丹尼尔·伯努利

丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli，1700年2月8日—1782年3月17日），瑞士数学家、物理学家和医学家^[8]，为伯努利家族代表人物之一，数学家约翰·伯努利次子。^[1][2]

丹尼尔出生于荷兰格罗宁根的一个数学家庭，^[3]1713年开始学习哲学和逻辑学，并在1715年和1716年分别获得学士学位与艺术硕士学位。^[2][7]丹尼尔于1716至1720年期间，先后在瑞士巴塞尔大学、德国海德尔堡大学和法国斯特拉斯堡大学学医。1721年丹尼尔以论文《呼吸的作用》通过巴塞尔大学的论文答辩，获得医学博士学位。1724年，他完成第一本数学著作《数学练习》（Exercitationes mathematicae），解决黎卡提方程问题。^[2]1725年丹尼尔前往^[7]彼得堡科学院工作。在彼得堡工作的8年间（1725年—1733年），丹尼尔被任命为生理学院士和数学院士。^[2]在彼得堡工作期间，丹尼尔继续该项研究并取得重大研究成果，写出《流体动力学》的初稿。^[7]1738年丹尼尔在斯特拉斯堡出版其著作《流体动力学》，^[7]1743年丹尼尔成为生理学教授，后于1747年当选为柏林科学院院士，1748年又当选为巴黎科学院院士。1750年丹尼尔先后担任物理学教授与当选英国皇家学会会员。并在1750—1777年间担任哲学教授一职。1782年，丹尼尔在巴塞尔逝世，终年82岁。^[2][4]

丹尼尔一生成就众多，他因其将数学应用于力学（尤其是流体力学）以及在概率和统计学方面的开创性工作而被人们特别铭记。^[2][7]1725年至1757年的三十多年期间，丹尼尔因天文学、地球引力、潮汐、磁学、洋流、船体航行的稳定和振动理论等成果，获得巴黎科学院十次以上的奖赏。在纯数学方面，他的工作涉及代数、微积分、级数理论、微分方程、概率论等方面。但是他最出色的工作是将微积分、微分方程应用到物理学，从而研究流体问题、物体振动和摆动问题。^[2]

丹尼尔在1700年2月8日生于荷兰格罗宁根的一个数学家庭，父亲约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667年—1748年）是数学家和统计学家，^[3]伯伯是概率论的早期研究者和微积分理论研究者雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）。^[9]伯努利家族原是荷兰人，1583年由于受到天主教的迫害，首先迁往法兰克福避难，之后定居在瑞士的巴塞尔。^[10][11]

1713年丹尼尔开始学习哲学和逻辑学，并在1715年和1716年分别获得学士学位与艺术硕士学位。在这期间，丹尼尔的父亲及其长兄尼古劳斯·丹尼尔（Nicolaus Bernoulli，1695年—1726年）担任其数学指导教师。他的父亲曾鼓励他从事经商，这一想法失败后又让他学习医学。^[7]因此丹尼尔于1716至1720年期间，先后在瑞士巴塞尔大学、德国海德尔堡大学和法国斯特拉斯堡大学学医。在大学时，丹尼尔经常向其兄长请教几何学，并在意大利威尼斯实习期间转攻数学。1721年丹尼尔以论文《呼吸的作用》通过巴塞尔大学的论文答辩，获得医学博士学位。但他并未行医，也未按照父亲的意愿去经商。丹尼尔先后在瑞士及意大利寻找工作但都未能成功，后于1723年至威尼斯旅游。1724年，24岁的他完成第一本数学著作《数学练习》（Exercitationes mathematicae），解决了黎卡提方程问题，被邀请前往圣彼得堡科学院工作。^[2][4]

1725年丹尼尔回到巴塞尔。之后与哥哥尼古拉一起接受彼得堡科学院的邀请，前往彼得堡科学院工作。在彼得堡工作的8年间（1725年—1733年），丹尼尔被任命为生理学院士和数学院士。^[2]1727年，22岁的欧拉前往彼得堡工作，并担任丹尼尔助手，^[4]后来欧拉接替丹尼尔的数学院士职位看，丹尼尔则讲授医学、力学、物理学。早在意大利实习期间，丹尼尔已经开始研究流体力学。在彼得堡工作期间，他继续该项研究并取得重大研究成果，写出《流体动力学》的初稿。^[7][2]

丹尼尔不习惯圣彼得堡的生活，^[4]1733年，由于哥哥尼古拉第二的暴死以及严酷的天气等原因，丹尼尔回到巴塞尔，在巴塞尔先任植物学和解剖学教授。^[9]1734 年，丹尼尔与父亲约翰同时成为法国科学院成员，并与父亲同时获得法国科学大奖。这本是值得高兴的事，约翰却自认为与儿子同时获得同等地位对他来说是一种侮辱，在盛怒之下，他把丹尼尔逐出了家门。^[12]

1738年丹尼尔在斯特拉斯堡出版其著作《流体动力学》，这部著作的出版引起了他与父亲的争论，约翰·伯努利为争取自己在数学上的学术地位，与兄长和儿子之间产生了很多不愉快，^[9]他的父亲在丹尼尔出版著作《流体力学》之后出版了《水力学》，且特意将写成时间注明为1732年，试图证明自己的优先权，并在著作中不公正地指责丹尼尔的《流体动力学》中所有的主要成果是借用他人的。^[13][7]1743年丹尼尔成为生理学教授，后于1747年当选为柏林科学院院士，1748年又当选为巴黎科学院院士。1750年丹尼尔先后担任物理学教授与当选英国皇家学会会员。并在1750—1777年间担任任哲学教授一职。1782年，丹尼尔在巴塞尔逝世，终年82岁。^[2][4]

1726年，丹尼尔发现：如果水沿着一条有宽有窄的沟（或粗细不均的管子）向前流动，在沟较窄的部分流得快些，但水流对沟壁的压力比较小；反之，在较宽的部分水流得较慢，压向沟壁的力则会比较大。人们称其为“伯努利原理”。“伯努利原理”不仅对水流适用，而且对流动的其他液体甚至气体都适用。^[4]

伯努利方程是理想流体作稳定流动时的基本方程，流体力学的基本方程之一。对于确定流体内部各处的压力和流速有很大的实际意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。^[14]

18世纪中叶，丹尼尔、欧拉、约翰·伯努利、达朗贝尔等人对弦振动和杆振动的研究已经导出一阶、二阶或更高阶的微分方程。如果把引起弹性振动的惯性力考虑进去便可以得出弹性体的动力学的基本方程。从基本方程出发，可以得出各种情况下的波动方程；欧拉和达朗贝尔用偏微分方程来表示弦振动的波动方程。丹尼尔却以完全不同的形式即用函数的级数展开式给出弦振动问题的解。从而引起在丹尼尔、欧拉与达朗贝尔之间的关于弦振动可允许的解的争论，后来拉格朗日也参加争论。^[15][16]

丹尼尔和欧拉发展了欧拉伯努利梁理论，^[17]直梁是重要的结构元件，所谓直梁是指其横剖面尺寸的细长平直弹性体，它承受垂直于中心线的横向载荷的作用而发生弯曲变形。直梁的理论基础是平面剖面假设，即所有变形前垂直于梁变形后的中心线的横剖面在梁发生弯曲变形后仍为平面且外廓形状不变，而且始终垂直于梁变形后的中心线，因此不存在横向剪切变形。这个假设已被大量的工程实践所验证，这种梁理论称为工程梁理论。平剖面假设亦称为欧拉-伯努利假说，故工程梁理论也称为欧拉-伯努利梁理论。^[18]

1740年，丹尼尔从静力学平衡的角度出发,假设地球表面都被海洋所覆盖,而且海面在任何时刻都能够保持与重力和引潮力的合力处处垂直，这种理想化了的海洋潮汐称为平衡潮，丹尼尔的这种学说称为平衡潮学说。在此学说的基础上建立起来的一种潮汐理论称为潮汐静力学理论，这是继牛顿之后第一个提出的潮汐理论。^[19]

1726年，丹尼尔通过无数次实验发现等高条件下流速和压强的变化规律，即“边界层表面效应”：流体速度加快时，物体与流体接触的界面上的压力会减小，反之压力会增加。人们为纪念他的贡献称该效应为“伯努利效应”。伯努利效应适用于包括液体和气体在内的一切理想流体。流体作稳定流动时的基本现象之一，反映出流体的压强与流速的关系，流速与压强的关系：流体的流速越大，压强越小；反之压强越大。伯努利效应的应用举例：飞机机翼、喷雾器、汽油发动机的汽化器、帆船和球类比赛中的旋转球。^[20]

丹尼尔在《流体动力学》一书中提出活力的下降和位势的升高等同的原理。他认为用位势提高来代替“活力”的减少的说法更容易使某些科学家接受。他在把这一思想用于理想流体运动的过程中，引出势函数的概念，并认识到可以从势函数引出活力。^[21]

丹尼尔继承胡克的思想，对波义耳定律作出定量解释，指出气体的压强是气体的粒子与器整碰撞的结果。他考虑由无数粒子组成的气体对一个气缸活塞的作用。丹尼尔还讨论了气体压强随温度的变化，他说：“气体的压强不仅随体积的减小而增大，而且随温度的升高而增大。正如人们所熟知的，热随着内部粒子运动的加剧而增强。因此，任何体积固定的气体的压强的增大都意味着气体粒子的更剧烈的运动。”丹尼尔明确地指出，在体积不变的情况下，压强将正比于粒子速度的平方而变化，这是因为随着速度的增加，碰撞的次数和强度都同样地增加。^[22]

1796年，英国医生爱德华·琴纳发现牛痘疫苗接种法：将减毒的天花病毒接种给牛犊，再取含有病毒的痘疱制成活疫苗。此疫苗被接种进人体的皮肤后，局部发生痘疮即可对天花病毒产生免疫。爱德华医生的发现无疑为一个福音。当时欧洲10%以上的人口死于天花，传染病导致成千上万人的死亡。而疫苗在接种的过程具有一定风险。根据当时的统计，一个人大约要面临以下的选择：1/7的可能性死于天花，或者1%的可能性由于接种的意外而死亡。^[23]

在欧洲包括巴黎大学医学院和神学院，有一些保守的观点强烈反对疫苗接种。在该世纪中期，天花疫苗接种成为社会争论的靶子。许多学者把它当作社会改革的一个中心议题，甚至有人把能否接种疫苗作为衡量一个人能否解放和进步的标志。丹尼尔对天花造成的严重后果极为关注，他设计一个简单的有确定性模型进行计算。计算结果表明：接种人痘疫苗，人的寿命将从26年7个月增长至29年9个月。如果天花能够被根除，那么26年后，人口将增长约14%。他运用他的结果来论证人痘接种的优越性。^[23]

在丹尼尔的许多数学作品中，他对解决概率论中的许多经典问题做出重要贡献，尤其引人注目的是他对圣彼得堡问题的研究。在对这个问题的研究过程中，他第一个提出要区分两种意义上的期望：一种是“数学期望”，另一种是“道德期望”。数学期望对应着传统意义上的期望 ——事件的值与事件发生的概率的乘积之和。^[23]

丹尼尔注意到：数学期望的这种标准定义是基于一个等可能性的假设每个参与者都冒相同的风险，所以应具有“尽可能满足其愿望”的相同前景。这个概念忽略游戏参与者的个人具体情况。所谓“道德期望”则必须考虑到参与者的个人背景，以及从结果中所获得的满足度。即道德期望是每次结果所产生的效用，该效用会随着不同的参与者而不同。丹尼尔把道德期望定义为“平均效用”，即每次结果的效用与其概率乘积之和。他举例说：一个穷人如果有50%的可能赢得20000达克特，那么在抽彩中如果不抛出他的9000达克特的彩票是傻瓜。相反，一个富有的人在相同的情况下买进相同数目的彩票则为明智的。总之，人从冒险行为中所得到的利益必须顾及参与者的财产、环境和他们的能力等个体因素。^[23]

1738年，丹尼尔·伯努利用拉丁文写了《关于风险衡量的新理论》。他的理论在经济学和金融理论中的地位非常关键，他首次提出了期望效用理论，在当时看来这是不确定下进行决策的新方法。在此之前人们认为，在面对不确定性时，是根据期望收益来进行决策的。然而，随着“圣彼得堡悖论”（St.Petersburg Paradox）的提出和解决，丹尼尔发现决定是否投资的不是期望收益而是期望效用。这篇论文最初以拉丁文发表，并于1896年翻译成德文，在数学、逻辑和后来发展的经济学领域得到了广泛的运用，但直到20世纪50年代才以英文发表。丹尼尔解决了一系列问题，这些问题是现代金融经济学的核心，包括这篇文章提出的边际效用递减概念，成为经济学的核心概念之一。^[24]

丹尼尔的学术著作非常丰富，他的全部数学和力学著作、论文超过80种。^[2]

英国数学家沃尔特·威廉·劳斯·鲍尔（Walter William Rouse Ball）评价丹尼尔·伯努利：“迄今为止最年轻，最有能力的伯努利。”^[28]

美国金融史学家彼得·L·伯恩斯坦评价丹尼尔：“虽然他的名字如今只为科学家所熟知，但他的《新理论》是有史以来关于风险和人类行为最重要的论文之一。伯努利着重考察了测量与直觉之间的复杂关系，而这几乎涉及生活的每个方面。”^[29]

英国科学史研究者詹姆斯·伯克评价丹尼尔·伯努利：“伯努利家族3代出了8个数学家，一个比一个高深莫测，丹尼尔是其中之一，他解决了重量级问题。”^[30]

伯努利家族曾产生许多传奇和铁事。一个关于丹尼尔的传说：有次在旅途中，年轻的丹尼尔同一个陌生人闲谈，丹尼尔自我介绍说：“我是丹尼尔。”陌生人立即回答道：“那我就是艾萨克·牛顿。”看来，别人把他与牛顿看成同样的人物。丹尼尔认为这是他有生以来受到过的最诚悬的赞颂，让他一直到晚年都甚感欣慰。^[32][27]

丹尼尔一生成就众多，他因其将数学应用于力学以及在概率和统计学方面的开创性工作而被人们特别铭记。^[2][7]1725年至1757年的三十多年期间，丹尼尔因天文学、地球引力、潮汐、磁学、洋流、船体航行的稳定和振动理论等成果，获得巴黎科学院十次以上的奖赏。在纯数学方面，他的工作涉及代数、微积分、级数理论、微分方程、概率论等方面，但是他最出色的工作是将微积分、微分方程应用到物理学，从而研究流体问题、物体振动和摆动问题。^[2]2002年，丹尼尔入选于圣地亚哥航空航天博物馆的国际航空航天名人堂。^[33]