线性代数

线性代数是数学的一个分支学科，它的研究对象是向量、向量空间（或称线性空间）、线性变换和有限维的线性方程组，使用字母或符号来代表数字或未知数，进行各种运算和推导，解决数学问题。^[5][6][8]

最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国东汉初期的数学著作《九章算术》的“方程”一章中已作了比较完整的论述。其中所述方法实质上相当于现代数学中对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知数的方法，即高斯消元法。^{[9][4][2][10]}在1600年以前，在数学界几何占主导地位，而数学家笛卡尔经过不断地实践，开始主张对二者取其精华，去其糟粕，人们开始认识到代数的重要性。^[9][2][10]随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在18—19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。加布里尔·克拉默在1750年推导出求解线性方程组的克拉默法则。大约在1800年，高斯（Gauss）提出高斯消元法，当时高斯使用这种方法解决了天体运行轨迹的计算问题，后又被用于解决地球表面测量计算问题。第一次现代化精确定义向量空间是在1888年由朱塞佩·皮亚诺提出的，在1888年，弗兰西斯·高尔顿还发起了相关系数的应用。20世纪，随着有限维向量空间变换理论的提出，线性代数逐渐发展成一个独立的学科分支。^{[4][11][9][11]}

线性代数的基本概念有行列式、矩阵、线性方程组和向量空间。它们一般会采用一些特定的方法进行计算。线性代数的理论在数学、工程学、经济学和自然科学等领域应用广泛，如在数学领域，线性代数可以解决解析几何问题。在经济学中，线性代数理论可以帮助研究投入和产出之间数量的规律性。在化学领域，线性方程组可以用于化学方程式的配平。^{[2][3][12][13]}

最古老的线性问题是线性方程组的解法，线性方程组问题的研究起源于生活实践，中国古代相关学者对此有着出色的应用，如朱世杰的《四元玉鉴》以及明安图的《割圆密率捷法》都涉及线性方程组的推广应用。中国早期关于线性方程组的研究见于《算数书》及《九章算术》。其中线性方程组的解法，在中国东汉初期的数学著作《九章算术》的“方程”这一部分中已作了比较完整的论述。其中所述方法实质上相当于现代数学中对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知数的方法，即高斯消元法。^{[9][4][2][10]}

16世纪以前，在数学界几何占主导地位，而法国数学家笛卡尔（Descartes）经过不断地实践，对代数有了全面系统的掌握，开始主张对二者取其精华，去其糟粕，相互联系相互补充。在几何作图遇到问题时可以采用代数来解决，否决了希腊人长久以来的判决标准。不久笛卡尔又提出写出在同一坐标轴下两条曲线的方程，并且联立解出这两个方程，便可以求出这同一坐标轴下两条曲线的交点。就这样，人们逐渐认识到线性代数的重要性，代数给几何带来最自然的分类原则和最自然的方法层次。^[9][2][10]

线性代数最初的理论为行列式，行列式当时被用来求解线性方程组，莱布尼茨在1693年使用了行列式，随后，加布里尔·克拉默在1750年推导出求解线性方程组的克拉默法则。大约在1800年，高斯（Gauss）提出高斯消元法，当时高斯使用这种方法解决了天体运行轨迹的计算问题，后又被用于解决地球表面测量计算问题，这也被列为大地测量学的一项进展。因为这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学，所以在最初的几年里，高斯消元法被认为是测地学发展的一部分，而不是数学的一部分。而高斯-若尔当消去法最初也是出现在由若尔当（Wilhelm Jordan）撰写的测地学手册中。^[9][11]

随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在18—19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。1843年，哈密顿发现了四元数。1844年，赫尔曼·格拉斯曼发表了他的著作《线性外代数》，包括了今日线性代数的一些主题，1848年，詹姆斯·西尔维斯特引入了矩阵，该词是“子宫”的拉丁语，阿瑟·凯莱在研究线性变换时引入了矩阵乘法和转置的概念。很重要的是，凯莱使用了一个字母代表一个矩阵，因此将矩阵当作了聚合对象，他也意识到矩阵和行列式之间的联系。除了早期的文献以外，线性代数主要是在20世纪发展的，在抽象代数的环论开发之前，矩阵只有模糊不清的定义，随着狭义相对论的到来，很多开拓者发现了线性代数的微妙。1882年，Huscyin. Tevfik. Pasha写了一本书，名为《线性代数》。第一次现代化精确定义向量空间是在1888年由朱塞佩·皮亚诺提出的，在1888年，弗兰西斯·高尔顿还发起了相关系数的应用，在多变元随机变量的统计分析中，相关矩阵是自然的工具，所以，这种随机向量的统计研究帮助了矩阵用途的开发。^[4][11]

20世纪时线性代数才作为一个独立的分支形成。1900年，一种有限维向量空间的线性变换理论被提出，在20世纪上半叶，许多前几世纪的想法和方法被总结成抽象代数，线性代数第一次有了它的现代形式，矩阵在量子力学、狭义相对论和统计学上的应用帮助线性代数的主题超越了纯数学的范畴，计算机的发展导致更多的研究致力于有关高斯消元法和矩阵分解的有效算法上。《线性代数》成了数字模拟和模型的基本工具。^[4][11]

定义

设有个数，排成行列的数表，作出表中位于不同行不同列的个数的乘积，并冠以符号，得到形如的项，其中为自然数的一个排列，为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有个，因而形如的项共有项。所有这项的代数和称为阶行列式，记作 ，简记作，其中数为行列式的元。^[14]

定义

由 个数排成的行列的数表称为行列矩阵，简称 ""矩阵。为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作

，这个数称为矩阵的元素，简称为元，数位于矩阵的第行第列，称为矩阵的元，以数为元的矩阵可简记作或。矩阵也记作。^[15]

线性方程组描述了向量从一个向量空间到另一个向量空间的变换。线性方程组的研究内容包括变换矩阵、特征值和特征向量等。线性方程组是线性代数历史上的第一个分支，是线性代数许多思想的源头。比如，行列式和矩阵都产生于方程组的研究。^[16][4]

设有个未知数个方程的线性方程组 ，其中是第个方程的第个未知数的系数，是第个方程的常数项，；，当常数项不全为零时，该线性方程组叫做元非齐次线性方程组或一般线性方程组，当全为零时，上式成为

叫做元齐次线性方程组。元线性方程组往往简称为线性方程组或方程组。^[17][18]

向量空间是线性代数中最基本的概念之一。它包括一个或多个向量，以及它们与数字相乘和相加的运算规则。向量空间的研究内容包括线性无关性、基、维数、子空间等。^[19][20]

定义

设是维向量构成的非空集合，且满足：

（1）对任意，有（对向量加法运算封闭）。

（2）对任意和任意数，有（对向量数乘运算封闭）。

则称集合为向量空间。^[21]

性质

在一般的向量空间中，有唯一的零元素。^[22]

在一般的向量空间中，任何元素的负元素是唯一的。^[22]

在一般的向量空间中，对于任何向量和任何实数，有，， 。^[22]

在一般的向量空间中，对于任何向量和任何实数，若，则或。^[22]

对于简单的行列式，可以通过对角线法则求它们的值。^[23]

二阶行列式：

用对角线法求出^[23]

三阶行列式：

对于一个n阶方阵A，其行列式的计算可以通过将其展开成所有n个元素不在同一行或同一列的n-1阶行列式的代数和的形式，即，其中表示删除第一行第j列后剩余的矩阵。^[24]

可用对角线法则：算出。^[23]

将行列式转置，行列式的值不变。^[24]交换行列式的两行（列），行列式的值变号；^[25]

某行（列）的k倍加到另一行（列）上，行列式的值不变；^[25]某行（列）所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和。^[25]

提取一行公因子，即可把行列式中某一行所有元素的公因子提取出来放到行列式外面作为因子。^[24]具有如下特征之一的行列式，其值为0。1.有一行元素全为0；2.有两行元素对应相等；3.有两行元素对应成比例。^[24]拆行拆值，即把一个行列式的某一行拆开成两行所得到的两个行列式的值之和就等于原行列式的值。^[24]

矩阵是高等代数中常用的数据结构，矩阵的基本运算包括矩阵的线性运算（加法和数乘）、乘法、转置及共轭转置、幂运算、行列式运算、伴随运算和逆运算等。常见的运算方法如下：^{[26][27][28][29]}

矩阵的加法：设有两个矩阵、，那么矩阵与的和记作，也可以记作，规定

。^[26]

定义两个矩阵与的差（只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能求和或差）。设为同型矩阵，则矩阵的加法满足下列运算规律：（1）交换律：，（2）结合律：。^[26]

矩阵的数乘：数与矩阵的乘积运算称为矩阵的数乘运算，设矩阵，规定数与的乘积为矩阵，记作或，即

。^[26]

矩阵的数乘运算满足下列运算规律（设矩阵、为同型矩阵，、为常数）：（1）结合律：；（2）分配律：；（3）；（4）。^[26]

设矩阵表示为矩阵与的乘积，则记作。一般的，当左边矩阵的列数与右边矩阵的行数相同时，两矩阵才能相乘，乘积的行数等于矩阵的行数，其列数等于矩阵的列数。所以记号常读作左乘或者右乘。具体乘法法则如下：

（1）矩阵与矩阵的乘积：设矩阵，，则矩阵与的乘积的元素为矩阵的第行与矩阵的第列的乘积，即。^[26]

（2）行矩阵与列矩阵的乘积：该乘积是矩阵与矩阵乘积的特例，结果是一个1阶方阵，只有一个元素，此时习惯省略括弧。设行矩阵，列矩阵，按照矩阵与矩阵的乘积规则得：，^[26]

（3）矩阵的乘法法则：设为矩阵，k为数，则乘法运算公式为：，，，。^[27]

如果含有n个方程的n元线性方程组的系数组成的行列式，那么该线性方程组有唯一解：，其中，的构成如下：，称为方程组的系数行列式。该定理称为克拉默（Cramer）法则，由克拉默法则可知，如果线性方程组没有唯一解（即无解或有两组及以上的解），则系数行列式一定为零，即。^[7]

线性方程组是高等代数中的重要问题，常见的计算方法有：

高斯消元法

通过将线性方程组化为阶梯形式，然后从后往前逐步求解，最终得到方程组的解。^[30]

矩阵的逆

对于一个的矩阵A，如果其行列式不等于0，则矩阵A具有逆矩阵，有，其中是单位矩阵。线性方程组的解可以表示为。^[30]

设有个未知数个方程的线性方程组，该式可以写成以向量为未知元的向量方程。^[31]

其中称为系数矩阵，称为未知量矩阵，称为常数项矩阵，矩阵称为方程组的增广矩阵。^[17]若该线性方程组有解，就称它是相容的；如果无解，就称它不相容。利用系数矩阵和增广矩阵的秩，可以方便地讨论线性方程组是否有解（即是否相容）以及有解时解是否惟一等问题。^[31]

元线性方程组解的判定定理如下：

（1）无解的充分必要条件是；^[32][31]

（2）有唯一解的充分必要条件是；^[32][31]

（3）有无穷多解的充分必要条件是。^[32][31]

设中的向量在基中的坐标为，在基中的坐标为。若两个基满足关系式，则有坐标变换公式或。^[31]

矩阵的特征值、特征向量的理论在微分方程和差分理论中有着重要应用，而自然科学、社会科学和经济管理中的许多问题都可以用微分方程或差分方程的数学模型来描述。对于这些模型的分析、计算，不仅可以定性地分析模型中各个因素的关系，而且可以定量地确定各因素的数量特征，分析的结果有助于决策者做出正确的判断，为科学、合理的决策提供依据。^[33]

在数学领域，线性代数可以加强人们的数学训练，增强人们的科学智能，因为线性代数代表的是几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等。瑞典著名数学家L，戈定（Garding）在自己的著作《数学概观》中写道：“要是没有线性代数，任何数学和初等教程都讲不下去。”例如，在解析几何中，线性代数理论可以帮助求解点到平面的距离。^[2][34]

风险矩阵评估方法在工程领域内应用广泛，其概念清晰、使用方便、评估结果简洁易懂，有利于风险管理工作的开展。许多国家或地区相关部门的规范和标准中采用了风险矩阵（或其变形）评估方法，中国在隧道、桥梁、地铁等行业建议指南中，也将其作为基本的风险评估方法。^[3]

在现代科学经济发展过程中，很多实际问题都可归结为解一个线性方程组。投入产出理论是研究一个经济系统内部各部门在产品消耗和生产之间的“投入”和“产出”之间数理依存关系的综合平衡数学模型，是世界各国、各地区很多经济部门进行研究、统计分析、预测决策的重要理论依据。投入产出模型主要通过投入产出表及平衡方程组来描述。投入是指进行一项经济活动的各种消耗（如原材料、能源、设备、人的劳动消耗等），而产出是指从事经济活动的结果（如生产出的产品等）。投入产出理论就是以线性代数理论和计算机技术为主要工具，研究各种经济活动的投入和产出之间的数量规律性的经济分析方法。稀疏矩阵可以作为线性规划问题的约束条件，应用于军事作战，经济分析等。企业运用矩阵工具可以建立实际高效的理论模型，可以进行动态规划及数据统计计算等，为企业的决策作数据理论支撑。^[35][36][12]

线性代数已经广泛运用到得到普及的计算机技术中，例如计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等，线性代数都是其理论和算法的基础。并且，随着科学的不断发展，需要研究的问题也由单个变量之间的关系，发展为多个变量之间的关系，同时也可以用计算机解决这些线性化的问题。^[2]