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幂集公理（英文：axiom of power set），是集合论的一条重要公理。它指出对任何集合a存在它的所有子集组成的集合（幂集）。[1]由幂集公理，可从已知集合快速地形成更大的集合。此外，它还肯定了实数集的合法性。[5][6]
19世纪70年代，德国数学家康托尔（Cantor）对任意元素的集合进行研究，在一系列论文中提出无限集的势、序型等的概念，奠定了集合论的理论基础，幂集公理的早期形式可见于康托尔的稿纸上。[3]在集合论的初创时期，康托尔以所谓“朴素的”观点来看待集合，没有明确规定对已知集合做哪些事情可以得出受到承认的集合，这些不确定性导致了后来悖论的诞生。[7][8]为了补充康托尔集合论在理论基础上的缺陷，德国数学家策梅洛（Zermelo）[2]在1908年为集合论建立了第一个比较完整的公理系统，并始终强调幂集公理是一个完全的幂集公理，并给出了幂集公理的系统解释。[3][9]后来，策梅洛在弗兰克尔（Fraenkel）、斯科伦（Skolem）和冯·诺伊曼（von Neumann）等人的基础上，于1930年对原来的公理系统进行了调整，保留了外延公理，幂集公理和并集公理，修改了配对公理和子集公理，删除了无穷性公理和选择公理，并将替换公理模式和基础公理加入，形成了策梅洛-弗伦克尔公理系统，记做ZF公理系统。[2][10]
幂集公理的定义与幂集的存在性定义是等价的，[4]由它还可以定义集合论中的笛卡尔积、关系、映射等概念。[6]ZF公理系统还包括一些其他公理，它们不是孤立存在的，幂集公理与替换公理模式相结合可推出配对公理。此外，在NBG公理系统和ZF公理系统中也存在幂集公理，如ZB公理系统中，结合模糊子集的概念，可形成模糊幂集公理。[1][2][11]
定义
早期研究
19世纪70年代，德国数学家康托尔（Cantor）对任意元素的集合进行研究，在一系列论文中提出无限集的势、序型等的概念，奠定了集合论的理论基础，康托尔在草稿中给出了幂集公理的雏形：一个完成的集合的所有子集组成的复多是一个完成的集合。[3]在集合论的初创时期，康托尔以所谓“朴素的”观点来看待集合，没有明确规定对已知集合做哪些事情可以得出受到承认的集合，这些不确定性导致了后来悖论的诞生。[7][8]
后续发展
为了补充康托尔集合论在理论基础上的缺陷，德国数学家策梅洛（Zermelo）[2]在1908年为集合论建立了第一个比较完整的公理系统，并始终强调幂集公理是一个完全的幂集公理，并出了幂集公理的解释：对每个集合，相应的有另一个集合，它是的幂集，恰好包含的所有子集作为它的元素。[3][9]1908年之后，人们从各种不同的角度研究推广了策梅洛的公理系统，弗兰克尔（Fraenkel）和斯科伦（Skolem）和冯·诺伊曼（von Neumann）等人提出了替换公理模式和基础公理。后来，策梅洛在1930年对原来的公理系统进行了调整，保留了外延公理，幂集公理和并集公理，修改了配对公理和子集公理，删除了无穷性公理和选择公理，并将替换公理模式和基础公理加入，形成了应用广泛的策梅洛-弗伦克尔公理系统，记做ZF公理系统。[2][10]
等价形式
幂集
笛卡尔积
关系
由笛卡尔积可定义集的关系：若，则叫做集到集的关系。[6]
关系的定义域，值域及关系的逆关系分别指
；
；
。
时，在上限制，用表示，指，此时在之下的象，用表示，指使。又设是到的关系，与的复合，用表示，指，所以是到的关系，于是有，，。的子集叫做上二元关系。[6]
映射
若到的关系具有性质：对任意，有唯一的，使，则叫做到的映射（或函数）。映射所具有的性质可写成，是到的映射，记作。[6]
其他公理
策梅洛-弗兰克尔集合论公理系统（ZF系统）是康托尔集合论方法的形式化处理，其原始概念是集合与属于的关系，它不仅是一个公理系统，而且也是一个形式系统。ZF系统中添加选择公理而得到的公理称为ZFC公理系统。[1]该系统中的公理大体可以分为两类：一类是断言集合存在的公理，这类公理包括空集公理、子集公理、配对公理、并集公理，幂集公理、无穷性公理和选择公理以及替换公理模式；另一类是用来刻画集合性质的公理，这类公理包括外延公理和基础公理。[12][13]在ZF集合论的标准公式化中，幂集公理和替换公理模式可以得出配对公理，所以配对公理有时会被省略。[14]
空集公理
存在一个没有元素的集合，形式表示：。[12]
外延公理
如果的每个元素都是的一个元素，并且的每个元素也是的一个元素，那么.。[12]
形式表示：。[12]
子集公理
令是的一个性质。对任意的集合，存在一个集合，使得当且仅当并且，形式表示：。[1][12][15]
配对公理
对任意的集合和，存在一个集合，使得，当且仅当或者，形式表示：
。[1][12]
并集公理
对任意的集合，存在一个集合，使得当且仅当对某个，形式表示：
。[12]
无穷性公理
存在一个归纳集，形式表示：。[12]
替换公理模式
令是一条性质，并且对每个存在唯一的使得成立。对每个集合，存在一个集合，使得对每个，存在使成立。形式表示：。[12]
基础公理
所有的集合都是良基的，形式表示：。[12]
选择公理
对于每个集合系统都有一个选择函数，形式表示：
其中，可表述为：。[12]
NBG公理系统
通常，人们认为集合论悖论总是与真类有关系的，冯·诺依曼（von Neumann）在处理集合论悖论时，把真类作为某些集合或类的元素，为此建立了刻画集合和类的两类元素的不同于ZF的集合论公理系统。后来，该公理系统经过罗宾逊（Robinson）、伯奈斯（Bernays）以及哥德尔（Godel）[16]的修改和化简，形成了较为完善的NBG集合论系统。[17][18]
NBG公理系统中的幂集公理：
。[18]
ZB公理系统
参考资料 19
- 参考 1
- 参考 2
- 参考 3
- 参考 4
- 参考 5
- 参考 6
- 参考 7
- 参考 8
- 参考 9
- 参考 10
- 参考 11
- 参考 12
- 参考 13
- 参考 14
- 参考 15
- 参考 16
- 参考 17
- 参考 18
- 参考 19