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分数（英语：Fraction；来自拉丁语: fractus[10][11]）是指代表整体的一部分的数，可以记为m/n（n是正整数，m是自然数）的形式。例如：2/3（三分之二），9/7（七分之九）。分数包含分子、分母、分数线。[1]分数有正、负之分，正分数是大于0的分数，负分数是小于0的分数。[12]整数可以看做以1为分母的分数，例如：2=2/1。[1]
在人类文化发展初期，在测量和均分时便产生了分数。[13]在埃及出土的《莱茵德纸草书》中记载了世界上最早的分数。[3]公元前2500年左右，为了精确表示时间、方位的度数，巴比伦人创造出了分数。公元前1850年，埃及的僧侣阿姆斯在他所写的算术文献中，也开始用了分数。[2]古印度用阿拉伯数字表示分数，与现代的分数已经较为接近，只是没有分数线。[3]中国关于分数概念的记载可追溯至商代（公元前12世纪前后）。[3]公元前5世纪，中国开始出现把两个整数相除的商看作分数的认识。[4]中国西汉时期，张苍、耿寿昌等学者整理编成的《九章算术》中的《方田》章，提出了的完整的分数运算法则。[4]公元3世纪，中国数学家刘徽在《九章算术注》中曾指出十进分数（小数）。[5]在12世纪后期，在阿拉伯人的著作中，首先用一条短横线把分子分母隔开来，发明了分数线；13世纪初，意大利数学家菲波那契（Fibonacci）把分数的记法介绍到了欧洲。[3][4]
分数的类型主要有真分数、假分数（带分数），[9]十进分数是分数的一种特殊形式。[1]分数的基本性质有扩分、约分、通分。[14][15]分数具有四则运算及混合运算法则，其运算也满足一定的规律，如分配律、结合律。[1][16]分数还可以化为小数、百分数的形式。[1]分数应用广泛，比如在概率和统计学中，分数可以用于表示事件发生的可能性或概率；[7]在数论领域，连分数可以用于解决二元一次不定方程。[6]分数还广泛应用于各种场景，如信用评分、模型评估等。例如，在信用评分中，模型分数可以用来对客户进行风险排序，从而帮助银行或金融机构做出决策。[17]
定义
分数的定义：分数是指把单位平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数。如果把单位平均分成份（），表示其中一份的数，记为或，读作“分之一”。表示其中份的数，记为或，读作“分之”（）。[1]
分子，分母，分数线：对于分数，称为分子，称为分母，中间的横线称为分数线。[1]
单位分数：称为的分数单位，也称为分数单位。[1]
正分数，负分数：分数有正、负之分，正分数是大于的分数，例如；负分数是小于的分数，。[12]
百分数：百分数是一种特殊分数，是指分母是的分数，或表示一个数是另一个数的百分之几的数。例如。[1]百分数与分数的意义有一定的区别，分数既可以表示两个数之间的倍数关系，也可以表示具体数量。而百分数只表示两个数之间的倍数关系，并不表示具体的数量。[18]
简史
在人类文化发展初期，由于在测量和均分时，往往不能得到整数的结果，便产生了分数。各民族的最古老文献中都有关于分数的记载。[13]在埃及出土的《莱茵德纸草书》中记载了世界上最早的分数，他们创造了一种象形符号表示单位分数（分子为的分数），如下图，分别表示，即在整数上方画一个长椭圆，表示该整数的倒数。[13][3]
《莱茵德纸草书》是用僧侣文书写的，文字自右向左书写，因此数字排列也自右向左。先写大单位的数，再写小单位的数，分数符号只标在大单位的数上。例如为：[19]
公元前2500年左右，巴比伦王国为了精确表示时间、方位的度数，采用六十进位制，被称为六十进制分数。从此分母被固定，总为60或60的方次。[3][19]公元前1850年，埃及的僧侣阿姆斯在他所写的算术文献中，也开始用了分数。[2]
古希腊的分数记法早期受埃及人影响，普通分数都用单位分数的和表示。古希腊人的整数记法采用字母表数，单位分数有时在表示整数符号的右上角加一小撇，例如：。到了丢番图（Diophantus，约246~330）时代，希腊人改用了将符号加在数目字右上角表示该数为分母的方法，例如：。后来又出现了将分子分母写成两行的格式，分子在下，分母在上，与现在写法相反。[19]古印度用阿拉伯数字表示分数，与现代的分数已经较为接近，只是没有分数线。[3]
中国关于分数概念的记载可追溯至商代（公元前12世纪前后），铜器上篆刻的铭文上出现了“半斗”“四分”等符号，说明在分物的过程中，自然数不能解决问题时，一半、一小半就随着分物而产生。[3]大约在公元前5世纪，中国开始出现把两个整数相除的商看作分数的认识，这种认识正是现代的分数概念的基础。[4]在中国西汉时期，张苍、耿寿昌等学者整理、删补自秦代以来的数学知识，编成了《九章算术》，在这本书中的《方田》章，提出了的完整的分数运算法则，[4]这是世界上系统论述分数算法最早的著作，其中给出约分的方法，使分数能写成最简分数式。[19]公元3世纪，中国数学家刘徽在《九章算术注》中指出，当开方开不尽时，可以用十进分数（小数）来表示。[5]公元4~5世纪的《孙子算经》中记叙了分数式的写法。采用算筹式记数法排列时一般有两种格式，纵式和横式，例如：为：
整数在上，分子居中，分母在下（纵式）。又如，为
分子在左、分母在右（横式）。横式一般在运算过程中使用，表述运算结果时往往用纵式。[19]
在12世纪后期，在阿拉伯人的著作中，首先用一条短横线把分子分母隔开来，这是世界上最早的分数线；13世纪初，意大利数学家菲波那契（Fibonacci）在他的著作中介绍阿拉伯数字，也把分数的记法介绍到了欧洲。[3][4]15世纪以后，欧洲才形成了现代分数的算法。[2]
真分数
分子小于分母的分数叫做真分数，真分数的值比小。例如：等。[9]
假分数
分子比分母大或者等于分母的分数叫做假分数，假分数的值比1大或者等于1。例如：等。[9]
带分数
含有整数部分和分数部分的数叫做带分数，带分数是整数加上分数。例如：等。[9]
带分数可以化为假分数，方法是：用整数部分乘以分母再加上分子做假分数的分子，用原来的分母做假分数的分母。例如：。[9]
十进分数
繁分数
一个分数，如果它的分子、分母（或其中之一）也是分数，那么，这个分数就叫繁分数。例如：等。把繁分数的分子、分母分开的分数线，叫做繁分数的主线。[15]
古埃及分数
分子为的分数被称为“古埃及分数”，这是由于古埃及人常用这种分数而得名。真分数可以分解成若干个古埃及分数（除外）之和，例如表示为。[19][20]
基本性质
扩分
用一个大于的数同乘以均是非零整数的分数，把原分数化成一个和原分数的值相等但分子、分母都比原来的分子、分母为大的分数，称这种等值的变形过程为扩分。[14]
约分
把一个分数的分子和分母分别除以它们的非公约数，将其化成与原分数值相等的分数的运算称为约分。约分的结果，通常都要约成最简分数[注1]。[15]
约分的方法有两种：
逐次约分法：用分子、分母的公约数（除外）逐次去除分子和分母，直到得出一个最简分数为止。[15]例：。[15]一次约分法：先求出分子和分母的最大公约数，再用这个公约数去除分子和分母。[15]
例：约简。
解：的最大公约数为，。[15]
通分
把异分母的分数，分别化成和原来相等的同分母的分数，叫做通分。通分时所化成的共同的分母，叫做这几个分数的公分母。[15]
几个分数的分母不同，就是分数单位不同。通分的实质，是在不改变分数大小的前提下，使几个分数单位不同的分数转化为分数单位相同的分数，以便进行运算。[15]
通分的方法，一般是用原来几个分数分母的最小公倍数作公分母。每个分数的分母扩大多少倍，分子也扩大同数倍。[15]
例：把和通分。
解：和的最小公倍数为，，。[15]
加法
求两个分数的和的运算叫做分数的加法。有两个分数，分别以其中一个分数的分母与另一个分数的分子相乘，把所得的两个积的和作分子，把两个分数分母的积作分母，所得的分数叫做这两个分数的和。[15]
即：设两个分数分别是和，
，
其中和是加数，是它们的和。[15]
运算定律
减法
从一个已知分数里去掉另一个比它小的已知分数的运算方法，叫做分数减法。[16]求两个分数的差，就是先把两个分数通分，然后用被减数的分子减去减数的分子，把所得的差作为差的分子，公分母作为差的分母。[21]
即：若，则。[21]
乘法
求两个分数的积的运算叫做分数乘法。把两个分数的分子的积作分子，分母之积作分母，所得的分数，叫做这两个分数的积。[21]
即：，其中叫做被乘数，叫做乘数。[21]
运算定律
除法
对于两个分数和，要求一个分数，使与的积等于，这种运算叫做除法。[15]
记作，是被除数，是除数，是商。分数除法是分数乘法的逆运算。[15]
四则混合运算
比较大小
设是两个分数，都是正整数，把它们的分子与分母交叉相乘，两个分数间的大小可按以下法则确定：
若，则；
若 ，则；
若，则。[1]
在特殊情况下，可用以下简便方法比较大小：同分母的两个分数，分子大的分数较大；同分子的两个分数，分母小的分数较大。[1]
繁分数化简
化简繁分数的方法一般有以下两种：
先分别计算繁分数的分子部分和分母部分，再把分子部分的计算结果除以分母部分的计算结果。例如：。[15]运用分数的基本性质进行化简。例如：。[15]
分数化小数
分数化小数是指将分数通过一定的法则化为小数的运算。因为每一个假分数，都可以化为整数或一个整数与一个真分数的和，而每个真分数又可以通过约分化为最简分数，所以，研究分数化小数是研究最简真分数化小数。[1]
分数化小数可分为三种情况：
1.最简真分数化为有限纯小数[注2]
一个最简真分数可以化为有限纯小数的充分必要条件是：只含质因数或。当（且不都为）时，可以化为位数是的有限纯小数。[6]
2.最简真分数化为纯循环小数[注3]
一个最简真分数可以化为纯循环小数的充分必要条件是：的质因数没有和。此时，化成的纯循环小数循环节长度是满足的最小正整数。[6]
3.最简真分数化为混循环小数[注4]
一个最简真分数可以化为混循环小数的充分必要条件是：即含质因数或 ，又含和 以外的质因数。当【且不都为，，】时，，化成的混循环小数，不循环部分的位数是，循环部分循环节的长度是满足的最小正整数。[6]
小数化分数
小数化分数是指将小数转换成分数的方法，其具体作法为：
1.有限小数化为分数
化有限小数为分数，可先按最末一位小数的小数位把它改写成分母是的十进分数，然后通过约分化为最简分数。[1]
例如：。[1]
2.纯循环小数化分数
设是循环节等于的纯循环小数，其中都是不大于的非负整数，但在中至少有一个非零数，令，则有，（1）
式中，是正整数，若令，由于，所以是正整数。由（1）式得：，即。[1]
3.混循环小数化分数
设 是混循环小数，则有，由于是有限小数，所以，式中都是正整数，，。由于是一个纯循环小数，所以有 ，其中都是正整数，综上所述可得。[1]
分数化百分数
分数化百分数时，通常先把分数化成小数（遇到除不尽时，通常要求保留三位小数），再将小数点向右移两位，与百分号并列。例如：，，。[22]
当分数的分母是的约数时，可以用分数的基本性质把分子、分母扩大相同的倍数，使分数化为十进分数，再化为百分数。
例如：，。[22]
代数分式
在代数领域，有理分式是两多项式相除（作为除数的多项式次数不低于1）的一种表示式。含有除法且除式中含有变数字母的代数式称为有理分式，简称分式。例如，对于变数字母，代数式是有理分式。有理分式也可定义为一个多项式与一互素多项式的比：，在一个分式中被除式与除式分别称为这个分式的分子与分母。[1]
在有理分式中，若分子上的多项式的次数小于分母上的多项式的次数，则称为真分式；否则称为假分式。[1]
连分数
设是一个无穷实数列，，，对给定的，把表达式称为（阶）有限连分数，它的值是一个实数。当均为整数时，称为（阶）有限简单连分数，它的值是一个有理分数。有限连分数记作：。设，有限连分数称为有限连分数的第个渐进分数；当是有限简单连分数时，称为它的第个部分商。[23]
当中的时，表达式为可记为。当均为整数时，称为无限简单连分数。对任意，有限连分数称为无限连分数的第个渐近分数；当是无限简单连分数时，称为它的第个部分商。如果存在极限，那么就说无限连分数是收敛的，称为无限连分数的值，记做
；若极限不存在，则说明无限连分数是发散的。[23]
图像处理学
在数字图像处理领域来说，一般需要将相关的一维变换推广至二维变换形式，采用变换核分离的二维分数阶傅里叶变换可以作为工具之一进行应用。对于分数阶傅里叶变换的高维形式来说，主要分为变换核可分离和变换核不可分离两种变换形式。变换核可分离的高维变换形式由于具有操作方便、可重复性好等特点。[8]
数论
连分数在数学领域中可以用于解决二元一次不定方程。[6]
1.未知数的系数同号
设二元一次不定方程为，
把化成连分数为，
因为，而，
即有，
两边同时乘以，可得
，
不定方程的一个特解为，
因此，不定方程的通解为。[6]
2.未知数的系数异号
设二元一次不定方程为，
把化成连分数为，
因为，而，
即有，
两边同时乘以，可得
，
不定方程的一个特解为，
因此，不定方程的通解为。[6]
概率和统计学
在概率和统计学中，分数用于表示事件发生的可能性或概率，分数除法可以用来计算事件的概率和统计数据。例如：对于古典概型，若事件是由个基本事件组成的，则的概率规定为，即。[7]
信用评分模型
分数还广泛应用于各种场景，如信用评分、模型评估等。例如，在信用评分中，模型分数可以用来对客户进行风险排序，从而帮助银行或金融机构做出决策。[17]
参考资料 23
- 参考 1
- 参考 2
- 参考 3
- 参考 4
- 参考 5
- 参考 6
- 参考 7
- 参考 8
- 参考 9
- 参考 10
- 参考 11
- 参考 12
- 参考 13
- 参考 14
- 参考 15
- 参考 16
- 参考 17
- 参考 18
- 参考 19
- 参考 20
- 参考 21
- 参考 22
- 参考 23
注释
- 最简分数也称即约分数，即分子、分母是互质数的分数。
- 整数部分为0的小数叫做纯小数。
- 纯循环小数是指循环节从小数部分第一位开始的小数。
- 混循环小数是小数点后加了其他数再加循环节的小数，如：0.1232323...