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平面几何指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。也称欧几里得几何。平面几何研究的是平面上的直线和二次曲线（即圆锥曲线， 就是椭圆、双曲线和抛物线）的几何结构和度量性质（面积、长度、角度，位置关系）。平面几何采用了公理化方法， 在数学思想史上具有重要的意义。
概述
平面几何指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学 。也称欧几里得几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何。 高维的情形请参看欧几里得空间。
数学上，欧几里得几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。
其中公设五又称之为平行公设（Parallel Axiom），叙述比较复杂，这个公设衍生出“三角形内角和等于一百八十度”的定理。在高斯（F. Gauss,1777年—1855年）的时代，公设五就备受质疑，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（Nikolay Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利人波约（Bolyai）阐明第五公设只是公理系统的一种可能选择，并非必然的几何真理，也就是“三角形内角和不一定等于一百八十度”，从而发现非欧几里得的几何学，即“非欧几何”（non-Euclidean geometry）。
公理描述
欧几里得几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。
欧几里得平面几何的五条公理(公设)是：
任意两个点可以通过一条直线连接。
任意线段能无限延伸成一条直线。
给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
所有直角都相等。
若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
第五条公理称为平行公理（平行公设），可以导出下述命题：
通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里得几何，说明平行公理是不能被证明的（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何）。
从另一方面讲，欧几里得几何的五条公理(公设)并不完备。例如，该几何中的所有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。 因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。
欧几里得还提出了五个“一般概念”，也可以作为公理。当然，之后他还使用量的其他性质。
1.与同一事物相等的事物相等。
2.相等的事物加上相等的事物仍然相等。
3.相等的事物减去相等的事物仍然相等。
4.一个事物与另一事物重合，则它们相等。
5.整体大于局部。
现代方法
如今，欧几里得几何的构造通常不是通过公理化方法，而是通过解析几何。通过这种方法，可以像证明定理一样证明欧几里得几何（或非欧几里得几何）中的公理。这一方法没有公理方法那么漂亮，但绝对简练。
欧氏几何
欧几里德的《几何原本》，一开始欧几里德就给出了23个定义，5个公设，5个公理。其实他说的公设就是我们后来所说的公理，他的公理是一些计算和证明用到的方法（如公理1：等于同一个量的量相等，公理5：整体大于局部等）他给出的5个公设倒是和几何学非常紧密的，也就是后来我们教科书中的公理。分别是：
公设1：任意一点到另外任意一点可以画直线
公设2：一条有限线段可以继续延长
公设3：以任意点为心及任意的距离可以画圆
公设4：凡直角都彼此相等
公设5：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。
在这五个公设理里，欧几里德并没有幼稚地假定定义的存在和彼此相容。亚里士多德就指出，头三个公设说的是可以构造线和圆，所以他是对两件东西存在性的声明。事实上欧几里德用这种构造法证明很多命题。第五个公设非常啰嗦，没有前四个简洁好懂。声明的也不是存在的东西，而是欧几里德自己想的东西。这就足以说明他的天才。从欧几里德提出这个公理到1800年这大约2100年的时间里虽然人们没有怀疑整个体系的正确性，但是对这个第五公设却一直耿耿于怀。很多数学家想把这个公设从这个体系中去掉，但是几经努力而无果，无法从其他公设中推导出第五公设。
同时数学家们也注意到了这个公设既是对平行概念的论述（故称之为平行公理）也是对三角形内角和的论述（即内角和公理）。高斯对这一点是非常明白的，他认为欧几里德几何是物质空间的几何，1799年他给他的朋友的一封信中表现了他相信平行公理不能从其他的公设中推导出来，他开始认真从事开发一个新的能够应用的几何。1813年，他发展了他的几何，最初称为反欧氏几何，后称星空几何，最后称非欧几何。在他的几何中三角形内角可以大于180度。当然得到这样的几何不是高斯一人，历史上有三个人。一个是他的搭档，另一个是高斯的朋友的儿子独立发现的。其中一个有趣的问题是，非欧氏几何中过直线外一点的平行线可以无穷。
不久之后，俄国的一位著名数学家也发现了一个新的非欧几何，即罗氏几何。他的三角形内角和是小于180度的。
著名定理
亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年，他和斯巴达的Menelaus是两个人)曾著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名字命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理．
定理 一直线与△ABC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则
塞瓦定理
意大利数学家塞瓦(G．Ceva)在1678年发表了下面的十分有用的定理，它是证明共点线的重要定理．
定理 在△ABC内任取一点P，直线AP，BP，CP分别与边BC，CA，AB相交于D，E，F，则
斯台沃特定理
定理 △ABC的边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v，AD=t，则
托勒密(Ptolemy，约公元85～165年)是古代天文学的集大成者．一般几何教科书中的“托勒密定理”(圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积)，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质。
定理 如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积．
斯泰纳-莱默斯定理
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
证明：
过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，
连接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF
∴ES/CS=ED/FC
根据垂径定理得：LD=ED/2，FT=FC/2
∴ES/CS=EL/CT
又∵∠E=∠C
∴△ESL∽△CST
∴∠SLN=∠STM
∵S是AB的中点所以OS⊥AB
∴∠OSN=∠OLN=90°
∴O，S，N，L四点共圆，（一中同长）
同理，O，T，M，S四点共圆
∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON
∴∠SON=∠SOM
∵OS⊥AB
∴MS=NS
莫莱定理
相似命题
1，平面中，周长相等的正三角形，正方形，圆的面积为， ， ，则 < < ；空间中，全面积相等的正四面体，正方体，球的体积为， ， ，则 < < 。这两个命题中，周长在空间中对应全面积，正三角形对应正四面体，正方形对应正方体，圆对应球体。换言之，平面中，周长一定时，越接近圆形的图形面积最大；空间中，全面积一定时，越接近球形的空间图形，体积越大。
2，平面中，面积相等的正三角形，正方形，圆的周长为， ， ，则 > > 空间中，体积相等的正四面体，正方体，球的表面积为， ， ，则 > > 。换言之，平面中，面积一定时，越接近圆的图形周长最小；空间中，体积一定时，越接近球的空间图形，表面积越小。这也反映了宇宙中星体为什么大多以球体或接近球体的形式存在，因为球体的表面积最小，表面积越小越稳定；动物世界中，弱小动物遇到敌人时，缩成一团，是出于本能，将受攻击的区域减少到最小，因为球形的表面积最小。
3，平面中，不共线的三点可确定一个圆；空间中，不共面的四点可确定一个球。
4，平面中，过平面外一点有且只有一条直线与已知直线平行；空间中，过平面外的一条平行直线有且只有一个平面与已知平面平行。
5，平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；空间中，过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。 6，平面中的勾股定理也可推广到空间：（1）长方体的体对角线长的平方等于共顶点的三条棱长的平方和；（2）设三棱锥A—BCD的三个侧面两两互相垂直，则有等式 + + = 恒成立。
7，平面中，等边ΔABC内任一点到各边的距离之和为定值（等边ΔABC的高）；等腰ΔABC底边上任一点到两腰的距离之和为定值（一腰上的高）。空间中，正四面体内任一点到各面的距离之和为定值（正四面体的高）；正三棱锥底面上任一点到各侧面的距离之和为定值（一侧面上的高）。
8，圆的周长公式： ；球的表面积公式： ；圆的面积公式： ；球的体积公式： 。其中R表示半径，的指数1，2以及系数 与维数之间存在着一种对应。因为平面是二维的，空间是三维的。
9，平面中，三角形被平行于它一边的直线所截得的三角形与原三角形的面积的比等于对应边的平方比；空间中，棱锥被平行于它低面的平面所截得的小棱锥与原棱锥的体积的比等于对应边的立方比。
10，平面中，三角形的面积公式： ；空间中有两个相似命题：（1）棱锥的体积公式； 。其中，分别表示三角形的边，棱锥的低面积，表示高。（2）三棱锥的体积也可按此公式计算： ，其中，为三棱锥一个侧面的面积，为该侧面与所对的侧棱间的距离。
11，平面中，梯形的面积公式： ；空间中，低面是梯形的直棱住的体积公式： ，其中，表示两个平行侧面的面积，表示这两个侧面间的距离。