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空集公理（axiom of empty set），是ZF公理系统的集合论公理之一[1]。该公理断言：有一个无任何元的集合，它是空的集合，形式表示为：∃A∀x:¬(x∈ A)[5]。
19世纪，格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）系统地总结了长期以来数学界对集理论的认识与实践，开创了新的数学学科——集合论，为经典数学的各个分支提供了共同的理论基础[3]。1902年，英国数学家罗素（Russell）发现了集合论悖论，由于所涉及的概念都是朴素集合论的基本概念，因而震动了整个数学界，引起了数学史上第三次危机[2]。为了消除悖论，大家普遍认为可以采用公理化的方法对集合做一些必要的限制。1908年，数学家策梅洛（Zermelo）给出了第一个集合论公理系统，现在人们称它为Z系统。[2]在Z系统中空集公理与配对公理合称为初等集合公理[7]。1922年，德国数学家弗兰克尔（Fraenkel）对Z系统进行了改进，后经斯柯伦（Skolem）重述，形成了ZF公理系统。在ZF公理系统中，包括空集公理等9条公理，再加上选择公理，形成了ZFC公理系统。[4]
空集公理肯定了空集的存在性[8]，ZF公理系统中试图由空集公理和无穷性公理定义自然数[9]。该公理系统还包括一些其他公理，它们不是各自独立的，其中子集公理可由替换公理模式和空集公理推出，空集公理本身也不独立[10]。在其他的公理系统中，空集公理同样存在，如在MS系统中，它可以表示为：├∃b(W(b)∧∀x(x ∉ b))[11]。
定义
空集公理断言：一个无任何元的集合，它是空的集合。可表示为：。[5]
意义：该公理肯定了空集的存在性[5]。同时，ZF公理系统试图由空集公理和无穷性公理定义自然数。然后从自然数出发，通过代数过程构造整数系、有理数系、实数系，这些在ZF公理系统中都能实行。ZF的每个标准模型都可以有一个与实数集相像的子集。这样一来，只要证明系统的无矛盾性，微积分理论的基础即可解决。[9]
背景
19世纪，格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）系统地总结了长期以来数学界对集理论的认识与实践，开创了新的数学学科——集合论，为整个经典数学的各个分支提供了共同的理论基础[3]。1902年，英国数学家罗素（Russell）发现了集合论悖论，由于所涉及的概念都是朴素集合论的基本概念，因而震动了整个数学界，引起了数学史上第三次危机[2]。
提出
由于当时希尔伯特（Hilbert David）刚为欧氏几何学成功地建立了公理系统，为了消除悖论，大家普遍认为可以采用公理化的方法对集合做一些必要的限制。1908年，数学家策梅洛（Zermelo）给出了第一个集合论公理系统，现在人们称它为Z系统。[2]在该系统中，空集公理与配对公理合称为初等集合公理[7]。1922年，德国数学家弗兰克尔（Fraenkel）对Z系统进行了改进，后经斯柯伦（Skolem）重述，形成了ZF公理系统。在ZF公理系统中，包括空集公理等9条公理，再加上选择公理，形成了ZFC公理系统。[4]
空集
定义：空集是不含有任何元素的集合，符号为，对于任意集合 ，都有，即空集是任何一集合的子集[12]。从空集公理肯定了空集的存在性以后，又从外延性公理知道这种空集是唯一的。因为，一个集合是完全由它的元所确定，如果、是两个空集，则从外延性公理得知它们是相等的，所以也就恰有一个空集。[8]
其他公理
ZF公理系统的展开是形式化的，它是以带等词“”和隶属关系“”的狭谓词演算为基础，加上关于集合基本性质的非逻辑公理组成的形式演绎体系。它包括外延公理、空集公理、配对公理、并集公理、幂集公理、子集公理、无穷性公理、替换公理模式、正则性公理，如果加上选择公理AC，得到的系统就是ZFC（ZF+AC）。[2]ZF的公理可以分为两类：一类是刻画集合性质的公理，如外延公理等；另一类是刻画集合存在的公理，如空集公理等[4]。ZFC公理系统中的公理不是各自独立的，其中子集公理可由替换公理模式和空集公理推出，空集公理也不独立[10]。
外延公理
如果的每个元素都是的一个元素，并且的每个元素也是的一个元素，那么[4]。
形式表示：[4]。
子集公理
子集公理也称分离公理、概括公理，其本质上是一个公理模式[6]。
令是的一个性质。对任意的集合，存在一个集合 ，使得当且仅当 并且 [4]。
形式表示：[4]。
配对公理
配对公理也称对集公理、无序对公理[4][13]，对任意的集合和，存在一个集合，使得当且仅当或者[4]。
形式表示：[4]。
并集公理
对任意的集合，存在一个集合，使得当且仅当对某个，[4]。
形式表示：[4]。
幂集公理
对任意的集合，存在一个集合，使得当且仅当[4]。
形式表示：[4]。
无穷性公理
存在一个归纳集[4]。
形式表示：[4]。
替换公理模式
令是一条性质，并且对每个存在唯一的使得成立。对每个集合，存在集合，使得对每个，存在使成立[4]。
形式表示：[4]。
正则性公理
正则性公理也称基础公理[1]，所有的集合都是良基的[4]。
形式表示：[4]。
选择公理
对于每个集合系统都有一个选择函数[4]。
形式表示：，其中：可表述为：[4]。
NBG系统
BG系统亦称GB系统，由冯·诺依曼（John von Neumann）于1925年提出，后经伯尔奈斯（Bernays）和哥德尔（Kurt Gödel）改进和简化而形成[14]。该系统和ZF公理系统的不同主要体现在：（1）NBG系统区分“集合”和“类”，能作其他集合或类的元素是集合，不能作其他的类的元素的类，叫做真类。NBG系统对类和集合使用两种变元。（2）NBG系统的公理是有穷的。在ZF公理系统和NBG系统之间的联系主要体现在：（1）所有ZF公理系统的定理都是NBG系统的定理；（2）NBG系统中关于集合（不说及类）的定理都是ZF系统的定理；（3）ZF是协调的，当且仅当NBG是协调的。[15]
修正的NBG系统中的空集公理：。该公理是说，任一类（含集合）的补还是一类。空集是一类，根据该条公理，可得真类也是类，且知是的补类。[16]
MS系统
参考资料 16
- 参考 1
- 参考 2
- 参考 3
- 参考 4
- 参考 5
- 参考 6
- 参考 7
- 参考 8
- 参考 9
- 参考 10
- 参考 11
- 参考 12
- 参考 13
- 参考 14
- 参考 15
- 参考 16