传弧形田算做三亩纳税。祖冲之马上命令李县丞和两个役从带人将他家弧田的弦和矢的尺寸一一量过、记清。测量结果为：弦为101尺3寸，矢为19尺5寸。祖冲之当即为他们算出该弧田不足2分，并斥责乡佐和有秩“速速回去，将田地重新测量核实”。祖冲之的第一场官司就让大家惊叹，役从、乡佐和有秩们都收敛了许多张狂。^[9]

华罗庚（《从祖冲之的圆周率谈起》）：“祖冲之不仅是一位数学家，同时还通晓天文历法、机械制造、音乐，并且还是一位文学家。祖冲之制订的《大明历》，改革了历法，他将圆周率算到了小数点后七位，是当时世界最精确的圆周率数值，而他创造的“密率”闻名于世。”^[19]

《南史》：冲之解钟律博塞，当时独绝，莫能对者。^[36][19]

人民网：祖冲之父子的数学研究成就汇集于他的数学专著《缀术》中。这本书极其高深，以至于“学官莫能究其深奥，故废而不理”。在唐朝官学中，《缀术》也被列为必读的十部算经之一，且需学习4年，年限为各经之首。后来，《缀术》传至朝鲜，但10世纪以后，《缀术》渐渐在各国失传了。尽管今天已无从知道《缀术》的具体内容，但从该书在唐代官学中的学习年限及史书中相关的零星记载，我们仍可以想见其学术价值。^[19]

命名环形山

为纪念祖冲之，1967年^[注17]，国际天文学家联合会把人类第一次在月球背面发现的一个环形山谷，以“祖冲之”来命名。^[17][19][27]

命名小行星

1964年11月9日，南京紫金山天文台将1964年发现的，国际永久编号为1888的小行星命名为“祖冲之星”。^[19][9]

命名道路

中国上海市浦东新区张江高科技园区，有一条东西走向的主要道路为纪念祖冲之而命名为祖冲之之路。^[19]

祖冲之园

中国上海市浦东新区张江高科技园区的祖冲之路南侧，有一个以祖冲之命名的祖冲之园。^[19]

祖冲之中学

河北省保定市涞水县保野路的涞水县第一中学，1992年更名为河北祖冲之中学。^[19][37]

1986年，由上海造币厂制造的祖冲之纪念银币发行，面值为5元，成色为90，发行量为30000枚。纪念币正面为国徽，背面为祖冲之，规格为直径36毫米，重量为22克。^[38][19]

1955年8月25日，发行“中国古代科学家(第一组)”纪念邮票，全套四枚，其一是祖冲之。^[39][5]

在法国首都巴黎“发现宫”科学博物馆的金壁上，镌刻着祖冲之的名字和成就；著名画家蒋兆和为祖冲之画像；在前苏联莫斯科大学礼堂的廊柱上，悬挂着祖冲之的肖像。^[9][28]