氢原子百科 自然常数（e），也称为欧拉数、纳皮尔常数，为数学中一个常数，是一个无限不循环小数（即无理数），并且为一个超越数，其值约为2.71828。自然常数是关于增长率和变化率的常数，它在描述人口增长、经济发展以及其他类型增长的过程中扮演着重要角色。[1]
自然常数的起源可追溯至17世纪初期，其发现与对数函数研究、复利计算相关。16世纪末到17世纪初，苏格兰数学家约翰・纳皮尔为简化计算，于1614年发明对数，将乘除法转化为加减法，他在研究中使用的对数底数接近自然常数，为其后续研究奠定基础。1683年，瑞士数学家雅各布・伯努利在复利问题研究中发现，当利息结算周期无限缩短时，本利和会趋向一个特定常数。17世纪初期，自然常数的概念已被数学家发现，但未广泛应用。直到18世纪，瑞士数学家欧拉用字母e表示该常数并给出正式定义，将其定为自然对数的底数，自然常数自此成为数学中的重要常数。[1]
自然常数具有许多独特的性质，如自然常数的指数函数是其自身的导数，自然常数的幂级数展开式具有优美的形式等。自然常数与指数函数、极限之间的联系，使得自然常数在很多领域发挥着重要作用，如复利计算、自然对数、指数函数、欧拉公式等。[1]
定义
设有数列，其中，对应用二项式定理展开得：[3]
（1）
同理可得：
（2）[3]
逐项比较可以看出数列是单调递增，注意到有下面的放大关系：
（3）[3]
是单调增且有上界，根据数列极限的单调有界准则，所以其极限存在，记作e，即（4）[3]
这就是常数e的定义.事实上（4）式可做如下推广：当，有
这里[⋅]表示取整函数，运用数列极限的夹逼准则，可得，（5）[3]
当时，（6）[3]
综合（3）（4）两式可以得到：（7）[3]
显然和此式等价：（8）[3]
历史沿革
自然常数的产生存在一个逐步发现和认识的过程。它的起源可以追溯到17世纪初期，最初是在研究对数函数和复利计算的过程中被发现的。[1]
在16世纪末到17世纪初，随着天文学和航海等领域的发展，数学家们需要处理大量的复杂计算。为了简化这些计算，苏格兰数学家约翰・纳皮尔在1614年发明了一种新的数学工具——对数，它可以将乘法转化为加法，将除法转化为减法，极大地简化了计算过程。纳皮尔在研究中使用了一个接近e的数值作为对数的底数，尽管他并没有直接给出e的定义或名称，但他所使用的对数底数已经接近e的值，这为e的后续研究奠定了基础。[1]
1683年，瑞士数学家雅各布・伯努利在研究复利问题时发现了一个有趣的现象。在复利这种计息方式下某一计息周期的利息是由本金加上先前周期所积累利息的总额，即把上期末的本利和作为下一期的本金，也即通常所说的“利生利”“利滚利”。伯努利通过计算发现，随着利息的结算周期无限缩短，最终的本利和会逐渐增加，并趋向于一个特定的常数。[1]
假设你有本金，设为1，存入银行，年利率为r=100%。如果一年只计算一次利息，你的本利和将翻倍，为。[1]
如果每半年计算一次利息，利率为，则一年后的本利和为。[1]
如果每季度计算一次利息，利率为，则一年后的本利和为。[1]
如果每月计算一次利息，利率为，则一年后的本利和为。[1]
如果你想最大化你的收益，就要选择更频繁地计算利息。如果每年计算n次利息，利率为，则一年后的本利和为。[1]
随着计算频率的增加，本利和不断增加，将逐渐趋近于一个常数，这个常数即自然常数。伯努利的这一发现揭示了e与复利计算之间的紧密联系，为e的后续研究提供了重要的线索。[1]虽然e的概念在17世纪初期就已经被数学家们所发现，但它并没有立即得到广泛的认可和应用。直到18世纪，瑞士数学家欧拉开始使用字母e来表示这个常数，并给它赋予了正式的定义，其中一个定义为。它也为自然对数的底数。从此，自然常数成为数学中的一个重要常数。[1]
性质
自然常数具有许多独特的性质，如自然常数的指数函数是其自身的导数，自然常数的幂级数展开式具有优美的形式等。可以证明，e是一个无理数，其值约为2.71828。自然常数与指数函数、极限之间的联系，使得自然常数在很多领域发挥着重要作用。如复利计算、自然对数、指数函数、欧拉公式等。[1]
数值估计
高等数学中泰勒（Taylor）公式：若函数在区间I上阶可导，，有：[3]
[3]
令，易得：[3]
令x=1，有：，移项并注意到（1）式，[3]
[3]
上式即为e的估计误差公式.以为例，加以说明：此时e的估计值为[3]
误差小于，即，通过计算可得[3]
随着n取值的增大，就可以提高估计的近似程度，如时，误差小于[3]
无理数属性
采用反证法证明e的无理数属性，假设e为有理数，可以写成，即，其中q，p互质正整数，由于（若q=1，则有，即e为整数，这与（11）式矛盾），把式（7）中令x=1，n=q得：[3]
（12）[3]
带入（13）[3]
上式两端乘以q!，得到，，整理得：[3]
（14）[3]
由（11）知，，又由于，[3]
导数
积分
可以用定积分来定义的自然对数[5]
自然指数函数的不定积分是[5]
以下是涉及自然常数的不定积分表[5]
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不等式
应用
生物增长：细菌的繁殖
假设在理想条件下一个细菌每小时分裂一次，变成两个细菌。最初有1个细菌，一个小时后变成4个细菌，再过一个小时后变成4个细菌，依此类推。设表示时刻t时的细菌数量，如果每小时细菌数量翻倍，我们可以用以下公式表示：[1][1]
放射性衰变：原子的不稳定性
放射性物质随着时间衰变，其数量减少的过程也是指数函数的一个应用。设表示时间t时刻剩余的放射性原子数量，衰变过程可用以下公式表示：[1]
化学反应：反应速率
化学反应的速率也可以用指数函数来描述。例如，某些反应的速率与反应物浓度呈指数关系。一个经典的模型是一级反应，其反应速率与反应物浓度成正比：[1]
通过积分，我们得到反应物浓度随时间变化的指数公式：[1]
其中是初始浓度，k是反应速率常数。[1]
金融：复利计算
复利计算也是一个自然界的模型，在金融领域中发挥着重要作用。假设有初始本金A存入银行，年利率为r，按连续复利计息（即计息期数无限增加），则1年后本利和为[1]，t年后本利和为。[1]
热传导：温度变化
在物理学中，热传导也可以通过指数函数来描述。假设一个物体在环境温度下冷却或加热，其温度变化可以用牛顿冷却定律表示：[1]
其中，是t时刻的温度，Tenv是环境温度，T0是初始温度，k是冷却常数。从细菌的繁殖到放射性衰变、化学反应、复利计算、热传导等很多模型，指数函数和常数e在描述自然界的各种现象中均扮演着重要角色。[1]
欧拉公式
在复变函数中，欧拉公式[1]
将三角函数的定义域扩大到了复数域，并建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论中占有重要的地位。欧拉公式是由欧拉在18世纪创造的，是数学界公式之一。它将数学中的几个核心元素以一种简洁而深刻的方式联系在一起，不仅连接了数学中的几个基本常数，还蕴含着哲学意义。欧拉公式在数学和物理学等领域中有广泛的应用。若在以上公式中令，则可得恒等式[1]
这个恒等式也称为欧拉公式或欧拉恒等式，它将数学中5个最重要的常数联系在一起，其中有两个超越数（自然常数e和圆周率π），两个单位（虚数单位i和自然数的单位1），以及被称为人类伟大发现之一的0，蕴含着数学的“统一美”。数学家们称欧拉公式为“上帝创造的公式”。[1]
参考资料 6
- 参考 1
- e — Britannica
- 参考 3
- Uh-oh, there's been a glitch — openstax
- Table of Integrals — lumenlearning
- 参考 6