调日法

调日法是南北朝数学家何承天发明的一种系统地寻找最佳逼近（帕德近似）以表示天文数据或数学常数的内插法。这种方法在数学和天文学上都有重要贡献，尽管随着天文学的发展，对数据精确性的要求提高，调日法的使用逐渐减少。

调日法是南北朝数学家何承天发明的一种系统地寻找精确分数以表示天文数据或数学常数的内插法。调日法后来传入日本。我国古历用分数表示各种单位以下的零数部分，如四分历的回归年是3651/4日，因零数是1/4，所以叫做四分历，这个1/4就叫做日法，四分历的朔望月是29 499/940日，太初历的朔望月是29 43/81日，这些分母940和81也叫做日法，它们的分子499和43叫做朔余。南朝的何承天取26/49为朔望月零数部分的强率，取9/17为弱率，把十五个49和一个17相加，就得到日法752。因为26/49=0.530612，比朔望月的日数以下的零数0.530588大，所以叫做强率；9/17=0.529412，比朔望月的日数以下的零数小，所以叫做弱率。取9/17为朔望月零数，即在连续十七个月中有九个大月，这样，大月的数目嫌少，因此它才是弱率；太初历以43/81为零数，即在连续八十一个月中有四十三个大月，大月的数目又太多，如果取43+9/17+26/49=399/752，所得数字比43/81为好，但还是较大，因此，它才是强率。这样用试探的办法来求最密近的朔望月零数，一直加到十五次，得到399/752=0.5305851，就以752为日法，399为朔余。因为这是一种不断调整强弱分数的方法，所以叫做调日法。调日法的发明，在数学上有贡献，在天文学上也有一定的作用。但是，随着天文学的发展，对天文数据的要求越来越高，而数据越精密，分数也就越复杂，而习惯于使用调日法又使天文学不易摆脱使用分数的局限，这就影响了天文数据精确性的提高。因此，从唐朝以后，历法推算逐渐采用百进位或万进位的分数而不再使用调日法。

何承天的调日法原理是基于已知的两个分数之间寻找更精确的分数表示。如果已知两个分数a/b和c/d，其中a/b < c/d，则可以找到一个新的分数(a+c)/(b+d)，它位于a/b和c/d之间。通过不断地调整这两个分数，可以逐步逼近所需的精确值。这种方法可以用于求解各种数学常数和天文数据的精确分数表示。

何承天调日法被同时代和后代数学家如赵爽，祖冲之，一行等运用。祖冲之可能利用何承天的调日法求得圆周率的约率和密率，即22/7和355/113。此外，何承天的调日法也被用于解决闰周问题和近点月的计算。祖冲之以4/11为弱率，以7/19为强率，通过调日法得到144/391。何承天以56/101为弱率，以5/9为强率，用调日法求得近点月为417/752。祖冲之也得到高精度的数值14631/26377。

调日法不仅用于天文学，还可以用于求解数学中的其他问题，如黄金分割和斐波那契数列。黄金分割的分数表示可以通过调日法逐步逼近，得到的分数序列正是斐波那契数列。此外，调日法也可以用于求解根号2、根号3、根号5、根号10、十二次根号2、自然对数的底数e、普朗克常数、万有引力常数G、阿伏伽德罗常量、玻尔兹曼常数等数学常数的分数近似值。

一千年以后，15世纪法国数学家尼古拉·休凯（1455年 ━ 1488年），才使用相似的插入法。日本数学家关孝和（Seki, Takakazu, 1642-1708）在《括要算法》一书中称之为零约术，并用之得出圆周率的近似分数为355/113，正是祖冲之的密率。这表明调日法的影响和应用跨越了国界和时代。