微分

微分（Differential）是微积分学的基本概念之一，指的是某个变化量的无穷小变化^[19]。在微积分学中，微分表示函数线性化的变化^[20]，微分的定义可描述为：当函数自变量只有一个，且在某点的一个邻域内有定义时，自变量有一个无穷小增量Δx，则称dy为函数在该点处的一元型微分，又称为函数增量的线性主要部分^[9][10]，当自变量不只有一个时，为多元型微分^[21]。此外，对阶数进行推广，也可形成高阶微分^[22]。

微分概念的产生与微分学的历史密不可分。在16世纪以后，微分学迅速发展与成熟^[23][7]。费马^[4][5]、罗伯瓦尔、笛卡尔、托里拆利^[6]、巴罗^[7]等人先后解决了一些曲线的切线问题，进一步推动了微分学概念的产生^[7][4][5]。直到17世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨在前人工作的基础上，各自独立创立了微分和积分（包括微分学和积分学）^[4][5][6]。此后，数学家们又进一步完善了微积分的理论体系，对其基本概念进行更严格的定义和证明。通过他们的工作，微分学逐渐发展成为现代数学最基础的学科之一^[6][8]。

微分相关的概念是导数，它们的关系是：可微必可导，可导必可微^[24][25][26]。微分运算满足四则运算法则^[27][28]。而微分中值定理是一类与微分概念相关的重要定理，如罗尔中值定理^[29]、拉格朗日中值定理等^[30]，它们很好地解释了微分的几何意义^[31][32]。微分及其性质、相关概念在数学^[11][12][13]、物理^[14][15][16]、经济等领域^[17][18]具有广泛的应用价值。

微分学的思想萌芽可以追溯到古代，一些学者曾经探索过类似于微分学的概念。例如古希腊数学家阿基米德（Archimedes）和阿波罗尼奥斯（Apollonius）等^[2]均尝试过求解曲线的切线问题，而古代和中世纪的中国学者在天文历法研究中，也曾经涉及到天体运动的不均匀性和极值问题，然而此时还没有发展出真正的微分学^[3]，其真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后。欧洲在经历文艺复兴后，整个社会生产力迅速提高，科学和技术得到迅猛发展，同时社会需求的急剧增长也为科学研究提出了大量的现实问题，这些问题都和运动与变化有关，从而推动了微分学的产生和进步^[7][23]。

微分方法的先驱工作起源于1629年法国数学家费马（Fermat）陈述的概念，他给出了如何确定极大值和极小值^[4][5]和求曲线切线的方法^[2]，同一时期，法国数学家罗伯瓦尔（Roberval）、笛卡尔（Descartes）和意大利数学家托里拆利（Torricelli）等人根据意大利物理学家伽利略（Galilei）对切线的定义，先后解决了一些曲线的切线问题^[6]。1637年，笛卡尔在他的《几何学》中将坐标法引入求切线的研究，提出了纯代数形式的求切线方法，称为圆法（重根法）^[6][7]，其后剑桥大学的巴罗教授（Barrow）在《几何学讲义》中又给出了利用微分三角形（也称特征三角形）求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生^[4][5][7]。

然而在17世纪中叶之前，数学家们没有足够重视作为微积分基本特征的积分和微分的互逆关系问题，也没有人将这些联系作为一般规律明确提出来^[7]，直到17世纪下半叶，英国数学家、物理学家牛顿（Newton）和德国数学家、哲学家莱布尼茨（Leibniz）在前人工作的基础上，各自独立创立了微分和积分（包括微分学和积分学）^[4][5][6]。

1664年，牛顿开始研究微积分问题，他受到笛卡尔和英国数学家沃利斯（Wallis）的启发，首创了用小代表的无限小，并在之后建立了微分法和积分法。牛顿于1665年11月发明了正流数法（微分法），1666年5月，又发明了反流数法（积分法）^[33]，同年10月，他将研究成果写成一篇论文，就是后来的《1666年10月的流数简论》，标志着微积分的诞生。在这之后，牛顿不断完善自己的微积分学说，包括完成专著《流数法和无穷级数》和提出“流数术”等术语，最终，他在《自然哲学的数学原理》中公开了他的微积分方法，建立了以极限方法作为微积分基础的观点^[6][7]。

莱布尼兹独立地发展了与牛顿相似的微积分理论，他受巴罗和荷兰数学家、物理学家惠更斯（Huygens）等人的启发，在1673年由和斜边构成的微分三角形，1676年又明确定义为函数微分，创立了一套关于无穷小量的求差法和求和法，即微分、积分算法^[34]。1684年，莱布尼兹发表了第一篇关于微分学的论文《一种求极大值与极小值和切线的新方法》，这是历史上最早公开发表的微分学文献，其中含有现代微分符号和基本微分法则，给出了极值和拐点的必要条件。莱布尼兹通过研究指数函数和对数函数的微分公式以及其他微积分问题，建立了与流数法类似的微积分算法，并引入了一套比牛顿使用的符号更灵活、更能反映微积分本质的符号系统^[6][7]。

进入18世纪后，数学家们进一步完善了微积分的理论体系，他们发展了许多微积分相关的数学新分支并应用于不同领域。瑞士数学家雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）和约翰·伯努利（Johann Bernoulli）两人对莱布尼兹微积分学说的传播起到了重要作用，他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容。在微分学方面，法国数学家罗尔（Rolle）在论文《任意次方程一个解法的证明》中给出了微分学的一个重要定理，也就是罗尔微分中值定理^[6][7]。1755年，瑞士数学家欧拉（Euler）在著作《微分学》中第一次把无穷小分析改造为整个函数的完整理论，把它从几何中解放出来，使之建立在代数基础上，为真正做到微积分的分析化开辟了道路。而法国数学家达朗贝尔（RdAembert）发展了牛顿的首末比方法，用极限概念代替了含糊的“最初比”与“最终比”，把微分学建立在“理性的”极限观念上^[7]。

19世纪初，微积分的发展进入了一个新的阶段，数学家们开始对微积分的基本概念进行更严格的定义和证明。法国数学家柯西（Cauchy）在著作中以分析的严格化为目标对微积分的一系列基本概念给出了明确的定义，进一步严格了极限概念并用因变量与自变量差商的极限定义导数，使之成为微分学的核心概念，在此基础上，还严格地表述并证明了微积分基本定理、中值定理等一系列重要定理，并把导数概念与微分概念统一起来^[7]。除此之外，德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass）也定量地给出了极限概念的定义，并用创造的这一套语言重新定义了微积分中的一系列重要概念。通过柯西和魏尔斯特拉斯等学者的工作，微分学被从对几何概念、运动和直观了解的完全依赖中解放出来，并发展成为现代数学最基础的学科之一^[6][8]。

设函数在点处的一个邻域内有定义，当自变量有增量时^[注1]，记，称其为相应于自变量增量的因变量的增量。如果存在常数，使得当时有或成立，则称函数在点处可微分，称为在点处的微分，记为，函数的微分又称为函数增量的线性主要部分^[9][10]。

多元函数的微分定义方法和一元函数相类似，以二元函数为例进行说明，设函数在点的某邻域内有定义，为该邻域内的任意一点，则称为函数在点处对应于自变量增量的全增量^[35][36]。

如果函数在点的全增量可表示为，其中常数不依赖，仅与有关，，则称函数在点可微分，称为在点处的全微分，记为，又可写作^[35][36]。

以此类推，对于元函数，设函数在点的某邻域内有定义，为该邻域内的任意一点，如果函数在点的全增量可表示，则称其在点可微分，称为其在该点处的全微分，记为^[21]。

在直角坐标系中，一元函数的图像是一条曲线，对于某一固定的横坐标值，曲线上有一个确定点与之对应，当自变量有微小改变量时，就得到曲线上另一点，由下图可知，、，过点作曲线的切线，设其的倾角为，则，即^[37]。

一元函数微分的几何意义是：函数在点处的微分在几何上表示曲线在点处有增量时，在点处切线纵坐标相应的改变量^[37][38]。当很小时比小得多，因此在点的邻近，可以用切线段来近似代替曲线段，数学上称之为非线性函数的局部线性化（以直代曲）^[39]。

多元型函数的图像是一个曲面（以二元为例），一般地，若二元函数在点处可微分，其表示的曲面在点的切平面方程为^[40]，该式右侧恰好是函数在点处的全微分，其中自变量在点处的改变量分别为、^[41][42]。

由此可得，二元函数微分的几何意义是：函数在点处的全微分在几何上表示曲面在点处有增量和时，在点处曲面的切平面上竖坐标（曲面高度）相应的改变量。当函数可微时，全改变量可以用全微分来近似代替，即局部可以用切平面代替曲面（以平代曲），这与一元函数可微时的“以直代曲”是类似的思想^[41][43]。

设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在点处有增量，且 时，若极限存在，则称函数 在点处可导（Derivable），称点为函数的可导点，并称此极限值为函数在点处的导数（Derivative），记为、、或^[44][45]。

导数和微分具有如下的关系：函数在点处可微的充分必要条件是函数在点处可导^[24]，即可微必可导，可导必可微^[26]，且有^[25][46]。

令函数，则（即自变的微分等于自变量的改变量），所以，从而有，也就是说，函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商，因此，导数又称为“微商”。由于求微分的问题可归结为求导数的问题，因此求导数与求微分的方法叫做微分法^[25][46]。

由于函数微分公式，要计算函数的微分，只需计算函数的导数，故根据导数公式和导数运算法则，即可得到相应的微分公式和微分运算法则^[47][48]。

例（基本初等函数的微分公式）：求函数当由改变到时的微分。

解：函数的微分，由所给条件知，，，所以^[49]。

设都是的函数且都可微，则有：；；；^[27]，对于多元函数的全微分运算同样适用^[28]。

例（加、减、乘、除运算法则）：设函数，求。

解：^[50]。

一元型微分：设分别在点处可微，则复合函数在点处可微，且它的微分为，由可得。从形式上看，它与的微分形式相同，由此可见，不管是自变量还是中间变量（另一变量的可微函数），微分形式都保持不变，这一性质称为一元函数微分形式的不变性^[51]，函数的微分不但等于这个函数对自变量的导数乘以自变量的微分，还等于这个函数对中间变量的导数乘以中间变量的微分^[52]。

多元型微分：与一元函数类似，多元函数的全微分也具有形式不变性，以二元函数为例进行说明。设函数可微，当为自变量时，其全微分为。又设函数可微，因此由全微分的定义可知，复合函数的全微分表示为，其微分形式不变^[53][54]。由此可见，对函数来说，不论是自变量还是中间变量，它的全微分形式都是相同的，此性质称为全微分的形式不变性^[55]。

函数微分的形式不变性也称为复合函数的微分法则^[56]，设函数是由复合而成，由微分的形式不变性可得，函数的微分可直接写成^[57][58]。

例（复合函数运算法则）：已知函数，求。

解：设，则^[50]。

如果函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即，那么区间内至少有一点，使得^[29]。罗尔中值定理的几何意义是：在一条闭区间上连续、在相应开区间内光滑、且高度相同的点间的曲线上，除端点外如果各点都有不垂直于轴的切线，那么在区间内至少有一点处的切线是水平的，如图所示，点处的切线与轴平行^[31]。

如果函数 在开区间内可导，闭区间上连续，则在区间内至少存在一点 ，使得。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的一般形式，其几何意义为：在满足定理条件的曲线上至少存在一点使得该曲线在点处的切线平行于曲线两端的连线，如下图所示^[30]。拉格朗日中值定理有时也写成以下形式：，其中。该式也被称为有限增量公式，反映了函数在两点间的增量被某点的导数值控制^[32]。

类似于高阶导数，微分也可以推广至高阶，定义以及重要的运算公式如下^[22][59][60]。

如果函数在点处有直到阶的导数，则称函数次可微；相应地，如果函数在开区间中每一点处有直到阶的导数，则称函数在开区间上次可微^[22]。其中，函数的微分的微分称为函数的二阶微分，记为；函数的阶微分的微分称为函数的阶微分，记为，二阶以及二阶以上的微分，统称为高阶微分^[59][60]。

由高阶微分的定义可知，函数的阶微分，则其运算法则满足：（1）；（2），其中，式（2）也称莱布尼兹公式^[60]。

注意：当不是自变量时，对一阶微分而言，具有形式不变性^[60]，但注意到，高阶微分的计算中把当作自变量的最小增量，被看作一个常量，其不能当作中间变量继续运算，也就是说高阶微分不具有形式不变性^[22]。

例（高阶微分运算法则）：设函数，求。

解：^[59]。

实际中经常会遇到一些函数表达式较复杂但结果并非要求十分精确的运算，在这种情况下，可以使用微分来做近似计算^[11]，把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替^[12]。由近似性质可知，如果函数在点处的导数且很小时，有近似公式成立^[13]。

若记，则有，等式右侧是关于的一次多项式，称为在处的线性线性逼近或一次近似，其误差是的高阶无穷小，即越小，越接近，则的近似精确度越高。特别地，如果取，则有，从而可以利用此式求出时一些函数的近似式，例如：、、、、等^[61]。

微分形式论是一种数学工具，可以用来处理向量场、微积分和微分方程等问题，而外微分是微分形式的一种数学运算，它来源于从零次微分形式，得出一次微分形式的过程与结果， 是对更高次微分形式的推广^[14]，微分形式论和外微分均由法国数学家埃利·嘉当（EIie Cartan）所创建，可以应用于电动力学中的表达和矢量运算^[15]。

在电动力学中，微分形式论与外微分广泛应用于描述电场和磁场的行为，以微分形式和外微分的数学理论为基础，表达麦克斯韦电磁场方程组，所得到的方程比张量形式还要简炼^[14]。例如，电场可以表示为一个二次微分形式，即，其中是一个一次微分形式，称为矢势。同样地，磁场可以表示为一个三次微分形式，即，其中 是一个二次微分形式，称为场强^[15]。电动力学的现代发展，尤其它的外微分形式表述，用现代微分几何的语言表述了基本电磁规律，其形式简洁、蕴含的内容十分深刻，可以帮助加深对经典电动力学的理解^[16]。

拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）是求解函数在一个或多个约束条件下条件极值的方法。在其求解过程中，多元函数微分形式的不变性得以应用，根据所求驻点可得极值，该方法常被用于经济学中的效用最大化问题。因为经济学中的个体通常会面临着某种资源约束，比如预算约束，他们往往需要最大化自己的效用的目标，拉格朗日乘数法可以帮助找到在这些约束条件下，实现目标的最优决策^[17][18]。

具体而言，拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘数（Lagrange Multiplier），将约束条件与最优化目标结合起来，构建出一个被称为拉格朗日函数的新函数。通过对这个拉格朗日函数进行求解，可以找到最优解所满足的一组方程，这些方程通常被称为“一阶条件”。应用拉格朗日乘数法，可以在考虑到各种约束条件的情况下，找到实现最大化效用的最佳决策，从而在经济学中解决效用最大化问题^[62][63]。