配对公理

与有序对、无序对相关的集合论系统公理（ZF2)

配对公理

配对公理（axiom of pairing）亦称无序对公理，是集合论的一条重要公理。配对公理内容为，对任意集合a与b，存在只含a与b的集合{a，b}。[0]1874-1897年，康托尔（G.Cantor）发表了一系列论文，他以“朴素的”观点来看待集合的，但没有明确规定对于已知集合做哪些事情是合法的。[5]后来，罗素悖论暴露了集合论自身的矛盾，造成了数学发展史上的所谓第三次大危机。为了避免悖论，解决集合论自身的基础问题，20世纪初开始了公理学研究方向。[2]1908年，德国数学家恩斯特·弗里德里希·费狄南·策梅洛（Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo）[0][3]提出了基本集合公理，1930年，他改进了该公理，形成了现在说的配对公理。后来，他陆续提出了其他公理，形成了应用广泛的Zemelo-Freankel公理系统，简称ZF公理系统，[2][1]该系统推动了现代数学的发展，被美国学者给予了很高的评价。[2][4]

配对公理（axiom of pairing）亦称无序对公理，是集合论的一条重要公理。配对公理内容为，对任意集合a与b，存在只含a与b的集合{a，b}。[1]

1874-1897年，康托尔（G.Cantor）发表了一系列论文，他以“朴素的”观点来看待集合的，但没有明确规定对于已知集合做哪些事情是合法的。[6]后来，罗素悖论暴露了集合论自身的矛盾，造成了数学发展史上的所谓第三次大危机。为了避免悖论，解决集合论自身的基础问题，20世纪初开始了公理学研究方向。[3]1908年，德国数学家恩斯特·弗里德里希·费狄南·策梅洛（Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo）[1][4]提出了基本集合公理，1930年，他改进了该公理，形成了现在说的配对公理。后来，他陆续提出了其他公理，形成了应用广泛的Zemelo-Freankel公理系统，简称ZF公理系统，[3][2]该系统推动了现代数学的发展，被美国学者给予了很高的评价。[3][5]

ZF公理系统还有很多其他公理，它们不是独立存在的，配对公理可以由替换公理推出。[7]配对公理可定义有序对、无序对的概念，且关于配对公理，有一些有趣的事情，策梅洛得到了自然数的模型，后经改进，得到了今天使用的自然数构造系统。[3][5]

定义

配对公理亦称无序对公理，集合论的一条重要公理。该公理断言：对任意集合与，存在只含与的集合。这条公理可形式化为：[1]

。[1]

令是定域中的任意对象。配对公理蕴含存在外延，它仅有的元素是。如果没有性质是好的，那么只存在一个外延，即坏事物。所以。但我们有，由此。所以，。由于是任意的，如果没有性质是好的，那么配对定理蕴含是论域中仅有的对象。[8]

背景

1874-1897年，康托尔（G.Cantor）发表了一系列论文，奠定了集合论的基础，从此集合论的概念和结果被广泛应用于数学的各个分支。在集合论创立的初期，康托尔是以所谓“朴素的”观点来看待集合的，没有明确规定对于已知集合做哪些事情是合法的。[6]1903年，罗素（Bertrand Russell）在《数学原理》一书中提出了一个悖论，可以通过理发师的例子进行通俗的解释。[9]罗素悖论暴露了集合论自身的矛盾，使数学的基础发生动摇，造成了数学发展史上的所谓第三次大危机。为了避免悖论，解决集合论自身的基础问题，20世纪初开始了集合论公理学的研究方向。[3]

提出

1908年，德国数学家策梅洛（E-Zermelo）[1]提出了基本集合公理，1930年，他改进了该公理，形成了现在说的配对公理。后来，他陆续提出了其他公理，形成了应用广泛的Zemelo-Freankel公理系统，简称ZF公理系统。[3][2]

策梅洛（E-Zermelo）
策梅洛（E-Zermelo）

无序对

恰好有两个元素的集合，并且这两个元素之间没有一定的顺序，叫做无序对集合。[10]

设有集，，取集使。由和形成的无序对，用表示，指集：[11]

。[11][12]

由定义知，无序对以和为仅有的成员：[11]

。[11]

当时，记，叫做由集形成的独元集。在无序对中，和的地位是平等的：[11]。[11]比如就是一个无序对集合，对于，还可以写作，就有。[10]

有序对

以集为先，集为后的有序对，用表示，指集：[11]

。[11]

可知，有序对的两个坐标都是唯一确定的，所以可得定理：[13]

当且仅当且。[13]

其他公理

1908年，策梅洛（E-Zermelo）给出了第一个集合论公理系统，现在人们称它为Z系统，后经斯柯伦（Skolem）、弗兰克尔（Frankel）等人的改进，形成了著名的ZF公理系统。ZF系统的展开是形式化的，它是以带等词“”和隶属关系“”的狭谓词演算为基础，加上关于集合基本性质的非逻辑公理组成的形式演绎体系。它的非逻辑公理有：外延公理、空集公理、配对公理、并集公理、幂集公理、子集公理、无穷公理、替换公理、正则公理，如果加上选择公理AC时，得到的系统就是ZFC(ZF+AC)。[14]ZFC系统中的公理不是各自独立的——其中配对公理可由替换公理推出。[15]ZF公理系统推动了集合论的发展，也推动了整个现代数学的发展。美国加利福尼亚大学的S·K·Stein教授这样评价：“这些公理的威力非常之大，所有普通的数学都能够从Zemelo-Freankel公理演绎出来。”[3]

存在公理

存在一个没有元素的集合。[5]

形式表示：。[5]

外延公理

如果的每个元素都是的一个元素，并且的每个元素也是的一个元素，那么。[5]

形式表示：。[5][7]

基础公理

基础公里也叫正则公里，所有的集合都是良基的。[5]

形式表示：。[5]

概括公理模式

令是的一个性质。对任意的集合，存在一个集合，使得当且仅当并且。[5]

形式表示：。[5]

幂集公理

对任意的集合，存在一个集合，使得当且仅当。[5]

形式表示：。[5][7]

并集公理

对任意的集合，存在一个集合，使得当且仅当对某个，。[5]

形式表示：。[5]

无穷公理

存在一个归纳集。[5]

形式表示：。[5]

替换公理模式

令是一条性质，并且对每个存在唯一的使得成立。对每个集合，存在一个集合，使得对每个，存在使成立。[5]

形式表示：。[5][7]

选择公理

对于每个集合系统都有一个选择函数。[5]

形式表示：。[5]

其中：可表述为：。[5]

轶闻趣事

关于配对公理，有一些有趣的事情。首先，构造自然数的模型，如对于，策梅洛取了空集；对于，他取；对于，他取了（集合）；对于，他取了（集合），依此类推。因此，对于每个自然数，数字是单元集。因此，由括在对括号中的表示。[16]

后来，约翰·冯·诺依曼（John Von Neumann）修改了策梅洛对自然数的构造，提出了今天所使用的系统，冯·诺依曼以这样的方式定义自然数，即每个自然数都是所有更小的自然数的集合。因此，是空集，是集合（与策梅洛一样），但是集合（其仅有的元素是和），是集合，…，是集合。且冯·诺依曼对自然数的定义很容易扩展到无穷序数的定义，在集合论中起着关键作用。[16]

参考资料 16

  1. 参考 1
  2. 参考 2
  3. 参考 3
  4. 参考 4
  5. 参考 5
  6. 参考 6
  7. 参考 7
  8. 参考 8
  9. 参考 9
  10. 参考 10
  11. 参考 11
  12. 参考 12
  13. 参考 13
  14. 参考 14
  15. 参考 15
  16. 参考 16
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